PROBLÈME XI

1 0 Étant donnés un point et deux droites dans l’espace, mener par le point, un plan qui coupe les droitesen deux autres points, tels que les trois points soient les sommets d’un triangle semblable à un triangle donné ? 1° Résoudre cette question dans le cas particulier où les deux droites données se rencontrent?

Ce problème comprend celui-ci (problème XII, art. 63) :

Connaissant dans une pyramide triangulaire la base et les angles des arêtes opposés aux côtés de la base, construire le sommet de la pyramide? (Voyez la

Notice historique sur ce problème , à la' fin du livre II.)

.Première partie du problème. ( Fig. A, pl. 3o. )

57. Solution. Soient (fîg- A en perspective ) FD, (F)(E) deux droites quelconques données dans l’espace, et (Z) un point aussi donné; il s’agit de mener par ce point un plan qui coupe les droites FD, (F)E en deux autres points X, (Y) tels que le triangle X(Y)(Z) soit semblable à un triangle donné : nommant à,b,c les côtés de ce triangle, il faut qu’on ait :

Du point (Z) on abaisse les perpendiculaires (Z)D, (Z)(E) sur les droites .données FD, (F)(E); ayant mené par la droite FDX un plan parallèle à la droite (F)(E)(Y), on a projeté sur ce plan le point donné (Z), et sa projection-est le point z. On a projeté sur le même plan la droite (F)(Y), et sa projection FY lui est parallèle. Considérant le plan de projection FXY comme horizontal,^) droite (Z) z est verticale, et les deux droites (F)(Y), FY sont dans un plan vertical dont la trace horizontale est FY. Des droites (Y)Y, (E)E, (F)F sont les verticales qui projettent les points (Y), (E), (F) de la droite donnée* (F) (Y); I4 droite (F)F est la plus courte distance des deux droites donnée* FD, (I')(E). ,

Le côté (Z)X du triangle cherché (Z)(Y)X n’étant pas connu, supposonsle égal à une droite V prise arbitrairement; les deux autres côtés (ZXY),

(Y)X seraient dans cette hypothèse -j 1 '■ considérons le point (Z) fig. A

comme le centre de deux sphères des rayons V, — , et le point X comme le centre d’une troisième sphère du rayon — ; la première coupera la droitéf donnée FX au point p dont la distance an point (Z) est (Z) p— V ; la seconde

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ,r,

• ' -» * sphère coupera la droite donnée (F/Y) au point (?) tel qu’on ait : (Z) q—~- :

la troisième sphère coupera la même droite (F)(Y) au point (?). '

Les points (?) et (r) étant connus sur la droite (F/Y), leurs projections horizontales? et r seront déterminées. Si la droite (T)p prise arbitrairement eût été égale au côté cherché (Z)X, le point (?) n’aurait pas différé du point (r); ces deux points auraient été réunis en un point unique (Y), et par la même raison, les projections ?, r, Y se seraÿnt confondues; d’où il suit qu’en construisant les deu* parallélogrammes Dpqi/i , D pm, le premier sur les trois points connus D, p,q, le second sur les trois points D, p, r , les sommets ni et « devraient se confondre. Faisant varier la première droite (Z )p, on construira des points analogues à (?) et (r), et deux nouveaux parallélogrammes qui auront pour sommets deux points m‘ n\ qui appartiennent à deux lieux géométriques, l'un la courbé Mmm', lautre la courbe MW. Ces deux courbes (*) tracées sur le plan horizontal se rencontrent au point M, par lequel on mène la droite MY parallèle à FD, qui coupe la droite donnée FE au point Y. La verticale Y (Y) coupe la seconde droite donnée (F/E/Y) au point (Y), l’un des sommets du triangle /Z/Y/X); ce qui déterminée côté (Z)(Y),de ce triangle, et par conséquent les deux autres côtés (Z)X, X(Y) de ce même triangle. En effet tirant la droite DM, et sa parallèle YX qui coupe la droite donnée FD au point X, on aura les trois sommets X, (Y), (Z) d’un triangle semblable au triangle formé par les trois côtés donnés a, b, c.

