Trois angles

En supposant qu'on ait donné les trois angles désignés dans l’une quelconque des six combinaisons précédentes, il s’agit de trouver les trois autres angles nécessaires pour compléter la pyramide; ce qui présente six questions qu'on peut résoudre chacune séparément , mais qu’on peut réduire à trois par la considération de la pyramide supplémentaire^ Nous allons d'abord expliquer comment on forme cette pyramide; ensuite nous donnerons pour chaque question une solution directe et indépendante de la pyramide' dite supplémentaire.

9. Considérant dans une pyramide les trois arêtes qui se réunissent à son sommet, on forme une seconde pyramide, en menant trois plans respectivement perpendiculaires aux trois arêtes de la première. Les angles et les faces de cette nouvelle pyramide ont pour supplémens les laces et les angles de la pyramide dont elle est dérivée, et par cette raison, on la Domine supplémentaire. I.es plans des faces de la seconde pyramide étant perpendiculaires aux arêtes de la première, les plans des faces de la première sent nécessairement perpendiculaires aux arêtes de la seconde; dioù il suit que Jes deux pyramides sont réciproquement supplémentaires l’une de l’autre. Avant de démontrer qu’un angle ou une faeë de chacune d’elles a pour supplément une face ou un angle de l’autre, nous ferons remarquer qu'èn faisant varier les points de l’espace par lesquels on mène les plans qui comprennent la pyramide supplémentaire, on fait varier la position du sommet de cette pyramide, mais que les valeurs de ses angles ne changent pas.

ed D/Va

10. Soient {pl. il\y ftg. i )-SA, SB deux des trois arêtes d’une pyramide,

A et B deux points pris à volonté, l’un sur l’arête SA, et l’autre sur l’arête SB. Les plans menés par les points A et B perpendiculairement aux arêtes SA, SB, ont évidemment pour traces suf lp plan des dèux arêtes SA, SB, les deux droites AX, BX perpendiculaires l’une à la droite SA, et l'autre k la drnile SB; or dans le quadrilatère ASBX, les angles A et B spnt droits; donc l’angle X est supplément de l’angle S; mais l’angle S est une face de la première pyramide ; l'angle X est un angle dièdre de la pyramide supplémentaire ; donc ces deux angles S et X sont supplémens l’un de l’autre. Par la même .raison, le plan d’une face quelconque de la pyramide supplémentaire est perpendiculaire aux plans de deux faces de la pyramide primitive, et l’angle de ces deux plans est supplément de la face de la pyramide supplémentaire. ' '-.*■■ , • *

1 1 . En admettant qne de deux pyramides, dont la première est formée

par les plans perpendiculaires aux arêtes de la seconde, l’une quelconque soit supplémentaire de l’autre, il est facile de voir qne les six questions ( art. 8*) se réduisent à trois. En effet, lorsqu'on donne les trois angles A, B, C d’une pyramide, les supplémens de ces angles sont les trois faces de la pyramide supplémentaire; or, connaissant les trois faces, on pourra, en supposant la première des six questions (art. 8 ) résolue, -déterminer les trois angles dièdres, opposés aux faces connues; mais ces angles dièdres Sont les snpplémeus des faces de la pyramide dont on a donné les. angles A, B, C; donc |es six angles de cette dernière pyramide seront déterminés. -Ainsi l’on voit que la première et la sixième questions se réduisent k une seule ; on démontrera de la même manière que la deuxième et la quatrième, la troisième et la cinquième, se réduisent à deux autres questions ; donc la solution complète de la pyramide triangulaire ne comprend que les trois problèmes suivans.- -,

- i° Étant données les trois faces d'une pyramide triangulaire, déterminer les trois angles ; »■

u° Étant tloimés deux faces et un angle formé par les plans de ces faces, déterminer les deux autres angles;

3° Etant donnés deux faces et un angle opposé à l’une de ces faces, déterminer les deux autres angles. .

* Le renvoi sans désignation du livre, se rapporte à celui de l’article qui contient ce renvoi.

, GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i39

Question i". — Étant données les trois faces d'une pyramide , déterminer les trois angles dièdres. ... . ,

