I/: U»:: K/: GA

d'où il suit que la droite GA qui se termine au point G de la droite IK, a pour valeur y K/ , ou —J Kl, ou enfin à cause des triangles semblables

B O/, BNn, GA = ”"K/.

Considérons maintenant la droite GA dans le plan du triangle MNn, et comme une parallèle de N/j qui coupe la droite MN; jç dis que le point d’intersection ne différer^, pas du point G de la droite IK; car on a, à cause des triangles semblables MNn, MGA, la proportion :

1 Mn : MA::NntGA;

ce qui donne pour la longueur GA, en supposant que l’extrémité G de cette droite soit sur MN :

„ , MA v 11/ « K/

CA = sï,N« = 55N/»= crfN"’

Les deux valeurs de GA sont égales; d'où il suit que toutes les droites IK, I’K' d’un premier mode de génération du paraboloïde réglé, sont rencontrées par toutes les droites MN, M'N' do second mode de génération; ce qui prouve i° que le paraboloïde peut être engendré par une droite mobile de deux manières différentes;

a° Que dans chaque mode de génération, le mouvement de la droite gé-

nératrice est déterminé ou par la condition de s’appuyer sur trois droites fixes, parallèles à un même plan, ou par les deux conditions de s’appuyer seulement sur deux droites fixes, et de rester parallèle à un plan directeur donné.

Du plan tangent à l’hyperboloide à une nappe, et au paraboloïde hyperbolique.

1 44 • On vient de démontrer que ces deux surfaces peuvent être engendrées par une droite de deux manières différentes; un point quelconque de ces surfaces est donc l’intersection de deux droites appartenant aux deux sys- * tèmes de génération ; d'où il suit que le plan tangent en ce point est déterminé par ces deux droites. Si l’on conçoit sur chaque surface trois droites d’un même système, un plan quelconque mené par l’une de ces droites, et tournant autour d'elle comme charnière, sera dans toutes ses positions tangent à la surface ; mais le point de contact variera, et pour l’obtenir il faudra * prolonger le plan tangent jusqu’à ce qu'il coupe les deux autres droites du premier système : la droite qui joindra les deux points d’intersection appartiendra au second système de génération, et coupera la droite du premier système par laquelle on a mené le plan tangent, au point de contact de ce plan et de la surface.

Lorsque le point de contact sera donné sur une droite du premier système,

. on construira (art. 4a) la droite qui passe par ce point et qui coupe deux autres droites quelconques du même système ; cette transversale et la droite connue du premier système déterminent le plan qui touche la surface au point donné sur cette' droite. ' ’

lorsque les plans directeurs du paraboloïde seront connus, la position de la transversale sera déterminée par la condition de couper deux droites de l’un des systèmes, et d’être parallèle au plan directeur qui correspond à l’autre système de lignes droites appartenant à la surface.

i45. Toutes les droites menées dans l’angle formé par les deux droites qui déterminent le plan tangent de l’hyperboloïde à une nappe ou du paraboloïde hyperbolique, sont des sécantes de ces surfaces; d’où il suit qu’un plan n’est tangent à l’hyperboloïde que suivant un élément infiniment petit, et en un seul point, limite de cet élément; en tout autre point des deux droites de la surface par lesquelles il passe, il est sécant, tandis que le plan tangent à une surface réglée développable, est tangent dans tous les points de la droite par laquelle il passe.

Des sections planes du paraboloïde hyperbolique.