58. Supposons maintenant que les deux droites données FD, (F)(E) (Jig. A, pl. 3o), se rencontrent, ou que la seconde droite(F/E) se confonde avec sa prj jection FE, alors les pieds (E), (Y) des perpendiculaires abaissées du point (Z) sur la droite donnée (F)(E), ne diffèrent pas de leurs projections E, Y; la plus courte distance F (F) des deux droites devient nulle, et ces droites comprennent entre elles l’angle DFE. Joignant le sommet F de cet angle et le point donné (Z) par la droite F(Z), on forme la pyramide FXYZ, dont le sommet est en f, et dont la base XY(Z) est un triangle semblable à un triangle donné. Développant l’angle trièdre F de cette pyramide sur le plan de la face XI- V, on aura Jig . B ,pl. 3o) pour les deux autres faces adjacentes, les angles ZFY,Z*FX. Un plan mené par le point Zou Zl“ coiipe la pyramide suivant un triangle qui a pour côtés les droites ZY, YX, XZ*; on demande que ce triangle soit semblable a un triangle donné. Pour résoudre çette question, il faut construire sur le plan de l’angle DFE (Jig. B), les deux courbes Mnvri, M un' de la figure perspective A.

C) M- Kn|no de Naples a le premier démontré cpie. cbucune de ces courbes était une hyperbole. jnycx la notice historique à U fin du fivre IL) •

, Deuxieme partie du problème. ( Fig. B, B. n° 1 , pi. 3o. )

.'>9. Solution de cette question : Étant donnés un angle trièdre et un point sur l’tuie des trois droites intersections des plans qui forment cet angle, qn propose de mener par le point donné, un plan qui coupe l'angle trièdre suieant un triangle de similitude donnée. * — v” •

Soit (pl. 3o, Jig. B)XFY l’un des Sigles qui forment l’angle trièdre; les deux autres angles adjacens YFZ, XFZ1", étant développés sur le plan du premier qu’on suppose -horizontal, les deux droites F Z, FZ1"1 se réunissent,

• lorsque l’angle trièdre est formé, sur. une seule droite dont la projection horizontale est F;; le point z de cette projection est déterminé (page 139) par la rencontre des deux perpendiculaires ZEz.ô^’Dz abaissées des points Z, Zl“ respectivement sur les droites données F Y, FX. Prenant pour plan vertical de projection, celui dont la trace horizontale est xy (Jig. B. n° 1) parallèle à

* FX, le point Z ou Z** du développement de l’angle trjèdre a pour projections 4 horizontale et verticale, les points z, Z'.

La question à.résoudre-consis/ô â mener par le point donné (z, Z’) de la * % droite FZ, ou FZ'", un plan qui coupe les deux droites FX, FY en deux points X.et Y, tels que les trois droites XY, YZ, XZUl soient les côtés d’un triangle semblable à un triangle donné; l’un de ces côtés est la droite XY tracée sur le plan horizontal; les deux autres côtés ont pour projections horizontales les droites Xz, Y*- F» supposant le problème résolu, les trois points connus D, X, Y déterminent un parallélogramme DXYM, et le point M sommet de l’un des angles de ce parallélogramme. Ce point M a pour lieux géométriques deux courbes mtnmy nnn tracées sur le plan de l’angle YFY, que nous 1 construirons en faisant varier l'un des côtés du triangle (XYz, a^Z j.par exemple le côté (Xz, jtZ’). - *' • ' . .