la. Solution. Les trois faces données étant développées sur un même plan, soient (/>/. a a) SA ou SF, SB, SE les arêtes d’ime pyramide dont il faut déterminer les angles. On suppose les deux arêtes SB, SE fixes dans le plan de la face BSE, et on fait tourner les droites SA 'et SF, l’pne autour de la droite SB, et l’autre autour de la droite SE; par ce mouvement on engendre deux surfaces coniques droites-qui ont même sommet; la droite intersection de ces deux cônes est la troisième arête de la pyramide. Pour déterminer cette droite, on imagine une sphère d’un rayon quelconque SA on SF, dont le centre est au point S, sommet commun des deux cônes droits; cette sphère coupe le premier cône suivant un cercle du rayon AB, dont le, centre est en B, et le second cône suivant un cercle du rayon EF dont le centre est- en E. Les plans de ees cercles étant- perpendiculaires, l’un à la droite SB eti’autre à la droite SE, ils se .coupent, suivant une droite perpendiculaire au plan de la face BSE; or cette droite contient les points d’intersection des deux cercles; donc si du point B comme centre, avec le rayon AB, on décrit le cercle ÀC qui coupe la droite CD perpendiculaire à AB1) au point C, ce point appartient à la troisième arête; d’où il suit que dans le triangle CBD rectangle en D, l’arigle CBD est égal à l’angle compris entre les faces BSE et BSA. Décrivant du point E comme centre, ave© le rayon EF, le cercle FC', et élevant la perpendiculaire DC' à ED, l’angle C'ED est égal à' l'angle des faces BSE et ESF. - , / '

i3. Au lieu de développer la pyramide'stir le plan de la face BSE, on aurait pu prendre pour plan de développement celui de la face-ASB, ou celui de la face ESF ; et on aurait construit par la méthode exposée dans l’article précédent, l’angle des deux faces ASB et FSE; mais il’sera plus «impie de concevoir un plan perpendiculaire à l’aréte SA ou SF (fg. a), en un j>oint A ou F. Ce plan coupera les faces ASB et ESF, l’une suivant AG , perpendiculaire à SA , et l’autre suivant FH, perpendiculaire à .SF. Le plan ;mené par les deux droites AG, FH coupe la pyramide suivant le triangle G1I K., dans lequel les côtés GK., -HK sont égaux aux droites GA , HF, et dont l’angle K. opposé au coté GH est égal à l’angle fariné par les deux faces ASB, ESF.

Les droites AB, BI, IF sont les trois côtés d’un autre triangle CBI, dans lequel l’angle B opposé an côté CI , est égal à l’angle déjà trouvé (art. i a ) des deux faces ÀSB, BSE. » ■

Les faces données de la pyramide, au Heu detre des angles aigus, pourraient

»4o GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

être des angles obtus ; alors la fig. a deviendrait la fig. i {iis) dans laquelle les mêmes points sont marqués dés même* lettres. *.

1,4- Si d’un point de l’espace on dirige deux rayons visuels vers deux objets déterminés, ces deux rayons et la verticale passant par le même point, forment une pyramide triangulaire; l’angle compris entre les deux faces dont les plans se coupent suivant la verticale, est ce qu’on nomme l’angle réduit à l'horizon. Connaissant les angles de la verticale avec les rayons visuels, et l’angle des deux rayons visuels entre eux, il est évident que la recherche de l'angle réduit à l'horizon, dépend de la solution d’une pyramide triangulaire dont on connaît lés trois faces. ».

■ 5. On trouve encore l’angle réduit à l’horizon de la manière suivante (Jig. a, pi. ' ' * -

Soient ASB l’angle de la verticale SA et d’un rayqn visuel SB, AB l’intersection du plan- de cet angle et d'un plan horizontal ; on trace sur ce second plan les deux autres angles connus, savoir t* l’angle ASC de la. verticale SA et du second rayon visuel SC; a' l'angle BSc des deux rayons visuels. Le plan de ces deux rayons coupe le plan horizontal suivant une droite , dont la partie comprise entre les deux rayons visuels, est le côté Bc du triangle BSc, dans lequel on a Sc==.SC. '

Considérant le premier rayon visuel SB comme fixe , on fait mouvoir le second rayon SC autour de la verticale SA, jusqu’à ce que les deux rayons fassent entre eux l'angle donné BSc. Le point C, dans ce mouvement; décrit la circonférence CC dont le centre est en A, et qui a pour rayon la droite AC; il doit s’arrêter lorsque sa distance C'R au point B est égale à Bc; donc si l’on décrit du point B comme centre, avec Bc pour rayon, un cercle qui coupe la circonférence CC’ au pointe.', l’angle CAC sera la projection horizontale de l'angle observé BSc, et par conséquent cet angle réduit à l’horizon.