1 46. Les sections planes d’un paraboloïde hyperbolique ne peuvent pas être des courbes fermées ; elles sont ou des paraboles ou des hyperboles ; car quel que soit le plan coupant, deux droites de la surface seront parallèles il ce plan, et les points de la courbe d’intersection situés sur ces droites, seront à l’infini. Pour le prouver, concevons que le plan coupant et les deux plans parallèles aux deux systèmes de droites du paraboloïde se rencontrent; nommons p et q les droites d’intersection de ces plans; A, A les côtés opposés du quadrilatère gauche (art. 1 43) qui détermine le paraboloïde, B, B' les deux autres côtés. Toutes les parallèles aux droites p etq seront parallèles au plan -coupant : or, il y a deux droites , l’une parallèle à p, l’autre à q, qui s’appuient, la première sur les directrices A, A', la seconde sur les directrices B, B'; car, si, par la directrice A et une parallèle à la droite p, on imagine un plan qui coupe la directrice A' en un point, une autre parallèle p' à la droite p menée par ce point, s’appuiera sur les directrices A, A' et sera parallèle au plan des deux directrices B, B’ et au plan coupant, plana qui par hypothèse se rencontrent suivant la droite p.

Par la même raison, la directrice B et une parallèle à la droite q, détermine un plan qui coupe la directrice B’ en un point, par lequel on conçoit une parallèle q' à la droite q; cette parallèle s'appuiera sur les directrices B, B', et sera parallèle au plan des deux directrices A, A' et au plan coupant. Mais les deux droites p , q l’une parallèle au plan des deux directrices B, B’, l’autre au plan des deux directrices A, A', appartiennent à la surface du paraboloïde, et sont parallèles au plan coupant; donc elles contiennent des points de la courbe d’intersection du paraboloïde et du plan donné, qui sont situés à l’infini; d’où il suit que le plan donné, quel qu’il soit, ne peut couper le paraboloïde suivant une courbe fermée.

Les deux droites p, q se réduiront à une seule, lorsque le plan coupant sera parallèle à la droite d’intersection des deux plans, l’un parallèle aux côtés A, A' du quadrilatère^uchc, l'autre aux côtés B, B' de ce quadrilatère. Dans ce cas, la section du paraboloïde sera une parabole, c’est-à-dire l’une des sections coniques qui s’étend à l’infini, et n’a pas d’asymptotes. Connaissant , dans le cas d’une section hyperbolique , les droites p', q' de la surface parallèle au plan coupant, on déterminera les asymptotes de cette section par des considérations semblables à celles qui ont servi à trouver les asymptotes des sections de l'hyperboloïde de révolution (art i3i).

En effet, le plan mené par la droite p' parallèlement au plan des deux di-

rectrices B, B , ne rencontre aucune des droites de la surface parallèle à ce plan, et il est tangent à la surface; le point de contact est donc situé à l’infini : d’où il suit qu’il Rencontre le plan coupant suivant l'asymptote de la section contenue dans ce dernier plan. Par la même raison, le plan mené par la droite q' parallèlement au plan des deux directrices A, A' ne rencontre aucune des droites de la surface parallèle à ce plan, et il est comme tout plan qui passe par une droite de la surface, tangent à cette surface (art. 1 44) ; donc le point de contact est situé à l’infini. Les intersections du plan coupant et des deux plans tangens pour lesquels le point de contact est situé à l’infini, déterminent les deux asymptotes qui, d'après cette construction, sont parallèles aux droites p, q. Lorsque ces droites p, q se réduisent k une seule, elles sont à une distance infinie des deux plans parallèles aux deux systèmes de droites; un troisième plan qui leur est parallèle, et qui est mené par c*tte droite, ne rencontre le plan coupant que suivant une droite située à l’infini; d'où il suit que la courbe contenu* dans le plan coupant n’a pas d’asymptotes; ce qui indique que cette courbe est une parabole.

Des sections pianos de l'hyperboloïde à une nappe.