Désignons par v le côté variable, et supposons qu’il soit l'homologue du côté a du'trianglc donné, dont les deux autres côtés sont b et c. Les trois côtés

d'un triangle t semblable bu triangle donné T étant v, ~ , — , 011 vérifiera si le

triangle t qui a l’un de ses sommets en un point déterminé (z, Z ) peut avoir ses deux aptres sommets sur les droites données FX, FY. Pour faire cette vérification, on considérera le point‘(z, Z’) comme le centre de deux sphères des

rayons v et , qui couperont, Finie la droite FX au point p, l’autre la droite

l'Y au point q. Du point p comme centre avec un rayon égal à -, on décrira un arc de cercle qui coupera la droite FY, en un point r; la coïncidence des

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. * i73

points q et r n'a lien que lorsque le cytg v est égal à la droite (zX, 7.x). Construisant sur les trois points D ,p,q et I), p, r comme sommets d’angles, deux parallélogrammes, ils auront pour quatrième sommet, le premier un point m de la courbe nun'in"...., le second un point n de la courbe nn'n ; chacune de ces courbes étant le lieu géométrique du sommet M du parallélogramme DXYM, ce sommet est déterminé par l’intersection des deux courbes (*).

• Connaissant le point M, on tirera la droite MD qui joint ce point, et le point connu D de la droite FX; ensuite on mènera la parallèle MY à FX, qui Coupera la droite FEV au point Y. La parallèle YX à DM coupera la droite FDX au point X, et ou aura un triangle ( XYz, xyX ) semblable à un triangle donné, dont les trois sommets seront placés sur les trois droites intersections des trois plans qui forment l’angle trièdre donné.

Go: Supposons maintenant qu’il faille placer dans un angle trièdre un triangle donné T, on y placerait d’abord un triangle I semblable à oelui-là, qui aurait son sommet en tin point déterminé de l’une des arétes île l’angle triedre; considérant ce triangle t comme la base d’une pyramide triangulaire, la question proposée sc réduit à couper cette pyramide par un plan parallèle à sa base, do manière- que la section bit un triangle donné T. Pour compléter cette solution, il faut examiner en combien de manières on peut -placer un triangle donné dans une pyramide, dont on connaît l’angle trièdre opposé à. ce triangle.’ -

6t. Étant données les trois faces d’une pyramide, et faisant abstraction des , angles supplémentaires de ces faces, il n’y a que deux manières de placer le triangle T; ayant construit (art. ta) l’angle trièdre avec les trois (aces données, le triangle T pourra se placer dans cet angle, ou dans l’angle symétrique de celui-là, et on aura deux pyramides de mémo sommet, comprises entre les mêmes plans, dont les bases opposées seront deux triangles égaux T et T'. Mais si l'on considère les angles plans qui forment un augle trièdre, et r les snpplémeus de ces angles plaus, nous allons démontrer que l'angle trièdre peut se construire de huit manières différentes; chacun des huit angles trièdres ayant son symétrique, il s’ensuit qu’en général un triangle T peut être placé de seize manières différentes dans un angle trièdre, ainsi qu'on l’avait démontré depuis long-temps par les solutions algébriques.

Considérons l’angle trièdre formé par les trois angles plans A, U, G; les plans de ces angles prolongés indéfiniment se coupent suivant trois drmtes,

- n Chacune de cei courbes est une hyperbole, comme dans le cas général traité par M. Bruno. (To/vç la notice historique, à la fin du livre IIÎ) * .. ^ .

A if

et divisent l’espace en huitxangles trièdres, dont quatre sont respectivement les symétriques des quatre autres. Iæs quatre premiers sont formés par les. angles plans A, B, C et leurs supplémens combinés trois à trois dans l'ordre suivant (E) : *

Chacun des quatre angles trièdres, correspondant à ces combinaisons, a . son symétrique.

Les trois angles plans A’, B’, Ç et leurs supplémens A, B, C donnent de même les quatre combinaisons suivantes (E1) :

. * * - Les quatre angles trièdres (*) correspondans à çes dernières combinaisons

ont au$si leurs symétriques; d'où il résulte que la combinaison de trois anglés plans A, B, C et de leurs supplémens, produit $ei2e angles trièdres dans lesquels on peut placer un triangle donné T.

