PROBLÈME VIII

Mener une tangente a une èpicycloïde sphérique, par un point donné sur cette courbe? (Fig. 2, pl. 27.) .

/|0. Définition de l' èpicycloïde. De deux cônes droits qui se tôuclient et qui ont même sommet, l’un étant fixe et l’autre mobile, un point quelconque du cône mobile décrit une èpicycloïde. sphérique.

l\ 1 . Solution du problème. Pendant que le cône mobile roidc sur le cône fixe, la distance du point générateur de l’épicycloïde au sommet commun des deux cônes, ne varie pas; d’où il suit que l’épicycloïde appartient à une sphère qui a pour rayon cette distance, et pour centre, le sommet commuu des deux cônes. Cette sphère coupe le cône fixe et le cône mobile suivant deux cercles, dont les plans font entre eux un angle égal à celui qui est compris entre les axes de ces cônes. I-e cercle base du cône mobile touche dans toutes ses positions le cercle base du cône fixe, et pour chaque position du premier cercle, un point de'ce cercle appartient à l’épicycloïde. La droite menée de ce point de lepicycloule au point de contact du cercle' fixe et du cercle mobile varie de grandeur; elle est d’abord nulle ; elle croit jusqu’à ce qu’elle soit égale au diamètre du cctcle mobile ; ensuite elle décroît et redevient nulle; elle est à très-peu près constante, pendant que le point générateur passe d’une position à une autre, qui en est infiniment voisine; dans le même temps, le point de contact du. cercle fixe et du cercle mobile , 'W change pas sensiblement; ce point peut donc être considéré comme le centre, d’une sphère sur laquelle se trouve l’élément de courbe décrit par le point générateur de l’épicyckùde. Il suit de là que ce point, dans un instant quelconque de son mouvement, •décrit un élément de courbe qui est à la fois sur deux sphères, l’une qui a pour rayon la distance constante de ce point au sommet commuu des deux cônes, l’autre qui a pour rayon la distance variable de ce point à celui où le cercle mobile touche le cercle fixe; or un élément de courbe ne peut être à la fois sur deux, sphères, qu’il ne soit snr l’intersection de deux plans qui touchent ces sphères; donc i° la tangente en un point quelconque d’une, épicycloïd» sphérique, est une droite, intersection de deux plans qui touchent deux sphères dont les centres et les rayons sont donnés; a° cette tangente est perpendiculaire au plan mené par le point de l’épicy? cloïde et par les centres des deux sphères.

Explication de la figure a, pl. 37. — Description de Vépicjrcloïde sphérique.

4a. L’axe du cône fjxe étant supposé vertical, soit décrit sur le plan horizontal le cercle ABCD ( pl , %q,fig. a) du cône fixe, qui est constamment touché par le cercle du cône mobile, sur lequel se trouve le point générateur de 1 epicTcloïde.

Soit AU un arc quelconque du cercle ABCD compris entre l’origine A de l'épicycloïdc et le point de contact de ce cercle ABCD et du cercle mobile dans une position quelconque. Le plan vertical SUE1 contient i* les axes Sr, ss des deux cônes; a" l’arête ,sB, suivant laquelle ces deux cônes se touchent; 3” l’angle E’Be que font entre eux le plan horizontal du cercle fixe et le plan incliné (eBNVi) du cercle mobile; 4* le diamètre Jte de ce dernier cercle. En supposant que le plan du cercle mobile tourne autour de sa trace horizontale Bn comme charnière, pour s’appliquer sur le plan du cercle fixe ABCD, et que l’arc B/’ du cercle mobile soit de même longueur que l’arc AB du cercle fixe, le point f sera la position du point générateur de l’épicycloïde qui correspond au point de contact B, par lequel passe l'arête de contact s B îles deux cônes. La projection -horizontale F du point f' est sur la droite / T perpendiculaire à la droite Bn. Ayant mené / 'F perpendiculaire ait diamètre RE', l’arc de cercle décrit du point B comme centre, avec un rayon égal à BF, coupe la droite Beau point/; projection du point1/' sur le plan vertical SBw. La perpendiculaire fyf abaissée du point/ sur le diamètre BE', coupe la droite f F' au point F', projection horizontale du point /' de l’épicycloïde. Quant à la hauteur de ce point f au-dessus du plan horizontal, elle est évidemment égale à fy.