147- Si l’on prend sur un liyperboloïde cinq droites d’un même système, et que par le centre de cette surface on mène dés parallèles à ces droites, le cône elliptique qui passera par ces parallèles jouit de la propriété qu’il n’y a aucune droite sur l’hyperboloïde appartenant à l’un ou l’autre système de génération, qui n’ait sa parallèle sur ce cône, qu’on a nommé parce tte raison cône asymptotique de l’hyperboloïde. En admettant cette proposition comme démontrée, et ayant construit le cône asymptotique dont on connaît le sommet, et cinq points de sa base situés sur les cinq arêtes données, ou pourra reconnaître l’espèce de courbe qui résulte de l’intersection de l’hyperboloïde et d’un plan donné. Ayant mené par le sommet du cône un plan parallèle au plan coupant, ou ce plan n’aura de commun avec le cône que le sommet, ou il lui sera tangent, ou enfin il sera sécant, et il contiendra deux arêtes du cône; les , sections correspondantes à ces trois cas seront ou des ellipses, ou des paraboles, ou des hyperboles.

Supposons que la- section soit une hyperbole; alors deux droites de l’hyperboloïde à une nappe sont parallèles au plan coupant , et déterminent les aqrmptotes de l'hyperbole. En effet, désignons par A la première de ces droites, et par B, C deux autres droites quelconques de l’hyperboloïde, appartenant au même système de génération.

Tout plan (art. 1 4 4) passant par A coupe les droites Bet C en deux points;

la droite qui joint ces deux points, et la droite A fixent la position d'un plan tangent à la surface, et se coupât au point de contact de la surface et du plan. Si par les droites B et G, et parallèlement à la droite A, ou mène deux plans, l’intersection de ces plans sera parallèles A, et s'appuiera sur les droites B et C; donc si par cette droite d’intersection et par la droite A on mène un plan, il" sera tangent à la surface en un point de cette droite A situé à l'infini; donc (art. i3i) l’intersection de ce plan et d’un plan coupant parallèle à la droite A, sera l’asymptote de l'hyperbole. En opérant de la même manière sur la seconde droite À' de la surface, parallèle au plan tangent, on construira deux autres droites quelconques B', C du même système de génération; on mènera par ces droites des plans parallèles à la droite A’: l’intersection de ces plans et la droite A' détermineront un second plan tangent, dont le point de contact sera situé à l'infini , et qui coupera le plan de l’hyperbole suivant la seconde asymptote.

Le cône asymptotique de l’hyperboloïde à une nappe, devient un cône droit à base circulaire, lorsque cet hyperboloïde est de révolution (art. i3o).

1 48. La théorie que nous venons d’exposer conduit à ce résultat, que l’hyperboloïde à une nappe comprend comme cas particuliers l’hypcrboloïde de révolution et le paraboloïde hyperbolique; que ces trois surfaces peuvent être engendrées de deux manières différentes par une droite mobile; quelles sont divisées en une infinité de petits quadrilatères gauches par les deux systèmes de droites génératrices; enfin, que les aires comprises entre deux droites consécutives d’un même système de génération, sont des élémens gauches qui s’étendent indéfiniment dans le sens des droites qui les comprennent.' Nottfc . allons mainteqpit prouver que la surface réglée la plus générale , telle que nous l’avons définie (art. 5a), et l’hyperboloïde à une nappe, peuvent par un choix convenable des droites directrices- de cette seconde surface, avoir en commun un ou deux élémens 'gauches consécutifs, suivant lesquels l'hyperboloïde est tangent à la surface réglée générale; c’est par cette raison que l*hy* perboloïde à une nappe est à l’égard des surfaces réglées ce que le plan est par rapport aux surfaces développables : il n’y a aucune surface réglée qu’on ne puisse regarder comme l’enveloppe de l’espace que parcourt un byperbo* loideà une nappe. fc.

SjnùKi-; ' * • • ' • *'

ÇÉOMÈTRIE DESCRIPTIVE.