Ga. La solution que nous venons d’cxposcr.cst fondée sur la considération de certains lieux géométriques, que plusieurs géomètres ont nommés courtes d'erreurs.. Ces courbes ne résultent pas de l’intersection de surfaces définies, par des plans ou par d’autres surfaces counues. On s’écarte moins des procédés ordinaires de la géométrie descriptive, en traitant la seconde partie du problème (art. 5g), par la méthode que nous suivions dans nos cours à l’École polytechnique, qui consiste à chercher le sommet d’une pyramide triangulaire dont on connaît la base et les trois angles des arêtes opposés aux côtésde cette base, par l'intersection de trois surfaces annulaires.

PROBLKME XII.

Connaissant dans une pyramide triangulaire la hase et les angles des arêtes opposés aine côtés de la base, construire le sommet de la pyramide ? [ Plan- * ches in-folio (B) et (C). ]

, G3. Solution par l'intersection de trois surfaces annulaires. Désignons par A, B, C les trois cùtés du triangle base de la pyramide, et par a, b, c les

(*) La distinction des deux angles trièdres formés par Ica trois angles plans A, B , C , ou par leurs supplémens A', B', C , et la considération des six autres angles trièdres compris entre les mêmes plans, font voir pourquoi la solution algébrique ne dépend (l’oses la notice, S la fin du livre II J que d'une équation du quatrième degré, quoique le problème soit susceptible de seiae solutions; l'équation finale se rapporte aux quatre combinaisons (Et ou (E1.'.

angles que les arêtes font entre elles, et qui sont respectivement opposés aux trois côtés; on décrit sur chaque côté de la base, sur A par exemple, un cercle qui est divisé par ce côté en deux segmens, dont chacun est capable de l’angle a ou de son supplément. Ce cercle, en tournant autour du côté A, engendre une surface de révolution, dont chaque point jouit de la propriété, quç les droites menées de ce point aux extrémités du côté du triangle base de la pyramide, comprennent entre elles un angle égal à l’angle donné ou à son supplément; d'où il suit que la surface de révolution est un lieu géométrique du sommet de la pyramide. Mais les cercles décrits sur les côtés B etCcomme cordes, et divisés comnTe le premier cercle, en deux segmens capables des angles b et c et de leurs supplémens, engendrent en tournant autour de ces côtés deux autres surfaces de révolution, qui sont encore les lieux géométriques du point demandé; d’où il- suit que lorsque les trois surfaces de révolution se rencontrent, cliacnu des points communs aux lignes d’intersections peut être pris pour le sommet de la pyramide.

Explication des figures, pi. B et C in-folio. . „ * ,

6/|. Soit XYZ (pl. B, fig. 1) le triangle hase de la pyramide, et a, b, c, {fi g. 3) les angles des arêtes respectivement opposés aux côtés XZ, ZY, YX ; on décrit sur le côté XZ un cercle, dont le segment XFZ est capable de l’angle donné a; l’autre segment X/Z est capable du supplément du .cet. angle. Le cercle, en tournant autour de sa corde XZ, engendre la surface dite annulaire, qui est un lieu géométrique du sommet de la pyramide. Preuant pour plan horizontal de projection le plan du triangle XYZ, la limite de la projection horizontale de la surface annulaire est formée 1° de deux demi-cercles égaux AFD, BEC, a° de deux parallèles AB, DC, tangentes à ces demi-cercles, et perpendiculaires au côté XZ. Toutes les lignes de la Surface projetées sur le plan horizontal, sont renfermées dans la fig. ABECDF. ' •

Les cercles décrits sur les côtés ZY et YX, capables des angles donnés b, c {fig- 3), engendrent deux autres surfaces de révolution, qui sont, comme la première, les lieux géométriques du sommet de la pyramide. Les limites de leurs projections horizontales sont également^formées de deux demi-cercles égaux, et de deux parallèles tangentes à ces cercles, qui sont respectivement perpendiculaires aux axes de révolution ZY, YX.