43. Supposons maintenant que le point de contact du cercle fixe et du cercle mobile, au lieu d’être en B, soit en K; on pourrait 1° mener le plan vertical SR, qui contiendrait les axes ile.s detnf cônes ; a° l’abattre sur le plan horizontal, et trouver un point G de la projection horizontale de l’épicycloïde, comme on a trouvé le point F; mais il n’est pas nécessaire d’employer un second plan vertical SK; le premier SBm suffit. En efTet, soit Vf ' g un arc du cercle mobile d’une longüeur égale à celle de l’arc ABK; on pourrait tracer le cercle du diamètre Kl = Be, et opérer sur ce cercle comme sur celui du diamètre BE', qui touche le cercle fixe au point B. Regardant ce point B comme le point de contact K, la projection horizontale du point g serait en G ,sur la droite g‘G perpendiculaire à la tangente fin des deux cercles fixe et mobile. Menant les droites SG’, BG', on formera le triangle SBG' qui étant transporté en SKG, détermine le point G qui est la projection horizontale du

point g <lu cercle mobile, lorsque ce cercle touche le cercle fixe ail point K. En supposant que le point de contact de ces deux cercles soit en C, extré. mité d’un arc ABC du cercle fixe, égal en longueur à la demi-circonférence du cercle mobile, le point générateur de i’épicycloïde a pour projection horizontale un point E du rayon SC , tel que CE est égal à la projection horizontale B« du diamètre Be da cercle mobile.

44- L’arc ACD du cercle fixe étant égal en longueur à la circonférence entière du cercle mobile, le point D appartient à l’épicycloïde sphérique, et peut être considéré comme l’origine d’une autre branche 1)0 de l’épicydoide, égale à la première, et qui aurait pour projection horizontale une courbe qui ne différerait pas de AED;-les deux branches ont pour tangente commune au point D, le rayon SD.

45. Il suit de cette construction, i* que lepicycloïde sphérique est en général composée d’une infinité de branches égales, qui se projettent sur le plan perpendiculaire à l’axe du cône fixe , suivant des courbes égales ; a° que le nombre de branches est finie , lorsque la circonférence du cercle mobile est contenue un nombre entier de fois dans la circonférence du cercle fixe; 3° que ces branches eu nombre fini ou infini ont sur la base circulaire de ce cône, des points de rebroussement; 4* que l’arc de cette base, compris entre deux points consécutifs de rebroussement, est égal en longueur à la circonférence du cercle mobile.

Construction de la tangente à i èpicycloide sphérique.

46. Première solution. Le point de l’épicvcloide sphérique pdtîr lequel 011 demande la tangente, est en f' sur le cercle mobile du diamètre BE1; il a pour projection horizontale le point F', et pour projection sur le plan vertical SBE', le point f. La tangente demandée est (art. 4<) perpendiculaire au plan des droites menées du point (F,/) aux ceutres s et B des deux sphères dont chacune contient l’élément d’épicycloide ; or la première droite (SF', sf) rencontre le plan horizontal au point V; la seconde droite passe par le point B; donc le plan des deux droites (SF, s/), (BF', l$f) a pour trace sur le plan horizontal la droite BV, et sur le plan vertical, la droite sB ; donc la tangente demandée a pour projections horizontale et verticale les droites F T, y! respectivement perpendiculaires aux traces BV, iB, et elle rencontre le plan horizontal au poiftt (T, t).

47. Deuxième solution. Soit encore f' le point donné sur l’épicycloîde, dont ta projection horizontale est F'. La tangente en ce point (art. 4i) est la droite intersection de deux plans tangens, l’un à la sphère qui a son centre au sommet (S, s) du cône mobile et du cône fixe, l’autre à la sphère qui a pour rayon

J 6a GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

la droite /'B, et dont le centre est le point de contact B du cercle fixe et du cercle mobile sur lequel se trouve le point f de l’épicycloïde. Le rayon de la première sphère, mené par le point/-', ayant pour projection horizontale la droite SE1, la trace du plan qui touche cette sphere au point f est perpendiculaire à cette droite SF'; de plus. ce plan passe par la tangente/"'/ du cercle f/"'g'E'; or cette tangente coupe le plan horizontal au point / de la tangente B/n du cercle fixe; donc le plan tangent à la première sphère, a pour trace sur le plan horizontal la droite Im perpendiculaire à SF’.