Des plans tangens à la surf^e réglée generale.

i4g. Soient (pl. suppl. A, fig . 8) AB, A'B’, A"B' trois courbes quelconques directrices d’une droite mobile AA'A'; la surface- réglée dont cette droite est la géne'ratrice, a pour l’un de ses élémcns gauches l’aire AA’A ’aa'a" comprise entre deux positions consécutives A AA", ad a" de la droite mobile. Quelle que soit la surface engendrée par cette droite, qui a pour directrices les trois courbes AB, A’B', A" B", on conçoit qu’ayant mené par les trois points A, A', A' trois autres courbes quelconques AC , A’C', A'C" de la surface, on pourra prendre ces nouvelles courbes pour directrices de la droite mobile. La seconde surface, engendrée dans cette hypothèse, ne différera pas de la première, puisque les droites AA'A”, au a , BB'B”, qui s’appuient sur les directrices AB, A’B', A'B', rencontrent d’autres courbes de la première surface, telles que AC, A’C’, A'C', qui passent par les points A, A', A'. Mais en ne considérant que l'élément gauche kak'a'k'a ", il est évident que la droite ad a’ de cet élément s’appuie sur les tangentes aux trois premières directrices AB, A’B', A'B', et que la droite aaV qui s'appuie sur les tangentes aux trois nouvelles directrices AC, A’C, A'C', appartient au même élément, puisque toutes les tangentes à la surface menées par les points A , A', A' sont comprises dans les plans tangens en ces points ; donc si l’on mène trois plans tangens en trois points A, A', A' d'une droite d’une surface réglée , et dans chacun de ces plangpine droite qui passe par le point de contact, on aura trois droites qu’on pourra prendre pour les directrices d'un hyperboloïde, qui sera tangent^ la surface réglée, suivant l’élément gauche kk'k’aa'a\.

Ainsi, quelle que soit une surfac^ufaglée, il y a une infinité drhyperboloïdes à une nappe qui ont un élément commun avec cette surface, et qui lui est tangent suivant la droite qui termine cet élément. Chacun de ces hyperboloïdes a pour directrices de sa génératrice, trois droites menées arbitrairement dans trois plans tangens de la surface réglée , par trois points de la drcùj£ de contact de cette surface et des hyperboloïdes. Tous ces hyperboloïdes n’ont de commun avec la surface réglée que deux droites consécutives de dette surface, hors un seul qui passerait par trois droites consécutives de la surface réglée, qui aurait avec cette surface un contact plus immédiat, et que j'ai nommé par cette raison hyperboloïde oscidaleur.

i5o. Les hyperboloïdes à une nappe, tangens à une surface réglée suivant une droite, deviennent des paraboloïdes hyperboliques, lorsque les droites directrices prises dans les trois plans tangens, sont parallèles à un même plan. Soient A, A’, A” (/>/. suppl. k,fig. 8) trois points quelconques d’une droite

AA'A' d’une surface réglée; on mène par ces points les plans tangens à la surface, et par les mêmes points, trois plans parallèles quelconques, qm coupent les plans tangens suivant trois droites; prenant ces dernières droites pour directrices, la 'droite mobile engendre un paraboloïde; et comme la direction des plans parallèles est arbitraire, il s’ensuit qu’il y a une infinité de paraboloides qui sont tangens à la surface réglée suivant l’élément AA "a a. Parmi ces paraboloides tangens, il y en a un dont les directrices sont perpendiculaires à la droite donnée AA’A’. On détermine ces directrices, en menant par les trois points A, A’, A’ des plans parallèles, perpendiculaires à la droite AA'A”, qui coupent les plans tangens aux mêmes points A, A’, A”, suivant trois droites qui sont évidemment parallèles à un même plan, et perpendiculaires à la droite AA’A' de la surface réglée.

Du plan tangent en un point quelconque d'une surface réglée.

t5i. Soit M [pi. suppl. A, fig. 8) un point don né sur une surface réglée; on suppose que la droite AA’A' de la surface qui passe par ce point soit connue, et que les plans tangens en trois points A, A’, A" de cette droite soient déterminés. On mène dans ces plans trois droites quelconques directrices Aé> AV, A’ h ; par deux points g, k pris à volonté sur la première directrice A k, on fait passer doux droites gfe, kih qui s’appuient sur les deux autres directrices. La droite gfe et le point donné M de la surface déterminent un plan qui coupe la droite kih au point n; joignant les points n et M par une droite M/i , le plan conduit par les deux droites MA'A et M/>, sera le plan tangent de la surface réglée an point M de cette surface.

