PU
33. Solution de Monge. La droite donnée, en tournant autour de l'axe de révolution de la surface proposée, engendre un hyperboloïde de révolution (art. i aa, liv. I*r ), et le plan tangent à la surface proposée, mené par la droite donnée, est aussi tangent à cet hyperboloïde, puisqu’il passe (art. 137 et i44, liv. Ier) par une droite de cette surface :or un plan tangent à une surface de révolution est perpendiculaire au plan méridien qui passe par le point de contact; donc le plan tangent à deux surfaces de révolution qui ont même axe, est perpendiculaire au plan méridien qui passe par l’un ou l'autre point de contact; d’où il suit que les «leux points de contact sont dans le même méridien, et que la droite qui les unit résulte de 1 intersection de ce méridien et du plan tangent. Mais cette droite est aussi la tangente commune des deux sections mé>
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ritliennes de la surface, dont l’une est une hyperbole, et l’autre la courbe génératrice de la surface; donc en coupant les deux surfaces de révolution par un plan méridien quelconque, et menartl la tangente commune aux deux sections, le point de contact sur l’hyperbole déterminera le cercle de cet hypcrboloide, qui est le lieu géométrique du point de contact du même hyperboloïde et du plan tangent demandé : la droite donnée est aussi le lieu géométrique de ce point de contact; donc la position de ce point sera connue; conduisant par ce point et par l’axe de révolution un plan méridien, le plan tangent demandé sera déterminé par la condition d’être perpendiculaire à ce plan méridien et de passer par la droite donnée.
Explication des figures, pl. a6.
■14. Gn prend pour plan horizontal de projection tin plan perpendiculaire à l’axe de révolution (A, ad) de la surface proposée; le plan vertical de projection a pour trace sur le plan horizontal, une droite quelconque XY.‘ La courbe génératrice de la surface de révolution est-une ellipse nudo, dont le grand axe ad est la projection verticale de l'axe de révolution ; cette courbe a pour projection horizontale la droite OAO' parallèle à XY.
La droite donnée (BC , bc\ en tournant autour de l’axe (A, ad ), engendre un hyperboloide de révolution, dont le cercle de gorge a pour rayon la perpendiculaire AD, abaissée du point A sur la projection horizontale BC delà droite donnée. Ce cercle, dont le plan coupe la droite donnée au, point (ü, d), a pour projection verticale, l’horizontale xj menée par le point d, et pour projection horizontale, le cercle DD'E ; le plan méridien OAO’, parallèle au plan vertical de projection, coupe la droite donnée au point (E,e), le cercle de gorge Jiux points (D’, d'), (F, /) ; les deux points e, d appartiennent à la brandie d’hyperbole ed'g’, section de l’hyperboloïde de révolution par le plan méridien OAO’. Un point quelconque (G, g) de la droite donnée, décrit en tournant autour de l'axe ( A , ad ) un cercle du rayon AO, dont la projection verticale est gg; mais ce cercle a pour projection horizontale un cercle GG -du même rayon AG, qui est coupé par le plan méridien OAO' au point G’. Élevant la perpendiculaire Gg k XY, qui coupe l'horizontale gg an point g, ce point g appartient à l'hyperbole ed’g. On trouverait de la même manière d’autres points de la section méridienne de l’iiyperboloïde.
Supposons maintenant qu’on ait mené les droites ih, Ik tangentes à la fois aux sections méridiennes des deux surfaces de révolution, et qu'on ait déterminé les points de contact 1, l sur la première section, les points h, k sur la se-
ao
conde; les plans horizontaux hm, in coupent la droite donnée aux points (M, in ), (N, ri), qui sont les points de contact de l’hyperboloiLde de révolution et des plans demandés : or les plans roéridieus qui passent par ces points, ont pour traces horizontales les droites AM, AN; d'ailleurs ils sont verticaux ; donc les plans demandés qui leur sont perpendiculaires, et passent par la droite donnée (BC, bc ) , ont pour traces horizontales les droites BP, BQ, qu’on mène par le point B où cette droite donnée perce le plan horizontal , perpendiculairement aux droites AM, AN, traces des plans méridiens.
