N EXEMPLES .DE DÉVELOPPEMENT DE SURFACES

Premier exemple. — Développement du cylindre droit. (Pl. 9.)

ioa. Quelle que soit la base d’un cylindre, la section perpendiculaire à ses

arêtes, qu’on nomme (art. g3) la section droite, ou l’arc droit, se transforme sur le développement en une ligne droite; car les droites ou arêtes du cylindre, parallèles entre elles, conservant leur parallélisme sur le plan de développement, la ligne qui les coupe à angle droit est nécessairement une droite. Prenant donc la section droite du cylindre pour l’axe de développement, la transformée de cette section sera, sur le plan de développement, une ligne droite, et on demande la transformée de la section du cylindre (art. 69), par le plan (EF#), (Jig. 1, pl. 9). •

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5q

io3. Explication de la fi g. a, pl. 9. On prend pour plan de développement, le plan tangent au cylindre', qui coupe le plan de la section droite de ce cylindre suivant une droite AA', parallèle à la trace horizontale EF du plan (EF g). Ce plan de développement coupe la trace verticale Y g (fi g- 1, pl. 9) au point a, par lequel on mène la section droite du cylindre (ai', ABCD). Ayant tiré (fg. a.) la droite BB' de même longueur que la circonférence ABCD, on prend sur cette droite le point A pour représenter le point (A ,'d) (fi g. i) du cylindre. AB et AB’ (fig. a ) sont les transformées des demi-circonférences AHCB, AIDB (fg. 1); ces demi-circonférences ayant été divisées en un asiez grand nombre de parties égales, pour que chaque partie puisse être considérée comme une ligne droite, on a rapporté les points de division à droite et à gauche du point A, en AHB, et AH’B’ (fg. a).

Les perpendiculaires à la droite BB’ élevées par ces points de division, sont les arêtes du cylindre rapportées sur le plan de développement; on les considère aussi comme les ordqnnées des lignes courbes tracées sur le cylindre, qu’il s’agit de rapporter sur le même plan.

Soit ( H, h ) (fg. 1 ) un point quelconque du cylindre; prenant l’arc AH (fg. 1 ) pour l’abscisse de ce point, et la longueur fy pour l’ordonnée, on rapportera ce point sur le plan de développement, en faisant la droite Ail (fg, a) égale à l’arc Ail (fg. 1) rectifié, et la perpendiculaire H h (fg. a) sur ATI, égale à jh (fg. 1). Le point h (fg. a) représente sur le plan de développement le point (II, h) (fg. t) du cylindre. On trouvera de la même manière tous les autres points de l’intersection du cylindre par le plan (EF^), et cette intersection (ABCD, ai) (fg. 1 ) aura pour sa transformée (fg’. a) la courbe bhkhb'. Cette courbe ne s’arrête pas aux points b , b'; elle s’étend à l’infini entre les deux parallèles BB ' ,ib' , qui la touchent aux points'A, b, b'; elle se compose d’une infinité de branches .-;d,-S a bkb', qui correspondent à la section oblique fermée (ABCD, ab) (fg. 1 ) du cylindre. En effet, on petit concevoir que ce cylindre est enveloppé par une toile sans épaisseur, qui fait une infinité de révolutions autour de sa surface. En déroqkmt la toile, lï section obflque qui est la même sur toutes les enveloppes superposées, se transforme évidertiment en autant de lignes égales à bkb', qu’il y a de révolutions.

La portion de courbe bkb’ étant appliquée sur le cylindre , Je manière que la droite k*(fg. 2) coïncide avec l’arête du cylindre (A, A a) (fg. t), les Extrémités b, b' de la courbe bkb' (fg. a), se réuniront au point unique ((B, b) (fg. 1) de la section oblique cylindre, et les extrémités 0, g de la droite (fg. a), coïncideront avec le point B de la section droite ABCD.

Go GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

De la tangente à la transformée d’une ligne courbe tracée sur le cylindre.

io4- Ayant mené par le point H (Jig. i) du cercle ABCD, la tangente LH K. qui coupe la droite A A' prolongée au point K, la tangente de la section oblique du cylindre au point (H-, h ) {/‘g- i ) est l’hypothénuse d'un triangle rectangle, qui a pour côtés les droites HK et jh. Ce triangle est dans le plan tangent du cylindre au point (H, A) : or ce plan se confond (fig. a) avec le plan de développement, et le point (II, h) (fig. i ) avec le point h de ce développement. Ainsi la longueur de l’arête AH ( fig . a ) étant égale à hj ( fig . i), et portant HK {fig. I) en HK {fig. a) sur la droite RB', on aura sur le plan de développement le triangle rectangle HAK , dont l’hypothénuse AK est la tangente de la courbe b Ab' (fig. a) au point A.

Second exemple de développement de surface. — Développement du cône droit.

105. Un cercle quelconque du cône droit a pour transformée sur le plan

de développement un autre cercle, dont le rayon est égal à une droite du cône, comprise entre le sommet et le plan du premier cercle. En effet, toutes les droites comprises entre le sommet et un cercle quelconque du cône droit, sont de même longueur : or ces droites ne changent pas de longueur sur le plan de développement; donc leurs extrémités appartiennent à une circonférence de cercle. .

106. Explication de la fig. a,pl. 10. Soit ABCD (fig. i ) le cercle du cône droit, qu’on prend pour axe de développement. La portion d’arête du cône comprise entre le sommet et le cercle ABCD, est évidemment égale à oA' ou oB'jdonc si d’un pointO(/î#. a) comme centre, avec OH,oft'(fig. i)pour rayon, on décrit une circonférence AB A' (Jig . a), cette ligne sera la transformée du cercle ABCD {fig. i ). Les parties égales de la circonférence rapportées sur la transformée, sont les bases des secteurs de cercle élémens du cône , et les rayons de ces secteurs représentent les arêtes du cône sur le plan de développement. Prenant OB(/tg. a) pour représenter l’arête du cône(OB,oB') (fig. i ), le point (P, p) (fig. de l’intersection du cône par le plan (EF#) (art. 7 4), qui se trouve sur cette arête, s’appliquera (fig. a ) en p, extrémité de la droite OP (fig. a), égale à op (fig. i). Les. arcs BAet BA' (fig. a), étant égaux aux demi-circonférences rectifiées BCA, BDA (fig. i), les droites OA, OA' (fig. a) représentent l’arête (OA, oA') (fig. i); portant sur ces droites la longueur ol (fig. i) de O en Z (fig a ), et de O en les points /, /' (fig. a)

correspondent au point unique(L,7) (fig. i) de la courbe d’intersection du cône et du plan. ‘

Achevant la circonférence du rayon OB, (fig. a ) , la courbe Ipl' se répétera nne infinité de fois sur le plan de développement autour du point O, à moins que Parc AB.V ne soit une partie aliquote de la^ circonférence à laquelle cet arc appartient. Dans ce dernier cas, la courbe fermée résultant de l’intersection du cône par un plan, aura ponr transformée une autre courbe aussi fermée; mais en général, la transformée fera une infinité de révolutions autour du point O. . . " - . • ' • .

La portion Ipl" de la transformée suffit pour tracer sur le cône l’intersection de ce cône par le plan (EE£)( fig. 1). Ayant décrit la fig. ï sur un plan flexible, telle qu’une feuille de carton ou de papier, 'On. mettra la droite OB de cette figure sur l’arête (OB, oB’) du cône, et on appliquera le plan de la figure sur le cône ; les points / et ~V de cette figure se réuniront au point

(L< 0 {fie- 0 du cônc-

107. Soit maintenant une droite quelconque OH (fig. a), quf représente l’arête du cône (OH, oH') (fig. 1); on aura le point M de la courbe Ipl (ftg.i\ qui se trouve sur cette arête, en construisant la longueur OM de la -droite comprise entre le sommet (O, o) et le point (M, m) (fig. 1 ). ^Pour avoir la tangente ME menée par le point M (fig. a) à la courbe lpl\ oh remarquera qu’elle est l’hypotbénuse d’un triangle rectangle MHE, dont le côté HÈ (fig. a) est égal à HE (fig. 1). Ce triangle est situé dans le plan tangent au cône au point (M, m) (fig. 1), dont la trace horizontale est HE, ejfales longueurs des côtés de ce triangle, ainsi que les dimensions des droites situées dans les plans tangae* au cône, ne changent pas sur le plan de développement, puisque c’est snr ce pian que viennent s’appliquer tous les plans tangens.