Le plan tangent à la seconde sphère au point f passe par la droite /'N tangente au grand cercle de celte sphère, décrit du point B comme centre avec un rayon égal à fl/"';or cette tangente coupe le plan horizontal au point N de la droite B/n, qui touche le cercle fixe au point B; donc si de ce point N on abaisse une perpendiculaire N p sur la projection horizontale BF' du • rayon V>f\ cette perpendiculaire sera la trace horizontale du plan tangent à la seconde sphère; elle coupe la tracera du plan tangent» la première sphère en un point T delà tangente à lepicycloïde. Doue la droite menée par les points T et F', touche la projection horizontale de lepicycloïde au point F'.

48. Le plan tangent à la seconde sphère au point/', étant perpendiculaire au rayon 15/"', et au plan du cercle mobile B/'g’E', il passe par la droite rpr menée perpendiculairement au plan Be du cercle mobile, par le point E' de ce cercle. Or cette droite epr coupe le plan horizontal au point p ; donc la droite N p est la trace du plan tangent à la seconde sphère, et doit être perpendiculaire à la projection horizontale BF' du rayon qui passe par le point de contact F*. Le plan tangent en /'à la sphère du rayon B/ 'perpendiculaire au plan du cercle mobile, coupe ce second plan suivant la droite /"'E', qui passe par l’extrémité E’ du diamètre BE"; d’où il suit que cette droite est la projection de la tangente h lepicycloïde menée par le point/' surJe plan du cercle mobile.

Le plan tangent à la sphère du rayon B/"' au point f' du cercle mobile B/'G’, est aussi tangent au cône qui a pour base lepicycloïde sphérique, et pour sommet le point rdc la droite &j, où cette droite est rencontrée par la perpendiculaire per à l’extrémité du diamètre Be; ce qui est évident, puisqu'il passe par une tangente à la ligne.qui sert de base au cône. Mais il est important de remarquer que pour une position quelconque Kly du cercle mobile, on a sur ce cercle un point y de l’épicycloïde sphérique, tel que le plan conduit par la droite 3 1, perpendiculairement à la droite yK, qui joint le point y de l’épicycloîde et le point de contact K des cercles fixe et mobile, est tangent au cône qui a pour sommet le point r, et pour base lepicycloïde sphérique. En effet, l'angle K>1 étant droit, le côté >1 de cet angle passe né-

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. i63

eessaiiement par le point I, extrémité du diamètre Kl du cercle mobile; le plan >1 perpemliculairc à la droite située dans le plan du cercle mobile, et par conséquent perpendiculaire à ce plan, passe par la droite qu'on mènerait par le point I perpendiculairement au plan du cercle mobile : or cette dernière droite coupe l’axe &» au point r, puisque ce point r est le sommet du cône droit engendré par la droite er, qui tourne autour de la droite Ssr; donc le plan >1, passant par le point > de lepicycloide sphérique, ainsi que le plan/’E’ passant par le point/' de cette courbe, est tangent au cône qui a son sommet au point r, et dont la base est l’épicycloïde sphérique.

4g. Conclusion. Quelle que soit la position du cercle mobile, on doit distinguer sur ce cercle trois points : I" le point générateur de l’épicycloïdc ; a° le point de contact du cercle fixe et du cercle mobile; 3° l’extrémité du diamètre qui passe par ce point de contact. Ayant élevé par ce dernier point une perpendiculaire au plan du cercle mobile, cette perpendiculaire coupe l’axe du cône fixe en un quatrième point, qui est invariable comme l’inclinaison du plan du cercle mobile, par rapport au plan du cercle fixe; le plan mené, par cette perpendiculaire et par le point générateur de V èpicy cloute sphérique, est tangent au cône qui a pour sommet le quatrième point, et pour hase iépicycloide sphérique.

problème IX. (PI. (A) in-folio, pl. a8 t/t-4*.)

Connaissant les distances d’un point à trois droites, construire ce point?

5o. Solution par /'intersection de trois cylindres. Nommons A, R, C les trois droites données; a, ô,-cJes distances connues du point cherché à ces droites; tous les points qui sont à la distance a d’une droite donnée A, appartiennent à un cylindre droit dont l’axe est la droite donnée, et qui a pour base un cercle du rayon a; la surface de ce cylindre est donc un lieu géométrique du point demandé. Par la même raison, les deux cylindres droits qui ont pour axes les droites B et C, et pour bases des cercles dont les rayons sont respectivement égaux aux distances connues b et c, contiennent le point demandé; donc ce point est déterminé par l’intersection de trois cylindres droits dont on connût les axes et les rayons. Les trois cylindres se coupent deux à deux, suivant trois courbes à double courbure; les points communs à ces trois courbes satisfont aux trois conditions d’êtro aux distances connues a, b, c de trois droites données A, B, C. On démontre par l’analyse que le nombre de ces points, toujours pair, est au plus huit, et au moins deux.