La méthode que nous avons exposée (art. 189, liv. Ier) pour trouver l’intersection de deux surfaces de révolution, dont les axes se rencontrent, s’ap plique au cas particulier que nous examinons, puisque les axes des trois surfaces de révolution que Ton considère, sont les trois côtés d'un triangle

XYZ {Jig. i). On trouvera par cette méthode que les surfaces dont les axes XZ, XY se rencontrent au point X, se pénètrent suivant nne ligne dont la projection horizontale est une courbe qu’on distingue {Jig. i) par un traité points ronds, et qui passe par les points X, i, a, E', ié, g, 3, 4, X, «, 3, 5, a.’, 6, F’, |3, e, X. Les cinq points X, E', g, F’, e sont déterminés par les interjections des cercles générateurs des deux surfaces de révolution;», « sont les deux points de contact de la courbe et des parallèles AB, CD perpendiculaires à l’axe XZ. Il y a encore un point .«' de la courbe, voisin de », sur la droite XK tangente aux deux domi-cerdes décrits sur, les droites KL, MN parallèles à l’axe XY, comme diamètres. Les points i, a, 3, 4, 5, G sont les projections horizontales des points d’intersection des trois surfaces de révo- i

lution. i ' ‘

65. Chaque surface de révolution peut être regardée connue composée de deux happes, qui sont l’qne et l’autre de révolution, et qui ont pour génératrices les deux segmens d’un cerde, séparés par une corde de ce cercle.

Pour distinguer la nappe engendrée par le plus petit segment, de la nappe engendrée par le plus grand, nous appellerons la première, nappe intérieure, et l’autre nappe extérieure. L’intersection de deux surfaces résulte de l’intersection des différentes nappes qui se combinent entre elles, Les nappes extérieures, d’une part, et les nappes intérieures, de l’autre, se coupent suivant une branche de courbe fermée, dont les projections peuvent être engendrées d’un mouvement continu par un point mobile. 11 en est de même de la branche de courbe qui résulte de la combinaison de la nappe extérieure ou intérieure de l’une des surfaces, avec la nappe intérieure oü extérieure de' l’autre surface. Ces deux combinaisons donnent une seule courbe qu’un point mobile peut suivre sans discontinuité ;YV où il suit que la ligne d’intersection des deux surfaces est composée, de deux brandies fermées, dont les projection# sur un plan UY {Jig. a) perpendiculaire à l’un des axes, k XY par exemple, sont séparées : les projections de côsdeux branches sur le plan de la base XYZ (Jig. i) de la pyramide, se réunissent en une seule coaYfte.

66. Les deux nappes intérieures {Jig. i , pL B), qui ont pour axes les côtés XZ, XY', se coupent suivant une ligne dont la projectiôn horizontale est la portion de courbe X43efE'Y; or la partie E 'J'g de cette courbe, qui se termine aux points E', g, est en dehors des limites de la projection horizontale des nappes intérieures; donc cette portion de courbe ne correspond point à une , partie réelle de la ligne d’intersection des deux surfaces. 11 en est de même de la portion de courbe F'/3e qu’on trouve en dehors de la limite de la proi

GÉOSlfCRIE DESCRIPTIVE. 177

jeetion horizontale d'une nappe extérieure de la surface de révolution, qui a pciur axe le côté XY; et en effet, projetant la ligne d’intersection des deux surfaces de révolution, qui ont pour axes les droites XY, XZ, sur le plan UV perpendiculaire frlflUn de ces axes XY, on obtient" (y/jg. a) la courbe aux six points 1, 2, 3, 4, 5, 0, dont le trait ponctué rond est le même que dans la projection horizontale. Cette courbe est composée dé deux branches séparées, dont chacune a un nœud. La première branche est isieVxe'xr ; la seconde branche est x43*eVx56eVx, et il n’y a aucune partie de ces deux branches} qui corresponde aüx portions E Sg, Fée (/%. 1) de la projection horizontale.