108. Explication de la fig. a,pl. 1 1 . Le développement du cône droit, qui

à pour base le cercle ABCD, et pour sommet le point (O, 0) ( pl . 1 1), sc fait de la même manière que pour la Jig. a , pl. 10. La droite OB (fig. a) représente l’arête du cône (OB, oB') (fig. 1 ,pl. 1 1), et les droites OA , OA’ correspondent à l'arête unique (OA, oh! ) ( fig. 1 ). La branche d’hyperbole (MLS, F l) s

{fiëi 0 a P°ur transformée les deux portions de courbes /M, /'S (fig. 2). La transformée de la seconde branche ( GPG \pg) (fig. 1) de l’hyperbole, est

(fig. a) la courbe G pG'. • . ,

109. On rapporte sqr le plan de développement les asymptotes de l'hyperbole (art 8 a) en les considérant comme des tangentes en des points situés à l'infini. Soient OM’, OS (fig. a) les droites qui 'représentent les arêtes du cône parallèle&au plan de l’hyperbole. Les perpendiculaires M'N, ST ( fig. a) aux extrémités des rayons OM’, OS', étant respectivement égales aux droites

6î GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE

M'N, S’T (y%. 1 ,pl. ii), terminées aux points N, T des droites projections horizontales des asymptotes, les parallèles NN', TT' {fg- a) aux rayons OM', OS' seront les transformées des asymptotes, qui deviennent elles-mêmes les asymptotes de la . transformée de l’hyperbole. Cette transformée est une courbe formée de trois branches séparées /M, /'S, GpG1. Les deux droites N N’, TT' sont asymptotes de la branche GpG', et chacune d’elles n’est asymptote que d’une seule des autres branches /M , l S.

Troisième exemple de développement de surface. — Développement du cy lindre oblique. (PI. t a ,fig. a.)

ito. Lorsque le cylindre à développer est oblique, on doit d’abord construire sa section droite (art. f)3), c’est-à-dire l’intersection de ce cylindre par un plan perpendiculaire à ses arêtes. Soit (HTQ, htq) ( pl . ia ,/rg. i), la section droite dp cylindre elliptique, qui a pour base sur le plan horizontal l’ellipse ABC1); ayant divisé cette ellipse en- arcs qui sous-tendent des cordes égalés, les arêtes du cylindre menées par les points de division, rencontrent la section droite ou l’arc droit en des points qui sont connus, et qu’on peut rapporter sur la droite , transformée de l’arc droit; ce qui détermine sur le plan de développement la position respective des arêtes du cylindre, dont on a les projections horizontale et verticale.

Soit zz {Jig. a) la droite qui est sur le plan de développement, la transformée de 1 arc drôit qu’on prend pour axe de développement, et lie {/Ig- a) l'arête du cylindre (ET, E ’/) (fg- i); la portion Ee (fg. a) de cette arête, comprise entre l’arc droit et la base, a pour projections {Jig. t) les droites ET, E'f. Déduisant de ces deux projections sa longueur vraie, et portant cette longueur sur eE, le point E sur le plan de développement {Jig. a) appartiendra à la courbe UEZZ’ transformée de l’ellipse ABCD {fig. t). On construirait de la même manière tout autre point d’une ligne quelconque du cylindre, qui se trouverait sur l’arête (ET, E'/).

tri. Pour trouver la longueur vraie d’une arête du cylindre qui a pour projections CH, Ch, on décrit du point H, comme centre, un arc de cercle Cy qui côtipc la parallèle H y à XY au point <f. Abaissant les perpendiculaires HH’A, $.<f ' sur XY, le pied y de la seconde perpendiculaire détermine le triangle rectangle y'ÏI 'h, dont l’hypothénuse /;?' est la longueur vraie de l’arête (CH, Ch). On obtiendrait plus directement les longueurs des arêtes du cylindre en se servant d’une nouvelle projection sur un plan perpendiculaire au plan coupant, ’et parallèle^ la génératrice du cylindre. Soit Ou {fg. r), la trace horizontüle de ce plan ; en le faisant tourner sur sa trace comme char-

nière, et l’appliquant sur le plan horizontal, on aura la fig. i.a, dans laquelle les arêtes Un, Zz sont rencontrées à angle droit par la droite P su du plan coupant, aux points u, z, dont les projections horizontales sont B', Z’.

Soient" U u, Zz ouZV, les droites (fig. a) qui représentent les arêtes du cylindre situées dans le plan vertical Ou ( fig. i), on- aura les points U et Z (fig. a) de la transformée de 4’ellipse AliCD (fig. j)en faisant Uu (fig. a) = Uu {fig. i.o), Zz ou Z'z (fig. a) = Zz {fig. t .à). On aurait de-même le

point E déjà construit, en faisant E e(fig. aj = e'e (fig. t .a).

De la tangente à la transformée de la base elliptique du cylindre oblique.

i ia. Ayant construit le point Ede la transformée Z’UZ (pl. ja a) de l'art: droit du cylindre oblique, on obtiendra la tangente en un point quelconque E de cette transformée, en portant là tangente L8 de l’arc droit développé H'U’Q" (pl. ta, fig. i), sur la droite zz (fig. a) de e en 8; la'droite E9 (fig. a) est la tangente de la transformée ZZ’U au point E de cette courbe.

. $ III. DES SURFACES DE &ÉYOLVTIOX COCHÉES PER ON Ht XX.

j i3. Deux séries de plans t les uns perpendiculaires à Taxe de révolution, les autres passant par cet axe, coupent la surface de révolution suivant des cercles ou des méridiens. Chacun de ces plans rencontre Jq plan donné qui coupe la surface suivant une droite; le point ou les points dans lesquels celte droite coupe le cercle ou la section méridienne, contenu dam le même plan que la droite, appartiennent à la courbe d’intersection de la surface de révolution et du plan donné. •

Premier exemple. — Intersection d’un ellipsoïde de rét>olution par un plan.

' - (Pi.i3,6g -Ty -

ti 4- On suppose que l’axe de révolution est vertical, et que le plan vertical de projection est perpendiculaire au plan coupant.

Soit (O, O'o) l’axe de révolution; Lm, mn, les deux traces du plan coupant; un plan méridien AOB parallèle au plan vertical de projection, contient l’ellipse méridienne abefi, qui a pour axes principaux les droites rectangulaires ab, ef. Cette ellipse, en tournant autour de son grand axe ef, dirigé suivant la droite (O, O'o), engendre V ellipsoïde de révolution.

te plus grand cerde de cette surfàce a pour diamètre ab , et se projette sur le plan horizontal, suivant un cercle ABCD de même diamètre.

La trace horizontale Lot du plan coupant étant perpendiculaire à l’intersection XY des plans de projection , la (race verticale mn contient évidemment la projection verticale de la courbe d'intersection de la surface de révolution et du plan donné ÇLmn).

Pour trouver un point de la projection horizontale de cette intersection, on imaginera un plan ss' perpendiculaire à l’axe de révolution; ce plan coupera le plan donné suivant une horizontale (RR', r), et la surfàce suivant un cercle du diamètre ts', qui se projette sur le plan horizontal suivant un autre cercle RR'S de même diamètre. Ce dernier cercle et la droite RR' se coupent aux points R, R' qui appartiennent à la projection horizontale RR'UZ de la courbe d'intersection de l'ellipsoïde de révolution par le plan donné (L mn).

1 1 5. On aurait cette courbe dans son plan (Jîg- i.«a), en faisant tourner chacun de ces points autour de la trace mn comme charnière. Un point tel que (R,r) décrit un cercle d’un rayon égal à la distance Rr du point R à la droite XY; portant cette distance (J îg . i.a) de r en p sur la perpendiculaire rp à la trace mn, le point p appartient à la courbe développée sur son plan.

Le plan méridien AB parallèle au plan vertical de projection, rencontre le plan (L//m), suivant une droite qui passe par le point I de la trace L/n de ce dernier plan. Portant ml en ml' sur la perpendiculaire à la trace mn, et menant par le point T la parallèle l’n {fig. i.a) à mn, cette parallèle divisera en parties égales les ordonnées telles que pp, perpendiculaires à la trace mn; *■ en sorte qu’on aura np = np'=z NR = NR'.

1 16. En considérant sur la surface de révolution le second système de lignes, c’est-à-dire les courbes méridiennes, les points de rencontre de ces courbes avec le plan donné appartiendront à l’intersection de la surface et du plan.

Soit OP la trace horizontale d’un plan méridien qui coupe le plan donné (L mn) suivant une droite (PO, mn), et la surface de révolution suivant une courbe méridienne égale à abje. Pour construire le point d’intersection de cette courbe et de la droite (PO, mn), on fait tourner le méridien OP autour de l’axe de révolution, et on amène le point P en P' sur le diamètre AB prolongé. Le point P' se projette sur le plan vertical en p; l’axe de révolution rencontre le plan donné ( Lmn ) au point k; tirant la droite pk qui coupe la section méridienne abfe aux points s, u, les distances s't, uv de ces points à l’axe ef, rapportées sur la droite OP de O en R et do O en U, détermineront les points R et U de la projection horizontale RR’UZ de la ligne d’intersection demandée.