Les données du probtème sont i” les projections horizontales et verticales de trois droites ; a° les distances du point demandé à ces droites. Ces données

i64 GEOMETRIE DESCRIPTIVE,

déterminent les axes et les rayons des cylindres droits, lieux géométriques du point cherché. Pour trouver les lignes d’intersection de ces- cylindres consi» dérés deux à deux, par la méthode exposée (art. 17a, livre 1er), on cherche d'abord leurs traces sur le plan horizontal; ces traces sont des ellipses (A), (B),(C), (pL A, in-folio), dont les demi-petits axes sont respectivement e'gaux aux distances a, b , c du point cherché aux trois droites données; on construit ensuite les grands axes des ellipses de la manière suivante.

. Explication de la pl. (A , in-folio).

5i. Soient (A) A', (B) B', (C) C' les projections horizontales des droites données, et (A), (B), (C) les points où elles coupent le plan horizontal; ces droites font avec leurs projections horizontales les angles A (A) A', B (B) B', C (C) C'. Elevant par les points (A), (B), (C) des perpendiculaires aux droites

(A) A, (B) B, (C) C, et portant sur ces perpendiculaires des longueurs (A) a,

(B) b, (C) c, respectivement égales aux distances données a, b , c, on mène par leurs extrémités a, b, c les droites a*. b&, cy respectivement parallèles aux

- droites (A) A, (II) B, (C) C. Ces parallèles coupent le plan horizontal aux points *, 0, 7 , qui déterminent les demi-grands axes (A) *, (B) £, (C) y des ellipses a«V, fififs', yyy, traces des trois cylindres sur le plan horizontal.

Désignant par les lettres A, B, C les trois cylindres qui ont respectivement pour bases les ellipses aa’a”, /Bâ'/S", yy'y", on trouve :

i° Que les cylindres A et B se coupent suivant une ligne à deux branches, qui a pour projections horizontales les courbes iRaE/|3i, 56D 78DÔ; les projections verticales de ces ; deux branches sont marquées des memes lettres et des memes chiffres, ùli é-d ,

au Les cylindres A et C se coupent aussi suivant une ligne à deux branches, dont les projections marquées des mêmes lettres ou chiffres, sont 1 aGG5C', 3478EF .

3“ Les cylindres B et C se pénètrent suivant une courbe à une seule branche, marquée sur l’un et l’autre plan de projection par les lettres et chiffres i3Ü4H3To784ll’5Si. Ou remarquera qu’il y a deux points doubles sur la projection verticale, et un seul sur la projection horizontale.

Les trois courbes ont huit points communs, dont les projections sont marquées sur les deux plans de projection des chiffres 1, a, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Chacun de ces points satisfait à la condition d’étreaux distances connues des trois droites données. ,

On a choisi les données du problème, de manière que le nombre de solutions fût le plus grand possible; en faisant varier les données, ce nombre pourrait se réduire à G. 4 ou a.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. , i65

■ , Explication de la pl. 18, in-

5a. On simplifierait la solution précédente par le choix des plans de projection. Supposons en effet le plan horizontal perpendiculaire à l’une des droites données; le premier cylindre (A) y sera projeté suivant le cercle de sa base; soit A (fig. i , pl. a8) le centre de ce cercle du rayon donné AB (fig. a); les deux autres cylindres B et C ont respectivement pour ravonsles droites données AC, AD (fig. a).