En effet, ce plan sera (art. i4'i) tangent à l’bypcrboloîde qui a pour directrices les trois droites Ak, AV, A’ h; or cet hyperboloïde est tangent à la surface réglée (art. 149), suivant la droite AA'A"; donc le plan (MA, M/i) est aussi tangent à cette surface. • • ’

Si l’on eût pris les trois droites Ak , AV, A "h parallèles à un plan donné, l’hyperboloide construit sur ces droites comme directrices, se changerait en paraboloïde, et le plan tangent au point M de ce paraboloïde serait aussi tangent à la surface réglée. ■ ' /.»

Nous allons appliquer cette méthode à des surfaces réglées particulières,, dont on fait usage en architecture pour la construction de quelques voûtes.

EXEMPLES DE PLANS TANCENS AUX SURFACES RÉGLÉES, BT DE T ARGENTES AUX SECTIONS PLANES DE CES SURFACES. (Pi. 17.)

Premier exemple. — Plan tangent à la suif ace réglée qu’on nomme conoïde. . (pl- «7.% «•)

i5a. La surface réglée qu’on nomme conoïde, est engendrée par une droite mobile toujours horizontale, qui s’appuie sur-deux directrices dont l’une est une droite verticale, l’autre une courbe donnée dans un plan vertical. Cette surface termina une petite voûte ou porte, qu’on appelle en coupe des pierres

voûte 'conoïde. . .

» Soit (pl. 1 7 ,Jig. a) la verticale (A, A ’a) directrice de la droite mobile horizontale; la seconde directrice est un cercle. BaC qui est donné dans le plan vertical XY, et qu’on prend pour la base du conoïde. Le centre A' de ce cercle jest sur l’intersection XY des deux plans de projection ; d’où il suit que les horizontales Alt, AC sont les traces du conoïde sur le plan horizontal de projection. Les projections horizontales de toutes les droites de la surface passent évidemment par le point A.

Un plan vertical X Y', parallèle au plan vertical de projection , coupe le conoïde suivant une courbe (DE, D’E’a), et on demande la tangente à cette courbe eu un point donné, dont la projection horizontale est le point M de la droite DE? La droite du conoïde qui passe par ce point, a pour projection horizontale la droite AML ; elle rencontre la base circulaire au point l; d’où il suit qu’elle a pour projection verticale l’horizontale U'; élevant la perpendiculaire à XY, qui coupe la droite II' au point m, ce dernier point appartient à la courbe (DE, D’p'cnE’') ; on construirait de la même manière tout autre point de cette courbe.

Connaissant la droite (AML, II') du conoïde, qui passe par le point (M, m) de cette surlace, on construira les directrices d’un paraboloïde tangent au conoïde suivant cette droite. Deux directrices suffiront (art. 1 44), parce que la droite génératrice du paraboloïde sera constamment horizontale, comme la droite génératrice du conoïde. L’une de ces directrices est la tangente Ih du cercle, menée par le point I où la droite (AJVIL, II ) rencontre ce cercle. Pour obtenir l’autre directrice, il faut remarquer quele plan tangent au point (A ,a) de la droite (AML,//'), passe par cette droite etjiar la verticale (A, A ’a) qui se croisent en ce point : or ce plan est coupé par le plan vertical X'%”, parallèle au plan vértical de projection, suivant la verticale (A, A a); donc les directrices du paraboloïde, situées dans les plans verticaux parallèles XY, XY',