Question - iV — Connaissant dans une pyramide triangulaire deux faces et l’angle formé par les plans de ces faces, déterminer les deux autres angles et la' troisième face de la pyramide. ‘ ' A-

16 . SoltUion. La question proposée se réduit à trouver la troisième face de la pyramide; car alors on connaîtra les trois laces de cette pyramide; et pàr la solution du problème précédent, on construira les deux angles inconnüs. Pour déterminer la' face inconnue, soient (pl orf \,fig. 3) ASB, BSE les d.eux faces., données, développées sur le plan de' la'seconde BSE. Soit CBDfangle de ces deux‘face$, donné dans un plan ABCD perpendiculaire à la droite SB; on porte' la droite >ÀB4ur BC. Le. plàn- SBC-côntenantda face'donnée ASB; le

■ qÉOMÉTRÏE DESCRIPTIVE. i4i

point A de l’arête SA est élevé au-dessus du plan horizontal d’une hauteur égale à la droite CD perpendiculaire à la droite AGD; donc si par la droite CD on mène un plan CDE perpendiculaire k l'arête SEI, ce plan contiendra le triangle C’ED, dans lequel l’angle E opposé au côté C'D=CD, sera l’angle du plan de la troisième face cherchée et du plan de la face BSl; prolongeant la droite DE d’une, quantité EF = EC’, et menant la droite SF, l’angle ESF sera évidemment Ja troisième face cherchée.

Construisant la pyramide avec les trois faces ASB, BSE et ESF, les points A, C, F se réuniront en un seul; d'où il suit que les droites SA et SF sont lès rayons d’un même cercle décrit du point S comme centre.

Le plan ABCD coupe la pyramide suivant un triangle CBI, clans ieqnel le côté CB=AB, et le côté CI— IF ; donc les deux droites IF, EF et les deux arcs de cercle AF, Cf, décrits des points S et E comme centres, concourent au même point F de l’arête SF; d’où il suit que deux quelconques de Ces lignes déterminent par leur intersection le côté SF de la face cherchée ISF.

Si au lieu.de l'angle CBD compris entre les deux faces ASB, BSE, on eût pris le supplément ABC , on aurait trouvé par la même construction la troisième face ISF de la pyramide. '

Question 3*. — Connaissant dans une pyramide deux faces et un angle opposé % à l'une de ces faces, déterminer la troisième face?,

■ y. Solution. Soient (pl. i[\,fig. 4) BSE et ESF les deux faces données, développées sur le plan de la première BSE; soit EMi' l’angle formé par le plan qui contient la face BSE et par-le plan de la face qu’il s’agit de trouver; les droites SôB et 4H' déterminent la position du plan qui contient la face cherchée. L’arête SF, en tournant autour de l’aréte SE comme charnière, engendre un cône droit dont la base circulaire ff'E est dans un plan FEDG perpendiculaire à la charnière SE.: or ce plan coupe le plan S4BH' de la face cherchée, suivant la droite GH ; donc lorsque Tarête SF est dans le plan de la face cherchée, le point Fde cette arête est en/eu/', intersection de la circonférence Jf'V dont le centre est en E, et de la droite GHL Supposons-le en f: en faisant tourner le plan SôBti’ sur. SBÇ comme charnière, pour l’abattre sur le plan de la face connue BSE» les distances du point /aux points Get Sde la charnière ne varient pas; donc lè point A intersection des arcs de cercle fyk. Fa A décrits des points G et S comme centres avec des rayons égaux àG/e t SF, est ce que devient le point/ lorsqu’il est abattu sur le plan de la face BSE; donc ASB est la troisième face dh la pyramide, correspondant au point f.

Oh trouverait dcki inéme manière l’angle A'SB pour la troisième face de

i4a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

la pyramide, qui correspond au point/". Connaissant les- trois faces de la pyramide, les trois angles dièdres seront déterminés (art. la). .

18. On a déjà démontré (art. Li)quc les trois dernières questions (art. 8) sur

les angles de la pyramide triangulaire se ramenaient aux trois premières ; ce qu’on peut encore faire voir avec plus de développement , de la manière suivante. Désignons par A, R, C les angles dièdres de la pyramide , et jar a, b, c les faces opposées à ces angles. Cto vient de résoudre les trois questions suivante*': '

i* Connaissant les faces a, b, c, trouver les trois angles A, B, C?

a" Connaissant deux faces a, b et l’angle compris C , trouver les trois angles * C, A, B?

r 3" Connaissant deux faces a, b, l’angle non compris A ou B, trouver les trois angles c, C, B ou A. . s .

Supposons maintenant qu’on donne les trois angles A,‘B, C d’une pyramide, et qu’il faille trouver les trois faces a, b, c, on connaîtra dans la pyramide supplémentaire les trois faces a, b', c' respectivement égales à :

aoo*"1" — A,aoo* — B, aoo* — C. •'

On en déduit trois angles A', B', C', respectivement opposés aux trois faces a, b', c; mais on a par la propriété de la pyramide supplémentaire :

. A’ = aoo*' — a; B' = aoo* — b; C'= aoo* — c;

d’où il suit que les facès cherchées a, b, c sont les supplémeqs des angles connus A', JP', C; ce qui donne la solution de la sixième question (art, 8).

19. Passons à la cinquième question. On donne deux angles A, B et une

face c adjacente à ces angles ;il s’agit de trouver Pangle inconnu C et les deux faces b et a : la pyramide supplémentaire sera formée de deux faces (aoo* — A ), (aoo* — 'B), et d'un angle (aoo* — c) compris eutre les plans de ces deux faces. . .