On reconnaîtra de la même manière que les deüx surfaces de révolution qui ont pour axes les côtés XY, YZ, se coupent suivant une ligne qui comprend deux parties, dont les projections horizontales sont U*p,o/jg (fig. 1), et qui n’ont pas de projections verticales.

Tout Ce qui est relatif à l'intersection de ces deux surfaces- est indiqué par un trait long, suivi d’un seul point rond— — . — , et tout ce qui est relatif k l’intersection des deux surfaces de révolution qui ont pour axes les droites

YZ, ZX, est indiqué par un trait long, suivi de trois points ronds — — —

Cette dernière intersection comprend aussi deux parties, dont les projections horizontales sont üf/J P4P' (J' g- t, pi- et qui n’ont point de projections verticales (fi g. 2). • ’’ , '

67. Les trois lignes qtii résultent de l’intersection des trois surfaces de révolution, considérées deux à deux', se rencontrent aux points marqués des chiffres'!-, 2, 3, 4> 5,6, sur les projections horizontale et verticale; chacun de ces points en projection horizontale correspond k deux points en projection verticale, qui sont à égales distances du plan DV ( /ig. 2), ou du plan du triangle donné XYZ (/ig. ?). Les six points situés au-dessus du plan UV déterminent six pyramides qui satisfont aux conditions du problème, et les six points situés au-dessous déterminent les six antres pvranfldes symétriques par rapport aux premières; les douze pyramides ont pour base commune le triangle XYZ.

68. Lorsque des points sont déterminés par les intcrsçctions de trois surfaces, la considération de ces trois surfaces n’est pas nécessaire. En examinant la question sous un autre point de vue, les mêmes points peuvent appartenir à trois autres surfaces différentes des premières : le problème dont nous venons de donner la solution graphique en offre un exemple. On connaît . dans une pyramide triangulaire la base, et les angles des faces de cette pyramide qui sont opposés aux côtés de la base;il est facile (art. 1 2) d’en déduire les anglesdièdres. Soient A, D, C, les trois côtés de la base ; on connaît l’angle

,78 GÉOMÉTRIE DESCRl'PTÎVE.

dièdre qui comprend deux de ces trois côtés, par exemple A et B; donc si i’on a deux plans, faisant l’un par rapport à l’autre un angle invariable (*), égal à l’angle dièdre connu, et si l’on fait mouvoir ces deux plans, en les assuj»;tissant à passer constamment par les côtés A et B, la droite intersection des deux plans mobiles engendrera un cône qui aura pour sommet le point d'intersection des deux côtés A et B ; or il est évident que la surface de ce cône contient le sommet de la pyramide; donc ce sommet est le point commun à trois faces coniques, qui ont pour sommets les points de rencontre des trois côtés A, B, C de la base de la pyramide.

69. Ayant construit sur les trois côtés du triangle qui sert de base à la pyramide, les cercles générateurs des trois surfaces de révolution, qui, par leur intersection, déterminent (art. 63) le sommet de la pyramide, qu’on se représente la ligne d’intersection de deux quelconques de ces trois surfaces, de celles, par exemple, qui ont pour axes de révolution les deux côtés A et B, de la base, C étant le troisième côté. Cette ligne, en tournant autour du troisième côté C, engendre une quatrième surface de révolution, sur laquelle se trouvent les points communs aux trois premières surfaces. Mais deux surfaces de révolution qui ont même axe, et qui se pénètrent, ne peuvent se couper que suivant un cercle; donc.la troisième et la quatrième surface de révolution se coupent suivant un cercle qui contient le. sommet de la pyramide. Poilr trouver un point de ce cerclé, il suffit de couper ces deux surfaces par ' un plan méridien quelconque, et ce plan y>eut être celui de la base de la pyramide, ou des trois côtés A, B, G de cette base; les points communs aux courbes génératrices contenues dans ce plan, déterminent les cercles communs aux deux surfaces.. La courbe génératrice de la troisième surface est le cercle, qui passe par les extrémités du côté C, et dont un segment est capable de l’angle donné opposé à ce côté G- Quant à la courbe génératrice de • la quatrième surface, qui est située dans un plan méridien passant par I axeC, on la construit #h remarquant* que chaque point de la courbe d intersection des deux premières surfaces, est le sommet d’une pyramide qui a pour base le triangle formé par les trois côtés A, B, C, et pour arêtes, des cordes qui déterminent sur les cercles générateurs des deux surfaces de révolution des arcs capables des angles a, b opposés aux côtés A et B.