Y*jr GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 65

La circonférence décrite du point O comme centre, avec OP pour rayon , rencontre la trace Lot aux points P et Q; tirant la droite OQ, et la considérant comme la trace d'un autre plan méridien OQ, on aura deux nouveaux points de la projection RR’UZ, en faisant OR’= OR , et OZ t= OU. x

De la tangente à la courbe d’intersection d’une surface de résolution par un * • ■ •- PIan- •

it 7. Le plan tangent à la surface de révolution, mené par un point de 1« ligne d’intersection de cette surface par un plan, rencontre le plan coupant suivant une droite , qui est une tangente de la courbe d’intersection.

Soit (R, r) un point quelconque de la courbe d’intersection de la surface par un plan ; le plan tangent en ce point passe par les tangentes & la courbe méridienne et au cercle, qui se coupent à angle droit en ce même point; mais les tangentes aux courbes méridiennes, menées par les points du cercle du diamètre ss', qui passe par le point donné (R, r), forment un cône droit qui est coupé par le plan horizontal XY de projection, suivant le oercle du rayon OG = O 'g; d’où il suit que la tangente à la courbe méridienne au point (R, r) de cette courbe , -rencontre le plan horizontal XY au point G. D'ailleurs (art. ai), la trace horizontale GH dit plan tangent est perpendiculaire à la traça ORP du plan, méridien qui passe par le point de contact (R, r) ; menant cette perpendiculaire, cMe rencontre la trace horizontale Lot du plan donné, au point H qui détermine la tangente HR. Portant otH en otH’ (Jig. i.a), la droite II \'p est la tangente à la courbe de l’ellipsoïde, rapportée sur le pla$ de cette courbe (/ig. i.a). .... .

Deuxième exemple de l’intersection d’une -surface de révolution par un pîan.

— De l’intersection, du tore , ou de la surface annulaire par un plan.

(PI- l«.)

1 18.. On appelle tore, ou surface annulaire, la surface engendrée par un cercle, qui tourne autour d’une droite située dans le plan dü cercle. Cette droite est Taxe de révolution ; on la suppose verticale sur la figure de la pi. 1 4, que nous allons expliquer. - -

Soit (A, W) l’axe de révolution, qui est donné dans le plan vertical AEF du cercle dd'ef, dont la projection horizontale est la droite EF; ce cercle a son centre en C sur le plan horizontal de projection , et pour diamètre la droite (EF, ef). O11 suppose que le tore est coupé par un plan vertical GEH perpendiculaire à la droite AF, et'passant par le point (E, é) Situé sur le diamètre horizontal du cercle générateur, parallèle au plan vertical de projec- •

tion; la courb« d’intersection a pour projection horizontale la droite GH. Pour développer cette courbe dans son plan, on fait tourner le plan vertical GH autour de sa trace horizontale GH comme charnière. La distance d’un point quelconque de la courbe à la charnière, mesurée sur une verticale, s’abat sur une droite de même longueur, perpendiculaire à EG.

Ayant décrit du point A comme centre, avec un rayon quelconque Air, un cercle qui coupe la droite AF au point », la perpendiculaire »/> menée par ce point à XY, rencontre le cercle générateur du tore ddef, aux points q, q qui sont les projections verticales des deux points du tore, situés sur la verticale ir. Mais le cercle du tore qui a pour projection horizontale P'»P, rencontre le plan vertical Gn aux points dont P et P’ sont les projections horizontales; donc la hauteur de ce point du tore au-dessus du plan horizontal de projection , sera égale à pq, ou pq'. Ayaut élevé la perpendiculaire QPQ’ sur GH, on prend PQ = PQ'=yjÿ, et les points Q, Q' appartiennent à la courbe d’intersection du tore et du plan. Les points K, R' de cette courbe, dont l’ordonnée verticale Kl ou K’I est égale au rayon du cercle générateur du tore, appartiennent au cercle horizontal du rayon AC, décrit par le centre (C, c) du cercle générateur autour de l’axe de révolution. La courbe développée dans son plan se compose de deux branches égales, GRQE/’H et HÆEQ'K’G, qui se croisent au point double E. ( Koÿez pour Iq détermination des tangentes à cette courbe au point double E, mon deuxième Supplément à la Géométrie descriptive de Monge, page 1 1, in-4°, année 1818. )

1 1 g. La section du tore que nous venons de construire, forme le passage des sections parallèles à denx branches séparées, de celles qui sont à une seule branche. Toutes les sections du tore comprises entre le plan méridien ZZ' et le plan coupant GII, sont à deux branches séparées. Toutes les sections comprises entre le plan coupant Gll et le plan tangent parallèle mené par le point F, n’ont qu’une seule branche.

De la tangente à la courbe d’intersection du tore et d’un plan parallèle à son

axe.

iao. GH étant la trace horizontale du plan coupant, parallèle à l’axe du tore, et P la projection horizontale d’un point de la courbe d’intersection, la hauteur de ce point au-dessus du plan horizontal est la droite PQ d’une longueur égale à pq <Ju pq' ordonnée verticale du cercle dd’ef. Un plan méridien AP méné par le point P, coupe le tore suivant le cercle générateur égal à dd'ef; or la tangente à ce cercle au point q rencontre l’horizontale bej au point r; donc, si l’on porte la partie br de cette horizontale de A en r\ la ■droite rT perpendiculaire à Ar', sera la trace du plan tangent au. tore, an

point Q du développement de la courbe d’intersection. Mais cette droite r'T rencontre la trace GH du plan ooupant au point T ; d’où il suit que la droite menée par le point T et par le point Q touche la courbe EQGR' au point Q. La droite TQ' touche cette courbe au point Q'; la sous-tangente TP est la mènie pour les deux points Q, Q’ situés sur la droite QPQ'. v

Le plan tangent au point du tore qui se projette en I sur le plan horizontal , est horizontal ; d’où il suit que la tangente au point K ou K' de la courbe d’intersection du cône et du plan GIH, est une droite horizontale, intersection du-plan tangent et du plan coupant vertical.

*wlH '

Du plan tangent de la seconde espèce. ( Voyez art. 46. )

121. Le même plan que nous venons de considérer comme plan coupant, et qui contient une courbe à deux branches du tore, est aussi tangent au tore, non parce qu’il contient les deux tangentes au point double E d’une ligne du tore, mais parce qu’il ne diffère pas du 'plan qui serait déterminé par lej tangentes à deux lignes distinctes du tore, l’une le cercle horizontal du rayon AE, l'autre le cercle vertical du diamètre EF.

Le plan vertical G'FH’, perpendiculaire à l’extrémité F du diamètre EF, est aussi tangent au point F du tore, puisqu’il passe par les tangentes aux deux cercles qui se croisent à angle droit au point de..Contact F; c’est un plan tangent de la première espèce ; il n’a de commun avec la surface que le point de contact F, qui est la limite des sections parallèles à une seule branche, comprises entre les deux plans verticaux parallèles GII, GTT. L’élément du tore au point E est aussi la limite de ces mêmes sections; mais ce point E appartient en même temps à la ligne qui est limite des sections parallèles, dont chacune a deux branches séparées.

Troisième exemple d’intersection d'une surface de révolution par un plan. —

Intersection de la surface réglée de V hyperboloide de révolution par un plan.

(PI. i5.) ' .

12a. Une droite qu» tourne autour d’une autre droite fixe, engendre une surface de révolution , dont la section méridienne est une hyperbole qui a pour demi-axe principal et réel la plus courte distance des deux droites données. La droite génératrice est dans toutes ses positions parallèle à un plan méridien, et sa distance à ce plan est égale à la plus courte distance des deux droites données.

• Un plan quelconque perpendiculaire à l’axe de révolution, coupe la surface suivant un ocrcle, le pian donné suivant une droite, et les points de

MA

reûcontre du cercle et de la droite appartiennent à la courbe d’intersection

demandée.