Nous venons de désigner (art. i8)ces trois angles connus, respectivement par les lettres à, b', C'. Construisant; la pyramide supplémentaire, on aura la face c elles deux angles B, A'. Mais c'= 200* — rC; B=*aoo* — b, A'=2oo* — a ; d’où il suit que les angles cherchés C, b et a sont les supplémem d'angles connus c. B’, A'.’

La dernière question consiste à trouver deux faces d, b et l’angle non compris A, en connaissant la face c, et les deux angles G, B. La pyramide supplémentaire aura pour faces c, b’, les deux supplémens( aoo*— -C), (aoo* — JB), et pour angle C' opposé à la première de ces deux faces, (aoo* — c). C.o-

struisant cette pyramide , on connaîtra la face à, et lés deux angles A', B’, qui auront pour valeurs :

.(aoo* — A.),(aoo^— ■ a)*(20o* — b),

c’est-à-dire les supplémens des trois angles demandés K, a, b.

Nous allons maintenant donner une solution des trois dernières questions, . qui sera indépendante de la considération de la pyramide supplémentaire.

Question 4". — Les trois angles dièdres cT une pyramide étant donnés, on demande les trois faces ? (PL *4, tig. 5', fig. 5, fig. 5 bis-)

ao. Solution. Soient A, B, C les trois angles donnés; ayant mené deux plans

inclinés l’un par rapport à l’autre sous un angle égal à l’un des angles donnés, ' à A par exemple, la question consiste à’ déterminer -un plan qui passe par un point quelconque pris dans l’espace , et qui fosse avec les deux premiers des angles égaux à B et à C; ce troisième plan coupera Ta droite intersection des deux premiers plans en un point qui sera le sommet de la pyramide tonnée par les trois plans. • .» •“ *

La condition de mener un plan qui fasse avec un autre plan donné On. angle déterminé , équivaut à la condition «le mener un plan tangent à un cône droit, dont l’axe est perpendiculaire au plan donné, et dont le côté fait avec ce méfneplan l’angle déterminé : or l’un des plans qui, comprend nne fecc de la pyramide cherchée, doit faire avec deux plans donnée de-position, des angles connus; donc -il dôit toucher deux cônes droits qui ont- même sommet. Pour construire le plan qui touche ces deux cônes (nommons-les G et C j , en n’employant que la ligne droiteet le cercle, on observera que ce plan touche en même temps toutes les sphères inscrites aux cônes G et G’, et tous les cônes circonscrits aux sphères prises deux à deux, dont l’une estai) sente su cône C et l’autre au cône C'.

a». Soient [pi. il\,fig, 5’) At, B,C les trois angles donnés, et cbE ( fig. 5) un angle égal à l’un des angles donnés, à A par exemple. Ayant mené par un . point D pris à volonté dans le plan de l’angle cbE, deux droites DE, 1)/ perpendiculaires, l’une à bE etrl’autre à bc, on regarde ces droites comme les axes de deux cônes droits, dont les côtés DG, De font avec lés plans bÈ G et blc de leurs bases circulaires, «les angles DGE, De/, l'un égal à B et l’autre égal à G, et il s’agit de mener par le point D un plan qui touche à la fois ces deux cônes. < \ * .

Soit II le point de rencontre de i’axe ÜEH et de la droite Gil perpeudt-

culaire à DG; une sphère dont le centre est en II, et qui a pour rayon GH, est inscrite au premier cône, et le touche suivant le cercle du rayon EG; une seconde sphère d’un rayon CM égal à celui de la première sphère, est ihscrile au second cône, et le touche suivant le cercle du rayon CL. Pour construire le centre M de la seconde sphère, on élève une perpendiculaire DK=HG au côté De du second cône; la parallèle K.C à l’axe DL/ de ce cône, coupe le côté De au point C, et la droire CM, égale et parallèle à DK , détermine la position du centre M. Ayant mené la droite CB parallèle à cb, et BS perpendiculaire à BE,on peut prendre la droite BS pour l’intersection des deux plans qui font entre eux l’angle donné A, et considérer cette droite comme une arête de la pyramide cherchée.