sont i» la verticale (A, A 'a); a® la tangente Ih du cercle BoC. Mais cette tangente cdupe le plan horizontal de projection au point h; d’où il suit que la trace du paraboloïde sur ce plan est la droite A h. Le plan vertical X'Y' de la courbe D’aE' rencontre la trace A h au point G, dont la projection sur le plan vertical est G^ce qui détermine la droite (MG, inG') du paraboloïde. Menant par le point G la droite NGO parallèle k l’horizontale (AL, II'), cette droite sera la trace horizontale NGO du plan qui touche le paraboloïde au point ( M, m).* Ce plan tangent est coupé par le plan X'Y’ de la courbe D'ali', suivant la droite ( GM , G'm ); donc la projection verticale G rn de cette droite est tangente à la courbe D'aE'. On déterminerait de la même manière la tangente (i F’ au point \x de cette courbe, situé sur l’horizontale II.

Il est à remarquer que l’on peut prendra pour directrices du paraboloïde tangent au conoïde suivant l’horizontale (AMI., ll'rnfi), les deux horizontales (A h, M'), (AA', 1 ) : or le plan vertical X’Y' de la section D’aE' du conoïde, coupe la seconde directrice (AA',’ï):*u point (I, *); d’où il suit que la droite (GMI, GW), qui appartient au conoïde, est aussi dans le plan tangent au * point (M, m) de ce conoïde, et que la tangente Cm au point m de la courbe DoE’ passe par le point 1 de la verticale Aï.

Deuxâme exemple. — Plan tangent à la surface du biais passé. (PL 1 7, fig. i.J

fe » .•* S?.

1 53. Cette surfât* es^ engendrée paru ne droite mobile, qui a pour directrices deux cercles et une ligne droite. Soient XY, XV les traces parallèles de « deux plans verticaux sur le plan horizontal de projection; ces plans contiennent deux cercles des diamètres AB, CD, dont les centres «, Ê sont sur une droite afi inclinée par rapport aux traces XY, XV. Les diamètres AB, CD forment avec les droites AC, BD un parallélogramme qui est divisé en deux parties égales par la droite EF parallèle à AB. Par le milieu G de cette droite, on élève une perpendiculaire 1GHE aux plans des cercles, qu’on prend pour la troisième directrice de la surface du biais passé. Un plan quelconque mené par cette horizontale IGII , coupe le plan vertical XY suivant la droite Hi/, qui rencontre le premier cercle du diamètre CD au point k, et le second cercle au point (L, /); ces deux .points déterminent la droite (LKN, Tl kl) de . la surface. Soit (M, rn) un point de cette droite, pour lequel on demande le; ; * plan tangent à la surface; nous allons d’abord construire les directrices d’un* paraboloïde tangrtit à la surface du biais passé suivant la droite connue (LKIJjilif/). Les deux premières directrices, situées sur les plans des cercles, sont lès droites (XY, ks) ef (XV, //); la troisième directrice du paraboloïde

gl GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

située dans un plan X'Y' parallèle à celui des cercles, passe par le point N de ce plan où la droite de la surface rencontre l’horizontale IHN , l’une des directrices de la surface de biais passé. Cette troisième directrice est aussi daus le plan tangent à cette surface au point N, lequel plan a pour traces sur les plans de projection les droites NUI, H/il; elle a donc pour projection les droites I \Al et NX"Y'.

Connaissant les trois directrices (XY, X,jV), (X'Y’, //U'), (X'Y”, HX/), la position d’une droite qui s'appuie sur ces trois directrices sera déterminée, lorsqu’on donnera un point de cette droite sur la première directrice, par exemple le point V, où la tangente As rencontre le plan horizontal. Le plan mené par ce point V et par la directrice (X’Y’, lt ), a pour trace sur le plan horizontal la droite UVO, qui coupe la droite X"Y' au point O; d’où il suit qu’il rencontre le plan vertical X'Y* suivant une droite parallèle à (.X'Y’, U), menée par ce point O. I.a projection de cette droite sur le plan vertical XY, sera donc une parallèle O'p à la tangente UH' du cercle A /R , et de plus passera par le point O’, projection de O sur XY. Mais cette parallèle O'p coupe la projection H XX i de la troisième directrice (X'Y", 11X7) au point p, donc le plan qui a pour trace horizontale UVO, coupe cette directrice au point (P,/j). Il résulte de ces constructions que la droite du paraholoïde qui passe par le point V de la première directrice (XY, X As) de ce paraboloide, et par la seconde directrice (X Y’, U’/f), a pour projection horizontale la droite VP, et pour projection verticale la- droite Xp; ces deux projections partent du même point V de l’intersection XY des plans de projection.