Explication de la pl. 1 5. On suppose le plan horizontal de projection perpendiculaire à Taxe de révolution, et le plan vertical perpendiculaire au plan coupant. ' < •

Soit XY l'intersection des deux plans de projection; ( A , abd) la droite fixe ou l’axe de révolution; (BC, bc ) la droite mobile dans la position où elle est parallèle au plan vertical de projection. La perpendiculaire à ces deux droites ( art, 36) est une horizontale AB, qui se projette sur le plan vertical au point b de la droite ab. Le pied (B,ù) de cette perpendiculaire sur la droite (CB, cb), décrit en tournant autour de la droite fixe le cercle (BB'EF, ebf ), qui est le püis petit de la surface, et qu’on nomme par cette raison cercle de gorge. Les* autres cercles ont pour rayons les perpendiculaires abaissées des points de la droite donnée (CB, cb) prolongée indéfiniment sur l’axe de révolution. Le cercle de gorge divise la surface1 en deux parties égales, dont chacune a la figure d’un entonnoir, et qui sont tangentes l’une à l’autre ; ces deux parties ne forment qu’une seule nappe divergente au-dessus et au-dessous du plan du cercle de gorge (*).

Si l’on conçoit par ce ‘petit cercle un cylindre droit vertical, la droite génératrice de l’hyperboloïde qui est donnée dans un plan tangent à ce cylindre, et qui tourne autour de la droite fixe, passe successivement dans tous les plans tangent au même cylindre ; or, par un point quelconque de l’hyperboloïde, on peut mener (art. 55) deux de ces plans, dont chacun contient la

(*) M. Broechi, conservateur des modèles à l’École polytechnique, m’a communiqué un procède simple et très-exact, de son invention, pour exécuter sur le tour une portion du solide terminé par unhyperboloïde de révolution, et compris entre deux cercles égaux, qui sont à égale distance du cercle de gorge : ce procédé consiste, i° à faire un cylindre droit, qut a pour hauteur la distance des deux cercles estrémes de l’hyperboloïde, et pour base supérieure ou inférieure, l’un de ces cercles, a* Le cylindre étant supposé horizontal , on dispose une scie rectiligne dans un plan vertical qui passe par le milieu de l'arétc la plus élevée du cylindre, et qui fait avec l'axe horizontal de ce cylindre un angle égal à celui de ce même axe av^c une parallèle à la génératrice de l'hypcrboloïde. On donne un trait de scie, de manière que la droite mobile qui termine les dents soit constamment parallèle la génératrice de l’hypcrboloïde, et son mouvement de fa et vient doit cesser, lorsque le trait de scie est à une distance de l’axe du cylindre, égale au rayon du cercle de gorge de l’hypcrboloïde. 3° On remet le cylindre ainsi disposé sur le tour, de manière que l’axe passe de ce cylindre par les deux pointes de cet Outil , et avec le ciseau on enlève du cylindre des tranches circulaires concentriques \ son axe, en prenant le trait de scie pour la limite de ces tranches. À^rès cette opération, le cylindre droit est transformé en une hyperboloïde de révolution de même base et de même hauteur.

droite génératrice; donc il n’y a aucun point de la surface qui ne soit l’intersection de deux droites appartenant à cette surface.. Ainsi le plan vertical CD, parallèle au plan vertical de projection, contient deux droites de la surface qui se croisent au point (B, A) ; elles font avec le plan horizontal le même angle; Tune rencontre le plan horizontal au point C, et l’autre au point D; la distance CD de ces deux points, et les deux droites de la surface, forment un triangle isocèle égal au triangle cbd donné sur le plan vertical de projection. Cfaacune'des droites (BC, bc), (BD, bd) est une génératrice de la surface. En marquant par des fils leurs positions successives, on obtient deux systèmes dé droites qui divisent la surface en petits quadrilatères; les droites d’un système no se rencontrent pas entre elles , mais elles sont toutes rencontrées par une droite quelconque de l’autre système. Les droites de Tun et l’autre système sont également inclinées par rapport à uu plan perpendiculaire à J’axe de révolution; l’angle qu’elles font avec ce plan est constant.

Ainsi la surface que nous considérons ne jouit pas seulement de la propriété générale de toutes les surfaces de réyolution , d’être coupées par des plans perpendiculaires à Taxe de révolution suivant des cercles, mais elle peut encore être engendrée par une droite de deux manières différentes; d’où il suit qu’un point quelconque de l’intersection de la surface et du plan, résulte de l’intersection d’un cercle ou d’une ligne droite par le plan donné.

1 a3. Soit le cercle du rayon AU, situé dans un plan horizontal quelconque gu, qui rencontre la droitè génératrice (BC, bc) au point (U, u); ce plan coupe le plan donné (NOp) suivant l’horizontale (GG', g) ; cétte horizontale et le cercle du rayon AU se rencontrent aux points (G, g), ($, g), qui appartiennent à la courbe d’intersection de la surface et du plan donné (NOp).

Toutes les droites de la surface se projettent sur le plan, horizontal snivant des tangentes au petit cercle du rayon AB. Soit G# Tune de ces tqpgentes , qui touche le cercle au point jS, et qui coupe en H le cercle du rayon AC ou AD que le point C de la droite génératrice décrit sur le plan horizontal- de projection; la droite de la surface (H/3, If/3') est coupée par le plan donné (NOp) au point (G, g) déjà trouvé. Si Ton mène par le point G, la tangente G> au cercle du rayon AB, qui touche ce cercle au point y, et coupe le cercle du rayon AC au point <f>» on aura une nouvelle droite de la surface (4G>, 4'ffy') qui passe encore par le point (G , g) de la section plane de la surface. Les deux droites de la surface (HG/3, ( 4G>, 4'éT> ) passent Tune par le

point (j8, /B’), et l’autre par le point (y, y) du cercle de gorge (BB’EF, ebf).

ja4- Un cercle ou une droite de la surface étant donnée, on vient de construire le point de la courbe d'intersection de la surface par Un plan,, qui se

trouve sur l'une ou l’autre de ces lignes, et les deux projections de ce point déterminent le plan méridien qui le contient. Maison pourrait proposer de résoudre le problème inverse : Étant donné un plan méridien, trouer le point de là courbe situé dans ce plan? Soit AGQ la trace horizontale donnée d’qn plan méridien; on demande le point (G, g) de la section Située dans ce plan.

Solution. Le plan méridien AGQ est coupé par le plan donné (NQp), suivant une droite qui rencontre l’axe de révolution au point (A, a). On regarde cette droite comme la génératrice d’un cône droit qui a pour sommet le point (A, «}, et pour base sur le plan horizontal de projection, le cercle d’un rayon AQ, dont l’extrémité Q est déterminée par la rencontre des deux traces AQ, ON. La droite génératrice de l’hyperboloîde de révolution (CB, cb) rencontre le cône droit en deux points, dont on construit les projections horizontales U et Z. Décrivant du point A comme centre avec les rayons AU, AZ, des cercles qui coupeht la trace donnée ÀG du plan méridien, aux points G et Z’, ces points appartiennent à la projection horizontale de la courbe d’intersection de l’hyperboloïde par Je -plan (NOp).

ia5. Pour trouver les points d’intersection d’un cône droit et d'une droite, on mène par le sommet du cône une parallèle à la droite donnée; par cette droite et sa parallèle, on conduit un plan qui coupe le cercle base du cône en deux points ; les arêtes du cône menées par ces points , coupent là droite donnée aux points demandés

Par le sommet (A, *) du cône droit, on a mené la parallèle (Ai, ai’) a la droite génératrice ( CB, cb); le plan conduit par cette droite et sa parallèle coupe le plan horizontal suivant la droite RS, qui rencontre le cercle du rayon AQ, base d« cône droit, aux points R et S. Les arêtes du cône qui passent par ces points, coupent la droite (CB , cb) aux points dont U et Z sont les projections horizontales. Faisant tourner cette droite autour de l’axe (A, ad)jios deux points qui.se projettent sur le plan horizontal en U et Z, décrivent des cercles de la surface qui rencontrent nécessairement la droite du plan coupant, située dahslc plan méridien donné AGQ, aux points dont G et Z' sont les projections horizontales.

Les cercles décrits autour de l’axe (A, ab ), par les points (-U, «), (Z, z) de la droite génératrice (CB, cb), se projettent sur le plan vertical, respectivement suivant les horizontales menées par les points u et z. Les mêmes horizontales contiennent les projections verticales g, z des points de la surface, dont G et Z' sont les projections horizontales.

126. La circonférence du rayon AQ rencontre la trace NO du plan coupant aux points Q et Q', situés dans les deux plans méridiens AQ, AQ'. En portant sur AQ' les droites opposées A 9, AZ', respectivement égales aux

droites AG, AZ', les points ç et Z’ appartiennent, comme les points G et Z’, à la projection horizontale de l’intersection de l’hyperboloïde par le plan donné (NO/>).