Les deux sphères île-rayons égaux , dont l’une est inscrite au premier cône et l’autre au second cône, sont touchées par un cylindre droit dont l’axe est parallèle .à la droite UM, suivant dés grands cercles de ces sphères, dont les plans HO, MP sont perpendiculaires ô la droite HM , qui joint les centres II et M des sphères; donc le plan tangent à ce cylindre mené par le point D touchera les deux cônes, et l’arête de contact sur chaque cône passera par le point d'intersection du cercle base.de ce cône, et du cercle commun au cy ljndre et à lai sphère qui est inscrite à ce même cône. Mais lé plan de ce dernier certle coupe le plan de la base^du cône suivant la droite OF. perpendiculaire à EOG ; donc le plan tangent aux deux cônes touche le premier suivant une arête qui passe par le point F ; donc la tangente FS au cercle décrit du point E comme centre avec le rayon EG, forme avec la droite BS, un angle BSF, qui est une face de la pyramide cherchée. » . v

Ayant décrit du point B comme centre avec un raytmBL, l’arc LL’, et du poiqt L' comme centre avec un rayon LC’=LC,' le cercle G'A, la tangente S4- .à ce dernier cercle. et la droite SB, comprennent entre elles la face ASB de la pyramide cherchée.

Connaissant deux faces ASB, BSF et l’angle des plans de ces faces, la troisième face sera déterminée (art. iG). '

Si par le point O on mène la droite OF parallèle à ILM, qui coupe ladroite BC au point P , ce point sera la projection du point de contact A , sur le plan C'BE perpendiculaire à l’aréte SB. Donc après avoir décrit du point B comme centre, avec un rayon BP, l’arc Vp qui coupe la droite BC’ au point p , la perpendiculaire pk à BC' contient encore le point A de l’arête SA, tangente au cercle C'A.

■xi. La droite OF perpendiculaire à EG coupe le cercle décrit du point E comme centre avec un rayon égal à EG, en deux points F et F’. La tangente à ce cercle menée par le point F' transporterait le sommet S de la pyramide

en un point S' de la droite SBS', tel que BS = BS ; la pyramide qui aurait pour arête cette droite F’S', serait symétrique par rapport à la pyramide qui a pour arête la droite BS.

a3. Les sphères inscrites aux deux cènes droitsne sont pas seulement touchées par un cylindre dont l’axe est parallèle à la droite qui joint leurs centres;’on conçoit encore le cône qui a son sommet au milieu cl de cette droite, et qui est circonscrit aux deux sphères ; les deux plans tangens à ce cône, menés par le point D, forment avec les deux plans inclinés l'un par rapport à l’autre d’un angle CBE , deux pyramides qui sont symétriques ; chacune de ces pyramides ne difîère de celle qu’on a déterminée en faisant usage du cylindre circonscrit, que par un seul angle. Le plan tangent au cylindre donne une pyramide dont les angles A, B, C sont aigus; le plan tangent au cône dont le sommet est en d, détermine une pyramide dans laquelle deux de ces angles sont égaux aux angles A et B, et le troisième angle est supplément de l’angle C. La fig. 5 (bis) est relative à cette dernière pyramide; l’explication de la J/g. 5 s’y applique, parce que les points analogues y sont marqués des mêmes lettres. Ces deux figures ne diffèrent que par les droites perpendiculaires à la ligne des centres M et II, sur lesquelles se trouvent les points P et O. Dans la fig: 5, ces droites sont MP, IIO, et dans la fig. 5 (bis) R'PT et ROT.

Trois plans dont les inclinaisons respectives ont pour mesures les angles A, B, C divisent l’espace en huit angles trièdres symétriques deux à deux ; nommant A', B', C' les slipplémens des angles A, B, C, quatre des huit angles trièdres ont pour angles dièdres i° A, B, C; a° A, B', C'; 3° A1, B, C’; 4° A', B', C.

En excluant les supplémens des angles dièdres donnés A, B, C, les deux pyramides symétriques construites (art. a i et aa), sont les seules dont les faces comprennent entre elles les angles donnés.

Question 5*. — Étant donnés dans une pyramide deux angles et la Jace à laquelle ces angles sont adjacens, construire les deux autres faces?

a 4* Solution. Soient ( pl . i[\,fig. 6) BSE la face donnée, C bd et C'd'cf les deux angles connus, adjacens l’un à l’arête SB et l’autre à l’arête SE; il s’agit de déterminer les deux autres faces.

Ayant mené la parallèle quelconque CD à SB, et la parallèle Cd" à SE, ces deux droites, projections de deux autres droites qu’on suppose dans un plan parallèle au plan de la face BSE, à la distance Cd ou Cd' de ce plan, se coupent en un point D, qui est la projection d’un point de la troisième arête de la pyramide sur le plan de la face BSE. Faisant mouvoir les deux plans S BAC et SEt/'C', l’un autour de SB, l’antre autour de SE, le point de l’arête dont D

est la projection , viendra se placer dans le plan de la face BSE sur les droites DBA et DEF, perpendiculaires, la première à SB et la seconde à SE; de plus ce point est k une distance du sommet S de la pyramide, égale à l’hypothénuse du triangle rectangle qui a pour côtés adjacens à l’angle droit, DS et dC ou d'C; donc dans le développement, ce point est sur le cercle décrit du point S comme centre, avec cette hypothénuse pour rayon, et par conséquent il est à la rencontre de ce cercle et des droites DA et DF ; donc les angles ESF et ASB t sont les deux faces cherchées.