Les points de contact de la surface de révolution proposée et des plans tangens demandés, sont situés dans les plans méridiens AM, AN des points de contact sur ThyperboloSde ; ils sont aussi sur les^cercles des diamètres û", II' qui ont pour projections horizontales des cercles de même diamètre, décrits du point A comme centre; donc ces derniers cercles sont coupés par les droites AM, AN aux points I, L projections horizontales des points de contact de la surface de révolution proposée et des plans demandés. Ces points ont évidemment pour projections verticales les points p, \ des horizontales m", //'. e' .
35. Addition à la solution précédente. Nous avons supposé que chacune des tangentes i/i, il était déterminée par leurs points de contact sur les sections méridiennes de la surface proposée et de l’hyperboloide de révolution. Dans la pratique du dessin , on mènerait ces tangentes en appliquant une règle tangenticllçment aux deux courbes données. La première tangente ih ainsi tracée, rencontre l’axe de révolution des deux surfaces au point r; regardant ce point comme le sommet d'un cône droit engendré par la droite ih qui tourne autour de l’axe (A, au ), le plan tangent à ce cône mené par la droite donnée, est le plan demandé : or ce cône a pour hase sur le plan horizontal lô cercle BP', décrit du point A comme centre, avec un rayon AP' égal à la distance du centre A au point P', dans lequel la tangente ( rihp’, AP') coupe le plan horizontal; donc le plan tangent demandé a pour trace sur le plan horizontal, la droite BP tangente à la circonférence PP’ (*). Le second plan tangent demandé a pour trace horizontale la droite BQ tangente à la circonférence QQ', décrite du point A comme centre, avec le rayon AQ’ égal à la distance du centre A au point Q‘, dans lequel la tangente (//?', AQ’) coupe le plan horizontal. Les deux plans menés par la droite
O Par le point B où la droite donnée coupe le plan horizontal, on peut mener deux tangente* au cerde PP'; mai* la seconde tangente serait la trace d’un plan langent à la surface proposée, qui passerait par la génératrice de l liypcrboloide, dont la projection horizontale serait la tangente BD’ à la circonférence DDD* ’•
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donnée, tangent iellenmnt aux deux cônes droits, les touchent suivant des droites qui ont pour projections horizontales AP et AQ. Ces droites AP, AQ sont aussi les traces des plans méridiens verticaux , qui contiennent les points de contact de la surface donnée et des plans demandés. Connaissant ces plans méridiens, on construit les points ( M, m ), ( N , n), où ils coupent la droite donnée (I1C, bc ). Menant les horizontales mh , nk , elles rencontrent les tangentes ip\ kq aux points A et k de la branche d'hyperbole bd' g’.
Les plans tangens à la surface proposée, dont on connaît les traces horizontales BP, BQ, touchent cette surface en deux points (I; /i), (L, ).), qu'on déterminerait en menant par les points P et Q des tangentes aux courbes méridiennes contenues dans les plans verticaux AP, AQ.
On remarquera qu’ayant projeté les points P et Q en w et q sur la droite XY, les quatre points w, m, p, r sont sur la même ligne droite. Il en est de mémo des quatre points n, r, ), q, qui sont aussi sur la même droite qn.
Cette solution, quoique moins rigoureuse que la précédente, est néanmoins très-admissible dans la pratique du dessin graphique.