On trouvera de la même manière les points I et J de cette projection , situés sur le méridien AN perpendiculaire à la trace horizontale ON du plan coupant. Les opérations semblables aux précédentes sont tracées sur l’épure.

Des tangentes à la courbe d’intersection de la surface réglée d 'une hyperboloïde de révolution par un plan. — Nouvel exemple d’un plan tangent de la seconde espèce. ( PI. 1 5. )

137. Un point quelconque de l’hyperboloïde de révolution réglé ou à une seule nappe (*), est l’intersection' de deux lignes droites et d’un cercle qui se croisent eu ce point. Le plan tangent au même point contient les deux droites et la tangente au cercle; de ces trois droites, deux seulement sont nécessaires pour déterminer le plan tangent.

Soit (G, g) un point de l’hyperboloïde de révolution ; les droites de la surface qui se croisent en ce point, rencontrent le plan horizontal aux points H et 4 ! par conséquent la droite H</> est la trace horizontale du plan tangent.

Le plan méridien du point (G, g) étant vertical , le plan tangent en ce point lui est perpendiculaire (art. 63) ; d’où il suit que ces deux plans sont coupés par le plan horizontal de projection, suivant deux droites AG, H4 perpendiculaires entre elles. En effet, dans le triangle GH4, formé par les tangentes au cercle du rayon AB, menées par le point G, les côtés GH, G4'sont égaux, et forment avec la trace AG du plan méridien des angles égaux ; le côté H4 est donc perpendiculaire à AG. Cette construction fait voir que le plan tangent en (G, g) est en même temps sécant en tout autre point des deux droites de la surface par lesquelles il passe, puisque sa trace sur le plan horizontal est une corde H4d’un cerçle appartenant à la surface.

1 a8. La trace horizontale 4H du plan tangent étant prolongée , elle rencontre la trace NO du plan coupant (NOp), au point T qui appartient à la tangente de la courbe d’intersection de l’hyperboloïde de révolution et du « * plan donné : d’où il suit que la droite TG est la projection horizontale de cette tangente; iç sera une autre tangente au point 41 de la courbe GLjiZ’JZ'

(*) La surface de ITirperboloïde de révolution non réglée est engendrée par une hyperbole qui tourne autour de son axe principal non transverse ; cette surface est formée de deiur nappes séparées.

7 a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

si l’on prend sur la trace horizontale NO du plan coupant, la droite NT=N8,

et sur la perpendiculaire G$ à la droite AN, =

iag. Ayant construit la projection horizontale IGZ'JZ'çI de l’intersection de Thyperboloïde par le plan donné (NOp), on l’obtiendra dans son plan (/ îg . i.a), en faisant tourner ce plan autour de sa trace verticale Op {/îg. i). Après ce mouvement, un point tel que (G, g ) de la section s’abat sur le plan vertical de projection en g' {/ îg . i .a), la distance gg à la charnière Op étant égale à GG' ( ftg . i). On construit la tangente au point g {/ îg . i .a), en portant la droite OT {/ îg . i) en OT' {/îg. i .a) sur la perpendiculaire ON' à Qp; la droite menée par les points T’, g' est la tangente. Les points (I, /), (J, y) de la section deviennent sur son développement {/îg. i.a) i' et y", situés sur la droite i'j" menée parallèlement à Op, à la distance ON' = ON.

Des asymptotes aux sections planes d'une hjrperboloïde de révolution.

i3o. On démontre par l’algèbre que les sections de l'byperboloïde de ré- ■ volution sont, comme les sections du cône droit (art. 80), ou des ellipses, ou des hyperboles, ou des paraboles. Dans l’exemple précédent , la section est une ellipse, dont la projection horizontale est aine autre ellipse. Il est évident qu'elle ne peut s’étendre à l’infini, que lorsqu’une où plusieurs droites de l'byperboloïde sont parallèles au plan coupant. Il y a un moyen très-simple de reconnaître s’il y a sur un hyperboloïde d» révolution , une droite parallèle à un plan donué. Il consiste à mener par un point pris à volonté sur l’axe de révolution, une droite parallèle à la droite génératrice de l’hyperboloule, considérée dans une position quelconque. Cette parallèle, en tournant autour de l'axe, engendrera un cône droit, tel que chacune de ses arêtes sera parallèle à une droite de l’hyperboloïde , et réciproquement toute droite de l'hyperboloïdc aura sa parallèle sur le cône droit. Mais en menant par le sommet de ce cône un plan parallèle à un plan donné , il peut arriver que ce plan parallèle soit tangent au cône, ou sécant suivant deux arêtes, ou enfin qu’il n’ait de commun avec le cône que le sommet. Suivant qtie l'un de ces trois cas aura lieu, la section de l’hyperboloïde de révolution sera une parabole, ou une hyperbole, Ou une ellipse. Cela est évident pour l’ellipse ; le plan coupant n'étant pour ce cas parallèle à aucune des droites de Thyperboloïde, la courbe d’intersection est nécessairement fermée. S'il y a sur le » cône droit des arêtes parallèles au plan coupant, les droites de Thyperboloïde parallèles à ces arêtes, ne seront rencontrées par le plan coupant qu'à Tintiui; les taDgentes aux points de la section situés sur ces droites, sont les ' asymptotes.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. " fi

1 3 1 . Le plan tangent en un point de l'hyperboloïde de révolution , est déterminé (art 63 et 137) par les deux conditions de passer par une droite ' de la surface, et d’étre perpendiculaire au plan méridien du point de contact. Mais lorsque le point de contact est à l’infini sur une droite donnée de la surface, le plan méridien de ce point est nécessairement parallèle à cette droite (art. 1 ai) ; donc un plan mené par la droite donnée, perpendiculairement au plan méridien qui lui est parallèle, est le plan tangent au point situé à l’infini sur cette droite : l’intersection de ce plan tangent et du plan de la section, est l 'asymptote.

Dans le cas où la section est une hyperbole , il y a sur l’hyperboloïde de révolution,. deux droites parallèles au plan coupant, qui déterminent deux plans tangens pour les points de ces droites situés à l’infini; les droites intersections de ces plans et du plan de la section , sont les asymptotes. Dans le cas de la parabole, fe plan tangent au point situé à l’infini sur la droite parallèle au plan coupant, est parallèle à ce dernier plan, et la section n’a pas d 'asymptote. Pour démontrer le parallélisme de ces deux plans, nous ferons remarquer que les méridiens des points de contact situés à l’infini, passent par les arêtes du cène droit, parallèles aux droites de l’hyperboloïde, auxquelles ces points appartiennent; mais par hypothèse, dans le cas de la .parabole, le plan mené par le sommet du cène droit parallèlement au plan coupant, est tangent à ce cône; donc le plan méridien mené par l’aréte de contact est perpendiculaire au plan coupant : or le plan tangent au point situé à l’infini passe par une parallèle à l’arête de contact du cône , et il est de plus perpendiculaire au plan méridien de cette arête ; donc le plan tangent et le plan coupant passent par des droites parallèles, et sont perpendiculaires au même plan méridien; doù il suit qu’ils sont parallèles. O parallélisme n’a pas lieu pour le cas de l’hyperbole, parce que les plans méridiens des' points de contact situés à l’infini , étant normaux au cône droit, ils sont nécessairement inclinés par rapport au plan coupaut, dont le parallèle mené par le sommet du cône coupe ce cône suivant denx arêtes.

Des foyers des sections planes de l’hyperboloïde de révolution à une nappe.

i3a. Le» fiions planes de l’hyperboloïde de révolution étant comme pour le cône droit, des ellipses, ondes hyperboles, ou des paraboles, ces courbes ont des foyers, et on démontre que ces foyers sont, comme pour le cône droit (art. 87), les points de contact des sphères circonscrites à l’hyperboloïde et tangentes aux plans de» courbes."

Soit ABCD ( fig. 5,pl. suppl. A) la section méridienne de l’hyperboloïde,

^ * • tn

composée des deux branches égales d’hyperbole ALC, BNTD, et supposons que le plan de cette section soit perpendiculaire au plan qui coupe l’hyperboloîde, en sorte que l’intersection des deux plans soit la droite PQ. Désignons par « une droite quelconque de l’hyperboloïde, qui se projette (Jig. 5} suivant la droite 11’, tangente aux deux branches de l’hyperbole; la droite de l’espace il est coupé par le plan PQ, en un point rn de l’espace, qui appartient à la section faite par ce plan, et dont la projection (Jig. 5) est le point M.