Ou aurait encore pu construire les points A et F, en observant que BA =ôC , et que EF = d'C.

(Juestioa 6'. — Étant donnés deux angles et la face opposée à l ' un de ces angles, on demande les deux autres faces ?

a5. Solution. Soient ( pl. il\,fig. 7) BSD la face donnée, CBD l’angle du plan de cette face avec le plan SBC qui contient la seconde face, BC’D’ l’angle de ce dernier plan avec celui qui contient la troisième face; la question consiste à mener par la droite SD un plan qui fasse avec le plan CBS un angle égal à BCD’. Ayant pris le point D pour le sommet d’un cône droit, dont DL perpendiculaire à BC’ est l’axe, et dont le côté DC fait avec BC un angle BCD égal à BCD’, on abat le plan SBC' sur le plan de la face BSD, et la base du cône du rayon LC, cbntenuc dans ce plan, vient se placer suivant le cercle CAA', qui a pour rayon la droite C’L'=; CI-, et dont le contre est un point L' de la droite Bü, tel que BL’= BL. Si du point S, ou mène à ce cercle la tangente SA ou SA', l'angle ASB ou A'SB sera la face adjacente à BSD; car le plan qui passe par SD et SA ou par SD et SA’, est évidemment tangent au cône dont LD est l’axe; donc il fait avec le plan CBS un angle égal à l’angle donné BC D’.

Ayant deux faces BSD et ASB ou A'SB, et l'angle CBD compris entre elles, on achèvera la solution comme il a été dit (art. 16).

26. Les six questions relatives à la pyramide triangulaire, que nous venons de résoudre, comprennent toute la trigonométrie sphérique. Le centre de la sphère sur laquelle on a tracé un triangle sphérique, peut être considéré comme le sommet d’une pyramide triangulaire,, qui a pour arêtes les trois rayons de la sphère meués par les sommets du triangle sphérique. Les angles que ces rayons font entre eux, et qui ont pour mesures les côtés du triangle, sont les faces de la pyramide. Ce qu’on nomme 1 angle du triangle, est un angle dièdre de la pyramide.

Soit O \fig. b,pl ■ i\) le centre d’une sphère; les trois rayons OA, OB, OC

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i47

déterminent le triangle sphérique ACB, qui a pour côtés les arcs de grands cercles AB, AC, CB, compris entre les rayons. En menant par. le centre O de la sphere trois autres rayons OA', OB’, OC', respectivement perpendiculaires aux plans des côtés CB, AC, Ait du premier triangle sphérique, on forme un second triangle A’B'C’ supplémentaire du premier. En effet, désignons comme précédemment par A, B, C, les angles dièdresdu triangle sphérique, mesurés dans des plans perpendiculaires aux rayons OA, OB, OC, et par a, b, c les côtés CB, AC, AB, respectivement opposés aux angles A, B, C; les angles dièdres A', B', C' du triangle A'B’C' sont les suppléinens des côtés a, b, c du triangle ABC, et en nommant a, b', c les côtés du triangle A'B’C, opposés aux angles A’, B', C', ces côtés sont respectivement les supplémcns des angles A, B, C. Ainsi le côté a opposé à l’angle A' étant compris entre les deux rayons OB , OC’ perpendiculaires aux plans des côtés b, c du triangle primitif ABC, le plan de ce côté a' est perpendiculaire au rayon OA intersection des plans des côtés b et c; on a donc dans ce plan, comme dans celui de la fig. irc, un quadrilatère ASBX à deux angles droits A et B, et à deux angles S, X, l’un égàl au côté à du triangle sphérique A BC, et- l’autre égal à l'angle dièdre A du triangle sphérique ABC; d'où il suit que les angles a' et A sont supplémens l’un et l’autre.

problème V. >

Mener par une droite donnée un plan tangent à la surface d'une sphère ?

27. Solution. Le plan tangent à la surlace d’une sphère, mené par une droite donnée, est aussi tangent à toutes les surfaces coniques qui ont leurs sommets sur la droite, et sont circonscrites a la sphère; or la ligne de contact de chaque sur/ace conique et de la sphère, est un petit cercle de cette sphere, qui est un heu géométrique du point de contact de la sphère et du plan tangent demandé; donc ce point sera déterminé par l’intersection des cercles de contact de la sphère et de deux surfaces coniques quelconques, qui lui sont circonscrites; ce point et la droite donnée fixent la position du plan tangent à la sphère, mené par cette droite.

Le point de contact étant l'intersection de deux petits cercles de la sphere, il suit que par une droite donnée, 011 peut mener deux plans tangens à une sphère, puisque les deux cercles lieux géométriques des deux points de contact, se coupent nécessairement en deux points.