On a trouvé, pour les traces horizontales des plans tangens à l'ellipsoïde aux points (I, //), (L, 1) les droites BP, BQ; leurs traces sur le méridien vertical A E, parallèle au plan vertical de projection, passeront par des points déjà construits. En effet, ce plan méridien coupe la droite donnée au point (E, e) ; la tangente à la section méridienne qui passe par le point de contact (I, fx), coupe l’axe de révolution au point (A, r) qui est dans le plan méridien AE ; donc la droite er est sur ce plan, la trace du plan tangent au point (I, fi) de l’ellipsoïde. Cette droite er prolongée, fiasse par le point s projection verticale du point S, où le plan jnéridien AE coupe la trace horizontale RI* du plan tangent. De ces trois points r, e, s, deux suffisent pour déterminer la trace du premier plan tangent sur le plan vertical AE parallèle au plan vertical de projection XY. Quant à la trace ert du second plan tangent au point (L, 1) de l'ellipsoïde, elle est aussi déterminée par les projections e, r, l de trois points, dont le premier est sur la droite d^^iée, le second à l'intersection de l’axé de révolution et de la tangente à la section méridienne au point de contact (L, *), et le troisième à l'intersection des traces horizontales BT et AT du plan tangent et du plan méridien AE. '
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PROBLEME VII. (Fig. I, pl. B?.)
Mener une tangente à une hélice, tP par un point donné sur l'hélice-, a0 parai- • lèiement à un plan donné.
36. Solution. Parmi les courbes tracées sur uu cylindre, celle qui jouit de cette propriété, que ses tangentes lassent avec les droites du cylindre des angles égaux, se nomme hélice. Il suit de cette définition que l'hélice se transforme sur le développement du cylindre en une ligne droite; et ai Ton considère une partie quelconque de cette droite comme iiiypotbénuse d'un triangle rectangle qui a pour côté une droite du cylindre , l’autre côté sera la transformée d’une portion de la section droite du cylindre. Le rapport de ces deux côtés est constant; la valeur de ce rapport détermine l'augle que la tangente à l'hélice fait avec la droite du cylindre qui passe par le point de contact. Un lil plié librement sur un cylindre, forme une hélice. Lorsque le cylindre a pour hase une courbe fermée, l'ttélice coupe une droite quelcouque.de ce cylindre eu une suite de points équidislans; la distance de deux points consécutifs se nomme pas de l'hélice; la portion d'hélice comprise entre ces deux points, forme un tour entier; elle se projette sur un plan perjiendiculaire aux droites du cy lindre, suivant la base ou la section droite du cylindre. Le développement de cette base et le pas de l’hélice sont dans un rapport constant. Le même rapport subsiste entre les fractions semblables tlu contoür de la base et de la hauteur du pas. Cette propriété donne la construction suivante de l'hélice sur un cylindre droit à base circulaire.
Construction de l'hélice . (Pl. 17, fig. i.)
37. Soit ota3 tt ta o la circonférence, base du cylindre droit;
on la divise en arcs <|^ix. à partir du point 0, origine de l’hélice. Le pas de l’hélice étant donné, on le partage dans.le même nombre de parties égales, et on porte ces parties sur les droites du cylindre, qui passent par les points de division 1, a, 3, etc. de la circonférence; savoir une partie sur la droite du point t , deux parties sur la droite du point a, et ainsi de suite. L'hélice passe par les extrémités de ces droites, et a son origine au point o.
Pour construire la projectioq de l'hélice sur un plan vertical XY parallèle au rayon Oo, on y projette les droites verticales du cylindre, et les distances des extrémités a, b, c, d, etc. de ces projections à la droite XY, sont respectivement égales aux droites du cylindre, comprises entre sa base et' l’hélice.
GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i57
Si l’on a divisé la circonférence de la base en seize parties égales, la perpendiculaire 4/| '</ à la droite XY, cuupo cette droite au point 4’, et prenant 4 V/ égal au quart du pas de l'hélice, le point d appartient à la projectipu verticale du point de l’hélice, dont la projection horizontale est le point 4- Menons d'abord la tangente à l’hélice par ce points cette tangente est sur le plan tangent au cylindre, qui passe par le même point, et dont la trace sur le plan horizontal est la droite 4L. Cette droite parallèle à XY est évidemment la projection horizontale de la tangente. Développant le cylindre sur le plan tangent vertical 4L, le quart de circonférence oia34 deviendra sur le développement la droite 4L, et on aura sur le plan de développement un triangle rectangle ld!\, dont le côté (]'/== 4I-> et l'hypothénusc dl sera la [projection verticale de la tangente à l’hélice au point (4, d). Cette tangente fait avec la droite du cylindre, qui passe [»r le point de contact (4, d), un angle /r/4; elle coupe le plan horizontal au point L, dont la projection verticale est le point / de la droite XY.