Les sphères des rayons RF, R'F' circonscrites à l'hyperboloïde suivant les cercles des diamètres AB, CD et tangentes au plan PQ, touchent ce plan aux points F, F' qui sont les foyers de la section. En effet, la droite imi de l’hyperboloïde (les trois lettres irm, i désignent des points de l’espace et ne sont point sur la J îg . S) comprend deux parties mi, mî respectivement tangentes aux sphères circonscrites des rayons RF, R’F'; or les tangentes à l’une ou à l’autre de ces sphères, qui partent d'ïtn même point pris en dehors, sont égales, donc on a : mi=m¥ ; mi' =wtF’; d’où il suit que la somme des rayons vecteurs (/«F ■+■ m F') est égale à (mi -h mi') ou à la partie de la génératrice de l’hyperboloïde, comprise entre les deux cercles de l’hyperboloïde des diamètres AB, CD ; mais quelle que soit la position de la génératrice par rapport à l’axe de révolution, cette partie ne varie pas; donc la somme des rayons vecteurs d’un point quelconque de la section plane d’un hyperboloïdc de révolution à une nappe, est une quantité constante. La même démonstration s’applique à l'ellipse, à l'hyperbole et à la parabole.

Étant donnés l’axe et la droite génératrice d’im hyperboloïde de révolution, la détermination des foyers des section planes de cette surface sera l'objet d’un article du livre II, chapitre Ier, des lieux géométriques. Nous ferons usage dans cet article de la propriété (*) des courbes du second degré par rapport à une droite qu’on nomme la directrice de ces courbes.

(*) M. Manchet , professeur agrégé des colleges royaux de Paris, m'a communiqué ; en avril i8a6) la démonstration suivante de cette propriété :

Soit CSD (fis- t, pt. suppl. A ) la section par l'axe d’un cône droit, dont le plan est perpendiculaire à un autre plan sécant quelconque PQ. On a vu (art. 87) qu'une sphère inscrite au cAnc suivant le cercle du diamètre AB et tangente au plau sécant PQ, était touchée par le plan au point F, l'un des foyers de la section conique PQ. M. Blanche! a observé que la droite in- ; ter-section du plan PQ et du cercle A B était la directrice de la section coniq^PQ; qu'ainsi le point T intersection des droites AB, PQ appartenant k cette directrice, sa position était déter- V minée, puisqu'elle est dans le plan TPQ, et perpendiculaire *u plan de la section méridienne CSD du cône droit. Le plan sécant ayant tourné autour de sa trace PQ pour s'appliquer sur le plan de la section CSD, la directrice de la section du çône par le plan PQ est la droite TT' perpendiculaire à la tcacc TPQ. * .

§ IV. DBS IRTERSECTIOKS DES SURFACES RÉGLÉES PAR DR PLAN, “ET DBS TAKGBRTES AUX COURBES D'iRTERSECTIOR. . - '

1 33. Une surface réglée est définie (art. 5a), lorsque pour chacun de ses points , on peut assigner la position de la droite mobile qui s'appuie sur les t^ois courbes directrices. Un plan étant donné, une droite quelconque de la surface est coupée par ce plan en un point qui appartient à la courbe d’intersection de la^ surface et du plan : or on sait comment (art. 1 7) on construit le point de rencontre d’une droite et d’un plan donnés de position ; par conséquent on trouvera tant de points qu’on voudra de la courbe d’intersection d’une surface réglée et d’un plan ; mais la tangente à cette courbe en un point déterminé résulte de l’intersection du plan tangent à la surface au même point et du plan coupant; ainsi la détermination de la tangente dépend de la solution de ce problème : Mener un plan tangent à une surface réglée par un point donné sur la surface.

Il est nécessaire, pour re'soudre ce problème, de considérer la surface réglée particulière, qui a pour directrices de la droite mobile trois droites fixes données de position , et d’en faire connaître les propriétés par rapport au plan tangent.

De la surface réglée élémentaire, ou de l'hyperboloide à une nappe. (PL 16.)

i34- Nous avons démontré, dans nos Élémens de géométrie à trois dimensions(*), qu’H n’y avait que cinq espèces de surfaces du second degré, dont trois ont un centre, et deux autres en sont dépourvues. Les trois premières se nomment ellipsoïde, hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde à deux

La propriété de la section conique PQ par rapport à la directrice TT consiste dans la relation qui existe entre les distances d’un point quelconque de la section au foyer F et 4 la droite TT; ces deux distances sont dans un rapport constant pour l’ellipse et fbyperbole, et elles sont égales pour le parabole. Adoptant les dénominations de l’article 87 cité page St, et ayant abaissé du point H la perpendiculaire MNN sur l'axe SRR’ du cône droit, on a mF —mi as AN= BN. Or les deux triangles QTB, QMS donnent la proportion :

BS' on mF : MT : : QB ; QT : : sin QTB : sin QBT; donc ^

mF et MT sont les distances d’un point quelconque m de la section conique PQ au foyer F et à la directrice TT; ces distances sont entre elles dans le rapport des sinus de deux angles qui ne dépendent que de la direction du plan PQ par rapport 4 l’axe du c6ne droit ; d’où il suis que ce rapport est constant. Lorsque la section est une parabole (JSg. h,pl. suppl. A), les deux angles QTC, QBT soûl supptMums lun de l’autre, et on a : mF = MT. .

;•) 1 roi. io 8*, partir anafyttqme, F. Didot, 18)7.

nappes ; les deux autres, paraboloide elliptique et paraboloïdc hyperbolique. Cetle dernière, et l’hyperboloïde à une nappe, jouissent de la propriété d’êlre engendrées par une droite de deux manières différentes; on peut aussi les appeler surfaces réglées du second degré, et c’est ainsi que nous les désignons pl. 1 6 et 17.

1 35. Étant données trois droites fixes, on prend un point quelconque sur la première ; par ce point et par la seconde droite, on mène un plan qui coupe la troisième droite; la quatrième droite, menée par le point d’intersection et par le point de la première droite, s'appuie sur les trois directrices fixes. Cette quatrième droite, qu’on mène successivement par tous les points de la première, est la génératrice de Ÿhyperboloide à une nappe. Cette surface a un centre, et trois axes principaux rectangulaires qui passent par ce centre. Ces trois axes sont ( pl. 16, fig. 1) les droites BAR’, EAF ou eaf et £«4.

Deux de ces axes BB’, EF sont aussi ceux de l’ellipse qui forme la gorge de la surface. Lorsque ces axes sont égaux {fig. a, pl. 16), l’ellipse de gorge devient un cercle, et l’hyperboloîdeà une nappe ne diffère pas de l’hyperboloïde de révolution, qui a été l’objet des articles (t aa-i 33). Les sections parallèles des surfaces du second degré étant semblables, les plans parallèles à l’ellipse de gorge de l’hyperboloïdc à une nappe, coupent nette surface suivant des ellipses semblables, dont les axes augmentent continuellement, à mesure que leurs plans s’éloignent de l’ellipse de gorge, ^en sorte que la surface est composée de deux parties égales, qui s’étendent indéfiniment au-dessus et au-dessous de cette ellipse. ,

BB'EF(fig. .1, pl. 16) çst l’ellipse de gorge construite sur les axes BR', EF. JjC plqu mené par l’axe EF, perpendiculairement à celui de l’ellipse, coupe l’hypprbolotde suivant l’hyperbole xex, yfy, qui a pour axes principaux la droite ef— EF, et la droite donnée »$. Un troisième plan perpendiculaire à celui de la gorge, qu’on mènerait par l’axe BB', couperait l’hyperboloïde suivant une hyperbole qui aurait pour axes principaux les droites BB' et «$. Ainsi les trois sections principales, construites sur les trois axes donnés BB', EF, *t, qui se croisent au centre A de la surface du second degré, sont pour l’hyperboloïde aune nappe, une ellipse et deux hyperboles; elles seraient toutes trois ellipses pour l'ellipsoïde, et se réduiraient à deux hyperboles pour l’hypcrholoïde à deux nappes. Les droites de l’hyperboloïdc à une nappe, projetées .sur les plans des trois sections principales de cette surface, sont tangentes à ces sections, car on démontrera (art. *44 ) que les plans projetant les droites de la surface , sont comme tous les plans passant par ces droites tangens à la surfaqc.