Pour que la solution graphique soit la plus simple possible , il faudrait

prendre pour l’un des plans de projection , pour l'horizontal par exemple, celui qu’on mènerait par le centre de la sphère et par la droite donnée; l’autre plan de projection passerait aussi par le centre de la sphère, mais serait perpendiculaire à la droite donnée. Les deux figures (pl. a5) que nous allons expliquer ne sont pas construites- sur des plans de projection ainsi déterminés. On a eu principalement pour objet d’exercer aux constructions de la géométrie descriptive, et de présenter un système d’opérations graphiques qui se vérifient mutuellement. Les deux plans de projection des figures ( pl . a5) passent par le centre de la sphère; mais la droite donnée est située d’une manière quelconque par rapport à ces plans.

Explication des fig. , et a, pl. a5.

a8. Soit XY (fig. i) l’intersection des deux plans de projection, qui passent par le centre O de la sphère dont le rayon est OO'. La droite par laquelle il s’agit de mener un plan tangent à la sphère, est donnée par ses deux projections horizontale et verticale AB, ab.

On prend pour sommet des deux surfaces coniques circonscrites à la sphère, les points A et b, où la droite donnée coupe les plans de projection; le cône du sommet A touche la sphère suivant un petit cercle du diamètre CD, situé dans un plan vertical qui a pour trace sur le plan horizontal la droite CD; le cône du sommet b touche la sphère suivant un petit cercle du diamètre ef qui est situé dans un plan perpendiculaire au plan vertical, et a pour trace sur le plan vertical, la droite ef. Ces deux petits cercles des diamètres CD, ef sont les lieux géométriques des points de contact de la sphère et du plan demandé, et par conséquent les droites CD, ef sont les projections horizontale et verticale de la droite qui joint les points de contact, puisque cette droite est dans les plans des cercles qui se projettent, l’un sur le plan horizontal en CD, l’autre sur le plan vertical en ef. Mais la droite des points de contact, dont la position est déterminée par ses deux projections CD, ef, coupe la sphère en deux points; donc, si l’on construit ces deux points, le problème' proposé sera ramené à celui-ci : Trouver les traces d’un plan qui passe par un point et par une droite donnés ?

Sur CD comme diamètre, on décrit un cercle, et on construit sur le plan de ce cercle, la droite des points de contact; cette droite perce le plan horizontal au point K, et le plan vertical au point l situé au-dessous de la trace XY; donc si l’on porte la distance U en L* sur une perpendiculaire Lx à CD, la droite menée par .les points K et x sera la droite des points de contact, construite sur le plan du petit cercle du diamètre CD. En supposant que ce

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i4g

plan ait tourné autour de sa trace horizontale CD. pour venir s'appliquer sur le plan horizontal, le point / où la droite des points de contact perce le plan vertical, a pris la position 1, qui détermine la droite K.*..

Cette droite KX coupe le cercle du diamètre Cl) en deux points $, 4, l’un en dessous et l’autre au-dessus de l’horizoutal Cl) ; ces deux points sont ceux où les plans tangens à la sphère, menés |far la droite donnée (AR, etb), touchent la sphère. Ils ont pour projections horizontales les points H, H’ intersections de la droite CD et des perpendiculaires $H, 4H’ abaissées des points ç, 4 sur cette droite. Mais les projections verticales des points de contact sont sur la droite ef; elles se trouvent aussi sur les perpendiculaires H'A', HA à XY ; donc les points de contact sont déterminés de position par rapport aux plans de projection. Celui qui est au-dessus du plan horizontal a pour projections les points II’, A’; et celui qui est au-dessous a pour projections les points H, h. Les rayons de la sphère menés par les points de contact ont pour projections l’un (OH, oA), l’autre (OH1, ohÿ : or les plans tangens à la sphère sont perpendiculaires aux rayons menés par les points de contact; donc (art. 3 1 , Iiv. Ier) les droites AR, bs, respectivement perpendiculaires aux projections (OH, oh), sont les traces du plan qui est tangent à la sphère au point (H, h), et qui passe par la droite donnée (AB, ab). Ces deux traces doivent se couper en un point T de la droite XY. De même les deux traces AK'T’, bst respectivement perpendiculaires aux projections OH', oh' du rayon mené par le second point de contact (H', h), concourent vers un point de la droite XY : le problème proposé est complètement résolu.