Cette droite (VP, Xp) du paraboloide .tangent rencontre la seconde directrice (X’Y’, U 7/) au point (Q, rj ), déterminé par la rencontre des droites connues U’//, Xp qui se oroisent au point q. La perpendiculaire yQ à XY rencontre la droite X’Y' au point Q, situé sur le. prolongement de la droite VP. Maintenant on donne un point (M, ni) de la surface, situé sur la droite « (Ut, //-Il ; de cette surface, et on demande le plan langent en ce point?

i5|. Le plan vertical yxM. , mené par le point (M, ni) parallèlement aux plans XY', X Y' tics cercles, coupe le paraboloide tangent à la surface réglée, , . suivant la droite (Mil, mr) ; cette droite et la droite (LMK, UnA) de contact, déterminent le plan tangent au point M du paraboloide; et puisque par hypothèse le paraboloide touche la surface réglée au même point , il s’ensuit * que le plan conduit par les droites (LMK, UnA) et (MR, mr) est tangent à la •surface réglée au point (Nj, m) de cette surface.

i5’î. Le plan vertical yx coupe la surface du biais passé suivant uuc courbe qui se projette parallèlement à elle-même en ys>utJ'\ l’intersection du plan de Cette courbe et du plan tangent au point (M, ni) est (adroite (MR, mr); d’où - 4'

il suit que. la projection verticale rnr de cette droite est tangente à la courbe y rnu J' au point m de cette courbe. * . , ' '

Polir construire la courbe y' mué', ou remarque i° que les projections verticales des deux cercles du biais passé, se coupent sur le plan vertical XY au point », qui est sur le prolongement de la droite IGH, et que toutes les sections de la surface par des plans parallèles à Ceux des cercles, se projettent sur le plan vertical XY, suivant des lignes telles que /»/', qui passent par le point w; rt? que les droites horizontales AC, UDdu biais passé, sont coupées phr' lé plan vertical yx aux points 7, «T, dont les projections verticales sont 7', On trouverait tant d’antres points qu’on voudrait de- la courbe y'mmé', en mettant les droites de la surface en projection horizontale. Soit LMK la projection de l’une de ces droites; elle est coupée par le plan vertical xy au point (M, t/i), qui se projette sur le plan vertical. XY au point /« de la droite H41 lin plan quelconque TUAT, mené par la droite 1H, coupe les deux cercles donnés aux points h', T; les parpendiculaires à XY, tirées par ces points, coupent les traces XY, XT des plans verticaux des cercles- aux points K’, L', qui déterminent la projection horizontale K’L' d’une autre droite de la surface réglée, et un nouveau point (M, m') de la courbe d’intersection (xy, y'mmé'ydc cette surface par le plan vertical xy. Pour construire la tangente au point /«'de la ligne y'mm'f, on opérerait comme pour le point m de cette ligne. v *

Troisième exemple. — Surface réglée de l'arrière-voussure de Marseille.

Définition de celle surface. (Fig. 4, pl. 1 7.)

r5G. On mène perpendiculairement à une droite horizontale donnée, telle que ITI ( fig. 4, pl. 17), deux plans verticaux, qui ont pour traces sur le plan horizontal de projection, les' droites XY, X’Y’, perpendiculaires à III: Le pre. rnier plan XY contient un cercle donné, dont le centre est en H, et qui a pour diamètre la droite CD. Le second plan XT contient un autre cercle aussi donné, qui a pour corde la droite AB, dont le centre est sur la verticalé (1, H9), et qui se projette sur lé plan vertical XY suivant A'<jB'; les deux cercles et l'horizontale 1H sont lés directrices de la droite mobile, génératrice de la surface réglée.

