I. DBS INTERSECTIONS DE SURFACES COURBES QUI SE PÉNÈTRENT

«63. Deux surfaces définies sont situées, l’une à l’égard de l’autre, de manière qu’elles se pénètrent ; on propose de déterminer la forme et la position de leur intersection, c’est-à-dire de la ligne suivant laquelle elles sc pénètrent. En concevant par chaque point de cette ligne un plan qui coupe à la fois les deux surfaces suivant deux courbes, il est évident que si ces deux courbes étaient construites, le point où elles se rencontreraient appartiendrait à la ligne d’intersection des deux surfaces : or, d’après le chapitre précédent, on sait construire et tracer les sections planes d’une surface, soif qu’on les représente sur les plans de projection , ou qu’on développe les plans qui les contiennent; donc on trouvera tant de points qu’on voudra de la ligne d’intersection des deux surfaces. Lorsque les sections des deux surfaces par un même plan ne se rencontrent pas, quoique les surfaces se pénètrent, on doit en conclure que le plan des deux sections et la courbe de pénétration n’ont aucun point commun. On choisit dans chaque cas particulier le système de plans coupans le plus convenable, pour réduire autant que possible le nombre et la longueur des lignes de construction. Ce choix étant fait, une autre question se présente ;-il s’agit de déterminer les plans limites entre lesquels la courbe d’intersection des deux surfaces est comprise.

Lorsque les deux surfaces qui se coupent sbnt coniques par exemple, on fait usage d'un système de plans coupans qui passent par les sommets des deux cônes et par des points de leurs bases. Il en résulte que chaque plan coupe les cônes suivant des droites qui se rencontrent en des points deTintersection des deux surfaces. C’est par la même raison qu’ayant à trouver l’intersection de deux surfaces cylindriques, on les coupe par des plans parallèles aux génératrices de ces cylindres.

Soient S, S' les deux surfaces qui se pénètrent : si la surface S a pour génératrice une courbe plane , chacun des plans dans lesquels cette courbe se trouve successivement, coupe la surface S' suivant une autre courbe; les points communs aux deux courbes situées dans le même plan, appartiennent évidemment à la ligne d’intersection, des deux surfaces courbes S et S'.

q8 géométrie descriptive.

Une ligne étant donnée sur la surface S, on peut demander le point de rencontre de cette ligne et de la surface S'. Dans le cas où la ligne donnée est droite, un plan quelconque mené par cette droite, coupera la seconde surface suivant une courbe ; les points communs à cette courbe et à la droite donnée appartiendront à la ligne d’intersection des deux surfaces. Lorsque la ligne donnée sur la surface S est une courbe à double courbure, on placera cette courbe sur une surface réglée développable ou non développable; chaque droite de cette surface sera rencontrée par la surface S' en un ou plusieurs points qui appartiendront à la courbe d’intersection de la surface réglée et de la surface S'; les points communs à cette courbe et à la ligne donnée de la surface S , sont ceux où cette dernière ligne rencontre la surface S’.

164. Deux surfaces courbes qui se pénètrent, étant définies, la recherche des points de la ligne de pénétration , dépend de l’intersection des deux surfaces par des plans menés suivant une certaine loi ; il n’y a pas de règle générale pour déterminer le meilleur système de plans coupans, ni pour trouver les plans limites de ce système. La solution de ces questions serait encore plus indéterminée si l’on substituait aux plans coupans un système de surfaces courbes de même nature et de dimensions variable^, dont chacune satisferait à la condition de passer par deux courbes tracées sur les deux surfaces proposées, qui se rencontreraient en un point de la ligne d’intersection de ces deux surfaces. Cette substitution présente néanmoins dans quelques cas particuliers des avantages, surtout lorsque les surfaces courbes substituées auxplans ne varient que par une seule dimension. Prenons pour exemple deux surfaces de révolution dont les axes.se rencontrent; on substitue aux plans coupans des sphères variables de rayon et Concentriques, dont le centré commuu est le point d’intersection des deux axes; ce qui. revient à considérer chaque point de la courbe d’intersection de deux surfaces comme le point commun à deux cercles d’une sphère, dont le rayon, qui est la dimension variable, est connu.

Deux petits cercles d’une sphère ne se rencontrent pas nécessairement; mais deux cercles qui ne sont pas dans le même plan, et qui se rencontrent, sont nécessairement sur la même sphère.. Ainsi, quel que soit le système des surfaces coupantes, les valeurs des dimensions variables doivent être telles, que chaque surface de ce système contienne deux lignes connues, tracées sur les surfaces qui se pénètrent.

La méthode générale que nous venons d’exposer, s’appliquera avec les modifications convenables aux cas particuliers que nous allons examiner.

Des tangentes aux courbes d’intersection de deux surfaces.

• i65- La tangente en un 'point de la ligne d’intersection de deux surfaces, * est évidemment dans le plan qui touche chaque surface en ce point; d'où'il suit qu’on obtient cette tangente par l’intersection des deux plans tangens. Si l’une des deux surfaces est un plan, on a déjà vu (art. 45) que la tangente est l’intersection du plan tangent à la surfacf et du plan de la courbe.

La tangente à la courbe à double courbure, qui résulte de la pénétration de deux surfaces, peut aussi être considérée comme une droite perpendiculaire aux normales des surfaces menées par le point où la tangente touche la courbe; mais lorsqu'une droite est perpendiculaire à deux- autres droites, et que ces trois droites se croisent au même point, la première est perpendiculaire au plan des deux dernières ; donc la tangente de la ligne d’intersection des deux surfaces courbes est perpendiculaire au plan mené par le point de contact, et par les deux normales aux surfaces qui passent par ce même point (*). • •