c La projection horizontale de l’axe du cylindre B étant BB' (fig. i), le plan vertical de projection (fig. a), dont la trace horizontale XY est parallèle à BB', sera parallèle aux axes des deux cylindres A et B. Soient GC, ce les projections (fig. i et a) de l’axe du troisième cylindre; des deux projections des axes des cylindres B et C sur les plans (fig. i et a), on déduira les projections x’H", J'y (fig- 3) de ces mêmes axes sur un plan vertical X’Y’ (fig. 3) parallèle à l’axe (CC‘, cc) du cylindre C. Supposons ce cylindre C coupé par un plan (EFG), dont les traces EF, FG (fig. i et 3 ) sont respectivement perpendiculaires aux droites CC’, y'-yJ' projections de son axe. La section sera un cercle du rayon donné AD (fig. a). Faisant tourner ce plan autour de sa trace horizontale EF, et le couchant sur le plan horizontal , le centre du cercle (d, i) (fig. t et 3) s’applique sur le plan horizontal en D (fig. 4). Ayant décrit de ce point D comme centre , un cercle du rayon DO ou DP = AD (fig. a ), les tangentes ON, PQ à ce cercle, parallèles à CC’, sont les limites de la projection horizontale du cylindre C. Les limites de la projection verticale (fig. a) du même cylindre sont les droites «c, «V, parallèles à cc. Le cylindre B a pour limites de sa projection verticale (fig. a) les droites kk", IT parallèles à la droite bb et distantes de cette droite de la quantité bk' ou U , égale à AC (fig. a ). Les limites de la projection horizontale du même cylindre sont les parallèles HH’, IF (fig. i), à la droite BB’, distantes de cette droite de la quantité BH ou BI égale au rayon AC (fig. a). Le cylindre A a pour limites de sa projection verticale les verticales tO, t'V qui sont parallèles à la droite ad (fig. a), et se projettent sur le plan horizontal ( fig. l ) aux points T et T.

Ayant rapporté les trois cylindres A, F, C aux quatre plans^g. i, a, 3,4, on projette la courbe d'intersection des cylindres A et B sur le plan incliné (fig- 4) de la base du cylindre C; et pour obtenir la projection de cette courbe a double courbure, il est nécessaire de projeter une section circulaire du cylindre B sur le plan vertical X Y' (fig. 3). On prend pour cette section le cercle du rayon k'I (fig. ») qui se projette sur le plan horizontal

(J îg . i) suivant l'ellipse K.LIH, et sur le plan vertical (fig. 3) suivant Uêllipse klih, dont l'on des axes principaux est dirigé suivant la droite x'fl", projection de Taxe du cylindre II.

Une autre opération préliminaire qui n’est pas moins nécessaire, consiste à projeter ce même axe du cylindre B sur le plan incliné de la figure 4 s on prend sur cet axe deux points (B, /3*), (N, «’) (Jig. i et 3), et de chacun de ces points on abaisse une perpendiculaire sur le plan (EFG). Les pieds de ces perpendiculaires n {/îg- 3), ramenés (Jig. 4) eti rn et n sur les parallèles B m, N n (/îg- i) à la droite CC’, déterminent la projection rnn de Taxe du cylindre B sur le plan de la fig. Cela posé, on coupe les deux cylindres (A) et * (B) par une suite de plans verticaux parallèles à leurs axes ou à la droite BB' (fig. i), et on projette les droites contenues dans ces plans sur le plan de la fig. 4 ; leurs projections se coupent en des points, et le lieu de ces points forme (/îg. 4) la courbe ia3....8, qui coupe le cercle du diamètre ODP en huit poinls, projections des huit points communs aux trois cylindres, sur le plan (fig- 4 ) de la base du cylindre (C). Les projections des droites du cylindre A sur ce plan, sont perpendiculaires à la droite EF, et les projections des droites du cylindre B sont parallèles à la droite rnn; ainsi la projection i a 8 de la courbe d'intersection des deux cylindres A, B sur

le plan incliné (Jig. 4) se construira par la même méthode qu’on a suivie (art. 17a, livre Ier) pour trouver la projection de cette courbe sur un plan horizontal ou vertical.

Les projections horizontales des points communs aux trois cylindres, sont nécessairement sur le cercle du diamètre TAT (fig. 1), base du cylindre A,

et sur des perpendiculaires abaissées des points 1 , a , 3 8 (/‘g- 4) sur la

droite EF, lesquelles coupent le cercle TAT’ en huit points marqués également des chiffres 1, a, 8. Les huit points de l'espace déterminés par leurs

projections ( fig. 1 et 4). satisfont aux conditions du problème, d’être à des distances données de trois droites dont la position est aussi donnée; et si Ton demande les projections de ces points sur l’un des plans verticaux (fig. a „ et 3), on fera pour chacun les opérations que nous allons indiquer pour le point (4, 4). C fig- « et 4).