On aura la tangente en un point- quelconque de l'hélice, autre que celui (4, d ), pour lequel cette tangente est parallèle au plan vertical de projection , en menant par le point donné de l’hélice, et dans le plan tangent au cylindre qui passe par ce poinr, une droite faisant avec l'aréte du cylindre un angle égal à l’angle connu ld\ D’après la d#iuition de -l'hélice, cet angle est constaut pour tous les points de la courbe.
Seconde partie delà solution. — Mener une tangente à l'hélice, qui soit parallèle à un plan donne (*)? (PI. t7.) • .
38. Les tangentes à l'hélice font avec les arctes du cyliutîre un angle constant; d’où il suit qu’elles sont parallèles aux arêtes d’un cône droit, qui aurait pour axe une parallèle aux arêtes du cylindre. Ce côpe étant construit, il n’y a aucune tangente à l’héfice qui n’ait sa parallèle sur la surface du cône. Mais un plan mené par le sommet de ce cône parallèlement au plan donné, coupe en général le cône suivant deux droites, et les tangentes parallèles à ces droites sont évidemment parallèleà au plan donné; ainsi la question proposée est ramenéo à celle-ci : Mener une tangente à une hélice parallèle à une droite dont on a déterminé la position ? Cette droite étant projetée sur le plan horizontal de la section droite du cylindre, la tangente à cette section parallèle
(*} J'ai résolu celte question, pour expliquer le mouvement ascensionnel (le l’eau dans la vis d'Arcbiinèdc. f Voye* le Traite dei Maehines, édition, r8»8, page t8o.)
à la projection (le la droite, est la projection horizontale de la tangente à l'hélice demandée. De cette projection , on déduit facilement le point de contact et la projection verticale de la tangente.
- • Suite de V explication de la Jlg. t, pl. i~r •
3q. "Soit (O, dd') l’axe du cylindre sur lequel l'hélice est tracée; on prend sur cet axe, un point (O, tl) pour sommet du cône droit qui a pour côté la droite dl faisant avec dl\ l'angle ldt\ égal à celui que la tangente à l’hélice fait avec l'arête du cylindre. La base du cône droit est le cercle décrit du point O comme centre, avec OP = l\l pour rayon. Le plan mené par le som* m met (O, et) de ce cône, parallèlement au plan donné, le coupera suivant deux*’ droites; et si l'on suppose le plan donné par ses demr traces ZZ', Z ’z, dont l’une ZZ est perpendiculaire k XY, le plan parallèle (TRS</) coupera le cône suivant deux arêtes qui se projettent sur le plan horizontal en OR et OT, rayons du cercle décrit du point O comme centre. Les extrémités R, T de ces rayons sont déterminées par l'intersection de la droite ST, perpendiculaire à XY, et du cercle décrit du point O comme centre, avec OP =4’/ pour rayon. Les tangentes QQ', W à la section droite du cylindre, respectivement parallèles aux droites OT, OR, sont les procédons horizontales des tangentes à l'hélice parallèles au plan donné, et on a les points V, Q pour les projections hori- * zontales des points de contact. , .
Les perpendiculaires Ve, Q q k XY déterminent les projections verticales i . q de ces points. Les parallèles , ^4 k la trace verticale Zz du plan donné, sont les projections verticales des tangentes k l’hélice aux points
Les droites Ve, Qq prolongées, couperaient la projection verticale de l’hélice en une suite de points équidistans tels que e’, q, pour lesquels les tangentes eV, y’4 k celte projection verticale seraient parallèles k la trace Z z du plan donné (ZZ ’z).. .
Si l'on proposait de mener une tangente k la projection verticale abed..... de l’hélice, qui fïit parallèle à une droite donnée, on résoudrait ce problème de la même manière que le précédent, en regardant la droite donnée comme la trace d'uu plan perpendiculaire au plan vertical de projection.
■ f GÉOMÉTRIE; DESCRIPTIVE. i3f)