Des sections elliptiques et circulaires, prises pour les directrices de la droite

mobile génératrice de l'hyperboldïde à une nappe ; de la double génération

de cette surface par une ligne droite. (Fig. i, pl. 16.)

i36. Toutes les sections planes de l’hyperboloïde sont, comme pour le cône à base circulaire, des ellipses, des hyperboles ou des paraboles; deux systèmes de plans parallèles le coupent suivant des cercles : tous les cercles d’un même système ont leurs centres sur une droite qui passe par le centre de la surface , et qui est inclinée par rapport à leurs plans. Deux plans (xy, xy) ( fig . i), parallèles au plan de l’ellipse de gorge (BB'EF), coupent l’hyperboloïde suivant des ellipses qui se projettent sur le plan horizontal, suivant une seule ellipse XYZZ', semblable à l’ellipse BB’EF et semblablement située. Deux autres plans menés par les grands axes.de ces ellipses (XY, xy), (XY, xy") sous une inclinaison déterminée, coupent la surface suivant deux cercles égaux et parallèles, d’un diamètre égal à la droite XY.‘ Concevons que les circonférences de ces deux cercles aient'été divisées en un nombre pair d’arcs égaux, à partir des points (X, x), (X, x) extrémités de leurs diamètres parallèles; la droite menée du point (X, x) du cercle inférieur à un point déterminé du cercle supérieur, déterminera la position de toutes les * autres droites de la surface. Avançant d'im arc sur le cercle inférieur, on avancera pareillement d’un arc égal sur le cercle supérieur, et la droite qui joindra les - extrémités de ces deux arcs appartiendra encore à la surfacé; mais du point (X, x) du cercle inférieur on peut mener, deux droites de même longueur à deux points déterminés du cercle supérieur, et il est évi*dent que ces deux points à égale distance du point (X, x) sont situés dans un plan tel que »4> perpendiculaire à la droite XY.

Les deux droites, en se mouvant suivant 1a même loi, engendrent la même surface ; les deux systèmes de droites divisent cette surface en petits quadrilatères; une droite quelconque de l’un des systèmes coupe toutes les droites de l’autre système. On remarquera que les projections de ces droites sur le plan horizontal divisent l’ellipse XYZZ' en arcs inégaux, tels que les projections des deux systèmes de droites passent par les mêmes points de cette ellipse. 11 n’est pas nécessaire, pour obtenir cette division, de connaître TincLinaison du plan du cercle par rapport au plan de l’ellipse qui a pour grand axe le diamètre du cercle. On décrit sur XY, comme diamètre, une demicirconférence qg’on divise en parties égales à partir de l’extrémité X de ce diamètre, et on abaisse des points dé division des perpendiculaires' s#|BXY,

qui divisent l’ellipse de la manière la plus symétrique et 1a plus commode

pour exécuter la surface avec des fils.

Néanmoins les perpendiculaires à XY, voisines des droites Xjt ou Y/, couperaient l’elltpse XYZZ’ sous des angles très-aigus, et il conviendra par cette raison de déterminer l’inclinaison du plan qui coupe l’ellipsoïde suivant un cercle. La perpendiculaire ZV à l’axe BB' rencontre le cercle du diamètre XY au point v, par lequel on mène le rayon Av. Le plan mené par l’axe XY, et qui fait avec le plan de l’ellipse de gorge l’angle Z' Av, coupe l’hyperboloïde à une nappe suivant un cercle dont la projection sur le plan de la gorge est évidemment l’ellipse XYZZ'. Ayant divisé le quart de cercle X« en parties égales, on abaisse de chaque point de division, tel que t, la perpendiculaire ts sur AZ on porte As en As' sur le rayon Av, et les droites rectangulaires s't‘, tt\ parallèles respectivement aux axes EF, BB', se coupent à l'un des points de division i de l’ellipse XY’ZZ'. Cette division de l’ellipse étant connue, on prend deux disques elliptiques égaux et semblablement placés, dont les centres sont sur une droite perpendiculaire à leurs plans; on attache sur les bords de chaque disque de petites pointes ou crochets, aux points de division déterminés comme on vient de l’indiquer. Le fil qui joint successivement les points correspondans des deux ellipses, engendre l’hyperboloide dont la gorge est dans un plan parallèle aux disques, et à égale distance de ces disques. Lorsqu’à la place des disques elliptiques on prend deux disques circulaires, l’hyperboloïde à une nappe devient une surface de révolution dont la gorge ( fig. a ) est le cercle BB'EF, concentrique au cercle XYZZ’, projection des deux sections circulaires à égales distances du plan de la gorge.

137. Au lieu de prendre (/tg. i) pour directrices «le la droite mobile génératrice de l’hyperboloïdc à une nappe, deux ellipses égales et parallèles, on pourrait supposer que cette droite s’appuie constamment sur deux cercles égaux et parallèles, dont les centres sont joints par une droite qui est inclinée par rapport aux plans de ces cercles.

Soient (/ îg . 3 ,pl. r6) i, a, 3, 4...., et abcd ces deux cercles ; ayant divisé leurs circonférences dans le même nombre de parties égales, on mènera d’un point quelconque de division i du premier cercle, deux droites égales et d’une longueur donnée i.a, i.i' vers les deux points detlivision a, t'du second cercle. On aura pour les droites d’un système, celles qui joignent les points consécutifs t, a, 3, 4.... du premier cercle, et les points consécutifs a, b, c, </.... du second ; les droites de l’autre système joindront les points consécutifs et correspondans (t, i'), (a, a'), (.1,3’), .(4. 4')» etc- Ces deux systèmes de droites divisent en parties égales le cercle de gorge ab ef.

138. Si l'on donnait l’ellipse de gorge et une seule droite de la surface hy-

perboloïde, cette surface serait déterminée. En effet, on considérerait l’ellipse donnée comme la base d'un cylindre droit. Un plan quelconque, tangent à ce cylindre, couperait la droite donnée en un point; l’aréte de contact du cylindre et du plan rencontrerait l'ellipse en un autre point : la droite qui joindrait ces deux points appartiendrait à la surface. #

1 19. Soit qu’on prenne pour directrices de la droite génératrice de l’hyperboloïde à une nappe, deux ellipses égales et parallèles, ou deux cercles égaux et parallèles, cette surface comprend deux séries de droites, et le plan tangent en un point quelconque est déterminé par les deux droites qui se croisent en ce point; considérant trois droites quelconque de l’une ou l'autre série comme les directrices d’une droite mobile, il est évident (art. 5a) que la surface engendrée par cette droite sera déterminée, et quelle ne différera pas de l’hyperboloïde à une nappe, qui a pour génératrice la droite, dont les directrices ont été désignées dans l’article précédent. On peut donc définir la surface de l’hyperboloïde à une nappe par cette propriété caractéristique, qu’elle est engendrée par une droite mobile qui s’appuie sur trois droites fixes.

En admettant cette définition, on peut démontrer synthétiquement que la surface a un centre, et qu’elle peut être engendrée par une droite mobile de deux manières différentes. Nommons A, B, C trois droites de l’espace qui ne se rencontrent pas et qui ne sont pas parallèles à un même plan, et soit construit (art. <$o) le parallélipipéde capable de ces trois droites, et de leurs symétriques A’, B', C’ (art. 4' )• Chacune de ces droites symétriques, A' par exemple, est déterminée par la condition d’élrc parallèle à A, etdetre sécante des deux autres B et C. On a démontré (art. 4») qu’une droite T qui s’appuie sur les trois droites A, B, C, avait pour symétrique une droite paraltèleSqui s’appuie sur les trois droites symétriques A', B',C',et queles deux transversales T, S étaient à la même distance du centre du parallélipipéde. Ayant construit une série de transversales T, T', T'.... des trois droites A, B, C, on en déduit les transversales symétriques correspondantes S, S', S”; si les droites T, T, T".... appartiennent à la surface réglée, les droites S, S', S*.... seront sur la même surface.

