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Du contact des hjperùoloides à une nappe et d'une surface réglée.

160. l*r»is lignes quelconques d’une Surface réglée dirigent le mouvement de la droite génératrice de eette surface ; les tangentes à ces courbes, menées par les points où une droite quelconque de la surface les rencontre, déterminent un hyperboloïde tangent à la surface-suivant cette droite; mais on a démontré (art. i44) qu’un plan qui tourne autour d’une droite d’un hyperboloïde, est dans toutes ses positions tangent a cet hyperboloïde; d’où H suit qu’un plan qui tourne autour d’une droite d'une surface réglée, est aussi dans toutes scs positions tangent à cette surface, puisqu’il ferait constamment tangent k un hyperboloïde qui est lui-même tangent à la surface réglée.

Ayant mené un plan quelconque par une droite donnée d'une surface réglée, ce plan est tangent à la surface ; mais le point de contact n’est pas connu, et on propose de le déterminer, sans avoir recours à l’un des hyperboloïdes, qui serait tangent à la surface réglée suivant la droite donnée. Pour résoudre cette question, nous désignerons pgr D la droite donnée «le la surface, et par P, un plan mené par œtte droite. Nous remarquerons que ce plan P coupe lés deux systèmes de droites situées des deux côtés de la droite D, en deux séries de points formant une courbe unique, et que cette courbe rencontre la droite D au point de contact du plan P et de la surface réglée. En effet, désignons par M ce point de contact, par rn, m , m... et par n, n, n"... les deux séries de points, intersections du plan P et des droites de la surface réglée situées des deux côtés. de la droite D. Un plan est tangent à cette surface, lorsqu'il passe (art. 44) par les tangentes à deux sections de la surface, qui se croisent au point de contact; mnis le point M est l’intersection de-la droite qui est sa propre tangente, et de la courbe unique formée par les deux séries de' points m , m, m’.... n, n, n". donc le plan P qui contient cette courbe et toutes ses tangentes* ainsi quela droite D, est tangent à la surface réglée au point d'intersection M de la droite et de la courbe.

On construira tant de points qu’on voudra «les deux séries m, rn, rn....-

n, n,n" en approchant continuellement de la droite D; ces deux séries

tendront à se réunir nu point M de la droite D; vers lequel elles convergent sans pouvoir jamais l'atteindre. Une main habile tracera la courbe avec une exactitude suffisante pour la pratique des arts graphiques, eu satisfaisant à la loi de continuité qui lie tous les points d'une même ligne, et à la condidion du raccordement, qui consiste en ce que les deux parties de la courbe ont une tangente commune au point cherché M ; l'intersection de cette courbe m, ni, m'.... n, ri, ri .... et de la droite D détermine le point de con-

' IBS!» ’•

On déduit de cette considération «me méthode graphique pour mener une tangente à une courbe, en plaçant cette courbe sur une surface réglée. (V oy. les Élément de géométrie à trois dimensions, cités page 75.) •

1 G 1 ■ Ayant mené par une droite d’une surfaee réglée trois plans quelconques qui latouchenten troi6 points connus, il est évident que toutes les droites menées dans ces -plans par les points de contact, seront tangentes à la surface : or trois de ces droites prises dans les trois plans, déterminent un hyperboloïde tangent à la surface réglée ; d’où U suit que deux surfaces réglées qui ont une droite commune et trois plans tangens communs en trois points de Cette droite , sont tangentes l'une à l’autre dans tous les points de la droite commune, car elles seraient touchées suivant cçtte droite par un hyperboloïde qui aurait pour directrices trois droites menées dans les trois plans tangens, par les points de .contact de ces plans et des deux surfaces.

16a. Les trois plans tangens menés par une droite donnée d’une surfaoe réglée, et les trois pointa de contact, déterminent une infinité d'hyperboloides à une nâppe, tangcna.i la surface suivant la droite donnée. Parmi ces hyperboloides, il J en A un très-remarquable; c’est celui qui contient trois droites consécutives de la surface réglée, ét qu’on nomme (art. i/jg) hjrperboloide osculateur (*). Il mesure 1% courbure d’un élément gauche de surface régjée, comme le cercle mesure celle de la courbe dont il est osculateur. ✓

Parmi les plans tangens d'une surface réglée, menée par une droite D de cette surfaoe, trois quelconques de ces plans coupent la surface suivant trois courbes C, C, C', qui sont rencontrées par la droite O en trois points M, M\ M*; les tangentes respectives aux courbes Ç, C, C', menées par les points M, M", M', sont les directrices de la droite génératrice de l’hyperboloïdc oscillateur. ..

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