On portera 4$ (fig- 4)> distance du point 4 à la trace horizontale ÉF du plan (EFG), sur FG (fig. 3) de F en 4’- La parallèle 4 4 * à Pfi et la perpendiculaire 44’4' à X’Y' (fig. 3) se coupent au point t\ (fig. 3), distant de l’horizotitale X Y de la hauteur verticale 44"- Portant cette hauteur sur la perpendiculaire 444 " à XY ( fig a ), de 4 en 4"’, les points 4 et 4' sont (fig . a et 3) les projections verticales du point (4, 4). (fig- » et 4).

Les arêtes des trois cylindresqui se rencontrentau point (4, 4"»y%- • et a),

onl pour projections verticales (fig. a) les droites 4"4» 4”/’> 4"’» respectivement parallèles aux projections verticales ad, bb', cc'tdes axes des trois cylindres. La parallèle 4 *V à A4' coupe le cercle du diamètre k l au point s, qui se projette sur le plan vertical (Jig. a) en r, et sur le plan horizontal (fg. 1 ) en S; la distance SR de ce point S à la droite BB', est égale à l’ordonnée rs du cercle.

53. Dans la première solution du problème par Tintcrscction de trois cylindres, on a construit les projections de deux courbes à double courbure; la solution que nous venons d’exposer est plus simple, puisque la projection d’une seule de ces courbes, ët un cercle d’un rayon donné , déterminent les points communs aux trois cylindres.

Ayant trouvé l’intersection des deux cylindres A et B, et l’ayant projetée sur le plan {/ îg . 4) perpendiculaire à l’axe du troisième cylindre, on peut disposer de la grandeur du rayon de ce dernier cylindre et de Ja position de son centre, pour obtenir le plus grand nombre de points communs aux trois surfaces cylindriques. Ces trois surlaces étant de^-évolutiou, on pourrait encore trouver les points qui leur sont communs, en cherchant les points de rencontre de l’un des cylindres et de la ligne d'intersection des deux autres (art. aoi, liv. Ier \ Nous appliquerons cette méthode à la solution des deux problèmes suivans.

pnonLÉUK X- ( PI. aq. )

On donne sur une carte topographique trois points d’un terrain. Un observateur se transporte successivement à ces trois points, muni d’un /il à plomb et d’un instrument tel qu’un graphomètre, propre à mesurer les angles.' Il mesure les angles que les verticales menées par les trois j saints font avec les rayons visuels dirigés de- chacun de ces points vers un quatrième; ces angles étant connus , on propose de rapporter le quatrième point sur la carte,- et de M- trouver sa cote, c'est-à-dire sa hauteur au-dessus du plan horizontal tu/quel . on rapporte tous les points du terrain ?

54. Solution par l'intersection de trois cônes droits. Désignons par les'lettres A, A’, A' les trois points connus sur le terrain et sur la carte; V, V', V' les trois yerticales passant par ces points. Nommons a, à, a" les angles des verticales et des rayons visuels menés des points A, A’, A' vers le quatrième point du tei*rain, qu’il s'agit de rapporter sur la carte. Si l’on considère le cône droit dont le sommet est au point donné A, qui a pour axe la verticale V, et dont le côté fait avec l’axe l’angle a, tous les points de la surface de ce cône satisfont à

«ÛS GEOMETRIE DESCRIPTIVE,

cette condition, que le rayon visuel dirigé de l’un quelconque de ces points vers le point A, fasse- avec la verticale V l’angle donné a; d'où il suit que cette surface conique est un lieu géométrique du point demandé. On démontré de la même manière que ce point a pour lieux géométriques deux autres cônes droits , qui ont pour axes les verticales V', V' menées par les points B et C, pour sommets ces points, et dont les côtés font respectivement avec les axes les angles donnés b et c. Le point demandé est donc l’intersection de trois cônes droits, dont les axes sont verticaux, qui ont pour sommets trois points donnés , et dont les côtés font avec les axes des angles connus.

Considérant ces cônes deux à deux, et les coupant par un système de plans horizontaux qui donnent pour sections de l’un et l’autre cône, des cercles, on trouvera par cette méthode ou par collé qui a été exposée (art. 179, liv. 1er), la courbe d’intersection des deux cônes, tant en projection horizontale qu’en projection verticale. Les points communs aux trois courbes qui résultent de la pénétration des trois cônes satisfont aux conditions du problème.