En effet, concevons par le centre I 7, pl. suppl. A) du parallélipipède, trois parallèles ab, ca', b'c, aux trois droites données A, B, C, ou à leurs symétriques A’, B’, C', et les trois plans P, P', P” menés par ces parallèles prises deux à deux. Soit t un point quelconque de la tranversaleT,et t’ (*)

( ) Cas points r, t sont marqués des mêmes lettres surla Jtg. 3 , pl. 5; les droites fat, frn’ (meme . . » Cé»re) sont les transversales qui sont ici désignées par les lettres T, T, et qui coupent l’une les, rois droites AB, CA’, B’C, l’autre leurs symétriques AD1, CA, BC ( fig. 3 ,/j/. 3). ‘ -

8o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

son point symétrique, qui est situé sur la droite 1/ prolongée, et qu’on détermine en prenant I f ‘ = 1 / . On conçoit un second parallélipipede ttinm' (Jîg. "],pl. suppl. k) de même centre I que le premier, dont les arêtes sont parallèles au* trois droites A, B, C, et qui a pour diagonale la droite tt‘. Le solide tt’rnni est divisé par les trois plans P, P’, P” en quatre parallélipipèdes égaux, dont deux Ubc, IfW ont pour diagonales les droites égales I/, I/';or les points t, t‘ rapportés aux trois plans P, P', P' sont déterminés l’un par les trois droites/*, xA, AI, l’autre par les trois droites /'*',*'«, al respectivement égales, parallèles et comprenant les memes angles; donc, quelle que soit la relation qui existe entre les trois premières droites, elle subsiste entre les trois secondes; donc les positions des points t et /' sont déterminées par les mêmes conditions; d’où il suit que ces points appartiennent à la même surface, et que cette surface a pour centre le point I, centre du parallélipipède capable des trois directrices données A, B, C.

i4o. Le centre I de la surface n’est pas seulement le centre du parallélipipède construit sur les trois droites A, B, C ou A', B', C . Trois droites quelconques prises dans l’une ou l’autre série des transversales T, T , T"..., S, S', S" déterminent un parallélipipède; tous les parallélipipèdes construits sur trois transversales quelconques prises dans la même série , ont même centre, et ce centre commun est aussi celui de la surface. Les trois transversales de chaquc série peuvent être prises pour la génératrice de l’hyperboloïde; d’où il suit que cette surface peut être engendrée par une droite mobile de deux manières différentes, et qu’il n’y a aucun point de cette surface par lequel on ne puisse mener deux droites D, I)', l’une D de la sérielles transversales T, T’, T'.... L’autre D' de la série S, S', S”....

Cette propriété de la double génération de l’hypcrboloide à une nappe,

, subsiste encore dans le cas particulier où les trois droites A, B, C directrices de la droite mobile, sont parallèles k un même plan; alors l'hyperboloïde à une nappe prend le nom de paraboloïde hyperbolique. Avant la division (arb 1 34) des surfaces du second degré en cinq espèces , le paraboloïde hyperbolique était connu en charpenterie sous le nom de pan ou plan gauche; on n’avait considéré pour la construction de certains combles , que la portion du paraboloïde comprise dans le quadrilatère qui est formé par quatre droites de cette surface non situées dans le même plan, et que plusieurs géomètres avaient nommé quadrilatère gauche.

Si

Du paraboloide hyperbolique, de sa double génération par une ligne droite.

(Fig. i,pl. 17.)

■4i. La section principale qui est une ellipse BB'EF (Jîg. i,pl. 16) pour l’hyperboloïde à une nappe, devient pour le paraboloide hyperbolique, une parabole; soit ZFZ' (pl. 17, fig. 1) cette parabole; toutes les droites de la surface se projettent sur le plan de cette parabole, suivant les tangentes à cette courbe. Soit FF'G' la tangente au sommet F de la parabole et la projection horizontale de l’une de ces droites \ff'g ou ff"g' , la projection de cette droite de la surface sur un plan vertical XY parallèle à la projection horizontale FF'. En prenant pour directrices de la droite génératrice du paraboloide, la parabole FMNZ (fig. 1 ), et la droite (FF'G', Jf'g ou ff g", fig. 1, i.a) , toutes les positions de la droite génératrice seront déterminées. En effet, considérons la parabole ZFZ’ comme ta base d’un cylindre dont les arêtes sont perpendiculaires au plan de cette parabole ; puisque, par hypothèse , les droites du paraboloide se projettent ( fig. 1) suivent les tangentes à la parabole ZFZ', un plan quelconque tangent à ce cylindre coupera lés droites (F'G \ff'g'), g’) en deux points; l’arête de contact sur le cylindre rencontre la parabole en un autre point; les droites menées de ce point aux deux premiers, appartiennent à la surface. Les projections de ces droites sur le plan vertical XY sont toutes parallèles entre elles, et parallèles aux droites don- ^ nées JJ’,ff. Soient M, N, Z, ou M', N', Z’, les points de la parabole qui se projettent sur le plan vertical XY en m , n, z, ni, n, z'. Les parallèles menées paY ces derniers points aux droites ffg ,ff’çf sont les projections verticales des droites de la surface, qui ont pour projections horizontales les tangentes à la parabole FFj MI, M'1, NE, N'K, ZL,Z'L. Tous les plans perpendiculaires au plan de la parabole ZFZ', et parallèles au grand axe KVf de cette parabole, coupent le paraboloide suivant une parabole constante F'I’rK’K'L'L'. Eu faisant mouvoir cette parabole dans les plans FA , MS, M'S', NU, N'U’,... de ' manière que son sommet parcoure la parabole de la section principale ZŸZ'. elle engendre le paraboloide hyperbolique. Les paraboles fixe et mobile divergent dans l’espace en sens contraire (’); ces diverses propriétés du paraboloïde réglé se démontrent par l’algèbre.

(’) Si ces deux paraboles divergeaient dans le même sens, la parabole mobile, telle que MÂT, égale il la parabole LT*L' retournée, engendrerait le paraboloide elliptique. ( Voy. la définition des autres surfaces du second degré, ait. iî4.)

8a A GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

l43. En partant de la définition du paral>oioïdc hyperbolique que cette surface à pour génératrice une droite mobile qui s'appuie sur trois droites fixes parallèles à un même plan, on démontre- synthétiquement qu’elle jouit comme l’hyperboloïde à une nappe, dont elle est un cas particulier, de la double génération par une ligne droite.

Soient AB, MN, CD (Jig . j,pl. suppL A ), les trois droites parallèles à un même plan, par exemple au plau horizontal qui contient la droite AB; il s'agit de démontrer que toutes les transversales de ces trois droites, telles que AD, IK, BC.... sont parallèles à un même plan, et par conséquent parallèles au plair mené parallèlement à deux quelconques d'entre elles. Menons par le point B les droites 1 W, 11/ respectivement parallèles aux droites AD, IK, et par les points G, K les parallèles Gg, K/ qui coupent les horizontales Cd, N« aux points / et g. Les quatre droites IGK, IB, Gg, K/ sont dans un plan qui coupe celui du triangle CDd suivant la droite Kg A ; or les distances des points £, /au plan horizontal passant par la droite AB, sont respectivement égales aux distances des points G, K et du même plan ; donc ou a : hg = JG ; B/= IK; mais des droites égales comprises entre deux parallèles, sont aussi parallèles entre elles ; d’où il suit que la droite B gk est parallèle à la droite lGK;ainsi toutes les droites d'un paraboloide, qui s'appuient sur trois droites parallèles à un même plan, sont elles-mêmes parallèles à un plan unique, lequel est parallèle à deux quelconques d’entre elles. On peut donc définir le paraboloide hyperbolique, une surface engendrée par une droite mobile qui s’appuie sur deux droites fixes, et qui est constamment parallèle à un même plan. Ce motje de génération étant admis, on démontre facilement la double génération par une ligne droite.

Démonstration de la double génération du paraboloide réglé.

1 43. Soit (pl. suppl. b, Jîg. 7 ) un quadrilatère gauche ABCD situé d’une * manière quelconque dans l'espace ; mie droite peut se mouvoir de deux manières, i° en s’appuyant sur les côtés opposés AB, CD, comme directrices, et restant parallèle au plan des deux autres côtés AD, BC; a° en s’appuyant sur ces derniers côtés comme directrices, et restant parallèle au plan des deux premiers AB, CD : une seule et même surface comprend toutes les droites dont la position est déterminée par ces deux lois de mouvement. Pour le démontrer, nous allons faire voir que toutes les droites telles que IK qui s'appuient sur les côtés AB, CD comme directrices, sont rencontrées par une droite quelconque MN qui s’appuie sur les deux directrices AD, BC. ,

Ayant construit le parallélogramme ABD</ sur les côtés AB, AD du quadrilatère, tirons la droite C d, qui forme avec les lignes D d, Cl) le triangle CDd, et avec les lignes B d, BC le triangle CB d; il est évident que les plans de ces

triangles sont respectivement parallèles aux côtésopposés du quadrilatèregauche. Menons deux plans qurdconques parallèles aux plans des triangles CB//, CIV, et soient 1/, Mn les traces de ces plans sur le plan du parallélogramme A B IV. Leurs traces sur les plans des triangles CD//, CIV/ seront les droites /K, nN parallèles à la droite C d, et on aura deux triangles IK/, MNn, dont les plaus respectivement parallèles à ceux des triangles CIV, CD//, se coupent suivant la droite G h qui passe par le point A, •'intersection des deux droites I/, Mn, et qui est parallèle aux droites Cd, K/ et Nn. Nous allons démontrer que la droite Gà qui rencontre nécessairement les droites IK, MN, les coupe au même point G. »

Considérons d’abord cette droite G A dans le plan du triangle Kl/, et comme une parallèle de K/, qui coupe la droite IK au point G : à cause des triangles semblables lhG, I/K, on a la proportion :