Un plan quelconque (1H/) coupe les cercles en deux points (K, k), (L, /); la droite de la surface contenue dans ce plan a pour projection horizontale et verticale, les droites LK,~7i. La projection horizontale LK prolongée, coupe l’horizontale 1HN au point N, qui appartient à la droite (LK, IA) de là surface. Toute autre droite de la surface rencontrerait la directrice 1H en un point qu’on déterminerait de la même manière.

Intersection de la surface de V arrière-voussure, par un plan vertical parallèle au plan vertical de projection XY.

157. Les droites de k surface ont pour projections verticales des droites qui concourent -vers le point H, et pour projections horizontales des droites . telles que LKN. Un plan vertical donné xy, coupe la droite (LK, Ui) au point . qui se projette sur le plan vertical en m; le point (M, ni) appartient à

la courbe d'intersection de la surface par le plan xy. Les droites AC, BD de la surface, qui sont données sur le plan horizontal de projection , et qui concourent vers un point de l'horizontale 1H , forment avec le diamètre CD du petit cftrcip, et la corde AB du plus grand cercle, le trapèze ABCD. Le plan vertjcal xy coupe les droites AC, BD au point y, <T, dont les projections S appartiennent à la courbe y'oupl'. Pour' construire le point 4 de cette courbe,

1“ qui est sur le prolongement de la droite IH, «n rapporte la flèche H* de l'arc A $B , de I en e sur la droite XY'; on joint f et l’extrémité I> dû rayon HD par D$' : cette droite D41' coupe la droite xy au point a; la distance tnt' à l’horizontale lit est égale en longueur à H4- On verra la raison de cette construction , en menant par la droite IH un plan vertical qui coupe les deux plans verticaux des cercles suivant les parallèles HD, I4', et laaarface suivant la droite 1)$’. Il est évident que la verticale se projette sur le plan vertical XY suivant la droite H4» et qu'on a H4 = aût.

fr* , 1 *

De la tangente à la section verticale (xy, ym-^f'). - • •

j 58. On détermine la tangente(MR, mr) au ppint (M, m) de la courbe (xy, >'«4<f') par les mêmes opérations qui ont été décrites pour la figure précédente. Les articles ( 1 53 - i55) s’appliquent aux deux figures 3 et /j. pl- 17.

i5<> La surface de la petite voûte, qu’on nomme arrière-voussure de Martei lie, se compose de deux surfaces réglées qui ont deux directrices communes; savoir, l'horizontale IHN, et le cerclé du diamètre CD; leur mode de génération ne diffère que par la troisième directrice. Elles ont aussi deux droites communes, et j’ai fait voir dans mes leçons de stéréotomie à l’Ecole ■ polytechnique, qu’on pouvait les raccorder : ce raccordement consiste en ce quelles soient tangentes l'tuie à l’autre, suivant les droites qui leur sont communes. On démontrera (art. 161) que cette condition est remplie, lors- . qu elles ont mêmes plans tangens en trois points de chacune des deux droite* communes. **'■* . „

En pommant conoide une sutface réglée dont la génératrice a pour direo-

trices deux lignes courbes et une ligne droite, cette dénomination conviendrait aux deux surfaces du biais passé et de l'arrière-voussure de Marseille, qui ont chacune pour directrice de la génératrice une droite horizontale.

Quoique nous n’ayons considéré que des paraboloïdfés tangens aux surfaces réglées, les problèmes de plans tangens à ces surfaces ie résoudraient de lu même manière dans le cas général où la surface réglée élémentaire, dont ou aurait substitué l'élément à celui de la surface réglée générale, serait un hy,perboloide à une nappe.