Explication de Ut planche ay.

55. On prend pour plan horizontal de projection le plan de la carte topographique, et pour le plan vertical, un plan parallèle à la droite qui joint deux des trois points donnés. Soient A , B, C (Jig- 1) les projections horizontales de trois points connus sur le terrain; les cônes de ces points, ou leurs distances au plan horizontal étant données, leurs projections sur le plan vertical XV seront aussi données. Soient a, b,< ces projections; les cotes des points donnés sont, d’après l’échelle de la carte, égales aux longueurs des verticales A’a, B b. Ce. ,

Lu observateur placé au point (A*, a) dirige un rayon visuel vers le point donné sur le terrain, point qu’il s’agit de rapporter sur la carte, et il mesure l’angle a (Jig . a), que la verticale du point ( A , <z ) fait avec le rayon visuel. Deux autres observations semblables donnent les angles b, c (f îg . a), que les * verticales «les points (B, A), (C, c) font respectivement avec les rayons visuels dirigés vers le point du terrain dont on demande la position sur la carte. Ces trois observations déterminent les trois surfaces coniques droites, qui sont les lieux géométriques du point cherché. Ces cônes n’ont point d’arêtes parallèles; d’où il suit (art. i85, liy. Ier ) que leurs lignes d’intersections sont des courbes fermées : ces lignes sc rencontrent en des points qui satisfont aux conditions du problème.

On construit la ligne d’intersection des deux surfaces coniques qui ont pour sommets les points (A, a), (B, A), en les coupant ou par un système de plans

qui passent par la droite (AB, ab ) qui joint les deux sommets* on par des plans horizontaux qui rencontrent les' deux surfaces suivant des cercles. Cette ligne d’intersection se compose de deux branches dont les projections sont DEFG et LMÎÏO sur le plan horizontal, et defg, l/nno sur le plan vertical. La droite AB divise en deux parties égales les courbes fermées DEFG, LM N O; chacune de ces courbes correspond sur le plan vertical à une autre courbe de/g ou l/nno, qui n’est pas terminée, et dont un point quelconque, tel que n, est la projection verticale de deux points de la ligne d'intersection des deux cônes, qui se projettent sur le pjau horizontal en N et N’.

56. Seconde solution. ( Même planche . 29.) Des trois surfaces coniques qui se pénètrent, la troisième qui a pour sommet le point donné (C, c), étant comme les deux premières, une surface de révolution dont l’axe est la verticale (C, C',cc'), on trouve (art. 201, Iiv. Irr) le point commun aux troissurfaces, par la considération d’une quatt&me surface de révolution, qui a pour génératrice la ligne d’intersectiou des deux premières surfaces, et pour axe la , droite (C, C'cc' ). Le plan vertical PCQ rtiené par cet1 axe, parallèlement au plan vertical de projèétion XY, coupe la quatrième surface de révolution, suivant les courbes de/' g, l'tn'n'd, et leurs égales d'’c/"g\ l’/nno’ placées symétriquement par rapport à l’axe C’cc : or la droite cp ou cq génératrice du troisième cône, qui fait avec la droite C'ct'Vl’angle Cep égal à l’angle donnée a)> c°upe la section méridienne de la surface de rqpolution auxiliaire, aux quatre points e, g, ai , n; donc si l’on mène par ces points quatre horizontales qui rencontrent les courbes defgflmno aux quatre poÿits c, g, o, r/y» «eux-ci seront les projections verticales des quatre points qui satisfont aux conditions du problème. Pour avoir les projections horizontales E, G, O, N correspondantes, on abaissera du point n, par exemple, la perpendiculaire «NX sur la droitç XY intersection des deux plans de projectif Cette perpendiculaire rencontre la courbe IJMNO en deux points N, N’, dont les distances au point. C sont respectivement GN, CN\ Le premier N correspond à la projection verticale n de l’un des points»cherchés, parce que sa distance CX à l’axe (C, C’cc’) est égale à la droite uri, qui mesure la distance du point n à la droite C’cc’.- Le point N’ ne peut pas être la projection horizontale du point cherché, dont n est la projection verticale, parce que la droite CN’ est plus petite que la droite un.

Le problème proposé a au plus quatre solutions, et d’après les données de la figure///. 39, les quatre points qui satisfont aux conditions de ce pro-

• . blême, sont (E, e), (G, g), (O, o), (X, n).

y * . tffy’ i jyff