39. Pour trouver l’intersectjon de la sphère et de la droite des points de contact, on pourrait mener par cette droite et par le centre de la sphère un plan; ce plan aurait pour trace horizontale la droite OK, et ferait avec le plan horizontal l’angle LMN, opposé au côté LN = U du triangle rectangle LMN. Le point (L, /) de la droite des points de contact, tournant autour de la trace OK comme charnière, s’appliquerait sur le plan horizontal en x’, sur la perpendiculaire L).' à OK; le point K de la droite des points de contact est sur la charnière OK ; par conséquent la droite X'K joint les deux points de contact. Cette droite- coupe le grand cercle de la sphère décrit du point O comme centre, avec OO' pour rayon, aux points P et Q, qui sont les points de contact de la sphère et do plan tangent mené par la droite donnée. Les projections horizontales II, H de ces points P et Q, sont sur les perpendiculaires PH, QH' à la charnière OK, et sur la droite KL, qui coupe ces perpendiculaires aux points II, H', déjà trouvés par la première construction. Les perpendiculaires HA, HA' à XY, ont rencontré la droite ef aux points A, U projections verticales des points de contact; on trouverait directement ces points

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i5i

Explication de la fig. a, pl. a 5.

3i. On mène par le centre O de la sphère, un plan (I.OM) perpendiculaire à la droite donnée (AB, ab), dont les traces OL, OM, sont respectivement perpendiculaires aux projections AB, ab de cette droite. Ce plan rencontre la droite donnée au point (N, n ), et coupe la sphère suivant le grand cercle du rayon OO'. Les tangentes au grand cercle, menées par le point (N, n), touchent la sphère au point de Contact de cette sphère et du plan cherché. Le plan (LOM) ayant tourné sur sa trace horizontale OL comme charnière , le point (N, ni) de ce plan s’applique sur le plan horizontal en N', par lequel on mène les tangentes N P, N'Q au grand cercle O'PQ. La tangente N Q qui coupe le plan horizontal au point I de la droite OL, a pour projection horizontale NUT; d’ailleurs le point Q se projette sur le plan horizontal en un point de la droite QH', perpendiculaire à OL; donc le point de contact Q se projette sur le plan horizontal en H'. Mais la droite PQ coupe le plan horizontal au point R de la trace OL; donc cette droite se projette sur le plan horizontal en H’KH. Abaissant du point P la perpendiculaire PH sur OL. le point II intersection de cette perpendiculaire et de la droite HKH, est la projection horizontale dn 'second point de contact P.

Pour construire les projections verticales des points de contact P et Q, on remarque que la tangente N'Q-a pour projection verticale la droite nih' . L’intersection de cette droite -et de la perpendiculaire II7T à la commune intersection XY des plans de projection , détermine le point h' projection verticale du point Q ; d'ailleurs le point K de la droite PQ se projette verticalement en K ; donc cette droite 1*Q se projette sur le plan vertical en h'K’h. Le point h, intersection de cette projection et de la perpendiculaire HA à la commune intersection XY, est la projection verticale du point de contact P.

On peut encore remarquer que la droite PQ étant perpendiculaire au pian mené par le centre O de la spUere et par la droite donnée (AB, ab), les projections HH , hli de la droite qui joint les points de contact de la sphère et du plan, sont respectivement perpendiculaires aux traces OA, f)/> du plan mené par le centre de la sphère et par la droite donnée.

Les points de contact (H, h), (H , h'), et la droite donnée (AB, ab), déterminent les traces horizontales ART, A RT et les traces verticales bTs, bit' des deux plans tangens à la sphère, menés par les droites données. Ces traces sont, comme pour la première solution, perpendiculaires aux projections des rayons delà sphère menés par les points de contact, et se croisent comme

i5a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. -

sur \tsf!g. i en deux points (T et ) de la commune intersection XY des

plans de projection.

3a. Les deux solutions du problème, Mener un plan tangent à une sphère par Une droite donnée , sont fondées sur cette considération, que le plan tangent à la sphère est aussi tangent à toutes les surfaces coniques circonscrites à la sphère, dont les sommets sont situés sur la droite donnée. La même considération donne la solution du problème plus général : Mener un plan tangent à une surface quelconque définie, par une droite donnée hors ta surface. Deux cônes circonscrits à la surface proposée, qui ont leurs sommets sur la droite donnée, touchent chacun la surface suivant une ligne, et les points d'intersection des deux lignes de contact, déterminent les plans tangens à la surface qu'on peut mener par la droite donnée. La construction géométrique des lignes de contact appartient à la théorie des ombres et de la perspective linéaires, que nous exposerons dans le second chapitre des applications. Ce chapitre contiendra la solution du problème général qui consiste à mener par une droite donnée, un plan tangent à une surface quelconque définie; maintenant nous ne traiterons cette Question que dans l'hypothèse où la surface proposée est de révolution.

Nous allons faire connailre pour ce cas particulier une solution fort élégante qui ramène la question de géométrie à trois dimensions à ce problème de géométrie plane : « Mener une droite qui soit à la fois tangente à une hyperbole et à une courbe qui est donnée dans le plan de cette hyperbole. »

problèmf. VI.

Mener par une droite donnée un plan tangent à une surface de révolution?