On a vu (art. 67) comment on détermine les sommets des pyramides par

(*) t'ai démontré que lorsque cet angle est droit, le cône, lieu géométrique de» intersections successives des deux plans mobiles, est un cône oblique à base circulaire, qui est coupé par des plans perpendiculaires aux côtés de l'angle, suivant des cercles. ( Voyei U Correspondance stti l'École polytechnique, tome I", page 179, o» 6.)

GÉOMÉTRIE DESiTJUPTlVE. 179

l’intcrscction de deux, courbes à double courbure; la solution que nous venons d’indiquer est préférable, puisque les courbes à double courbure sont remplacées par deux lignes planes dont l’une est formée de deux cercles égaux, qui ont pogr corde commune uq côté donné de la base de la pyramide. Regardant le rayon de ces cercles comme une quantité indéterminée, on l’augmente ou on le diminue, jusqu’à ce que ces cercles coupent la section méridienne de la" quatrième surface de révolution en seize points. Le nombre de solutions ne dépend plus que de ce rayon, ou du troisième angle des a retende la pyramide, qui détermine sa longueur; alors le problème proposé est ramené à celui-ci : Trouver la section méridienne d'une surface de révolution dont on connaît l'axe et une ligne génératrice. Cette question est résolue sur la planche C in-folio, dont on va donner l’explication.

Explication de la planche C in-fblio.

70. Ayant pris pour plan de projection celui du triangle XZY,basc donnée

de la pyramide, on décrit sur les côtés-XZ, ZY, des cercles dont les segmens sont capables des angles des arêtes de la pyramide, opposés à ces côtés. Les cercles, en tournant autour des côtés comme axes de révolution, engendrent deux surfaces'dont on construit la ligne d’intersection par la méthode exposée (art. 189, liv. I"); cette ligne est la génératrice de la quatrième surface de révolution, dont l’axe est le troisième côté XY de la base XYZ; elle est formée (art. 65) de deux branches, l’une qui résulte de l’intersection des nappes dé surfaces engendrées par les grands segmens XFZ, ZOY, et des nappes engendrées par les petits segmens Xfz, Z oy; l’autre qui résulte de l’intersection des nappes engendrées par un grand segment XFZ et un petit segment Z oy, ou par un grand segment ZOY et un petit segment Xfz.

Les deux branches, en tournant autour de l’axe XY, engendrent deux nappes de la quatrième surface ^ de révolution, dont les sections par le plan du triangle XYZ sont les courbes ACDZ, ou 13345678; et A’C B'Z, ou 1 '■a'3’4'5’6’7'8’; ces courbes sont divisées en parties égales par l’axe XY, qui les coupe à angle droit.

La section méridienne de la troisième surface de révolution comprend deux cercles XYGg, XYG’g', dont les segmens sont capables de l’angle des arêtes de la pyramide, opposé au côté XiY de la base XYZ. Or ces deux cercles et la section méridienne de la quatrième surface de révolution , se coupent en seize, points marqués des chiffres 1...... 8 sur la courhe ABCZ, et deschif- •

fres 1' 8’ sur la courbe A’B'CZjdonc les trois surfaces de révolution qui

ont pour axes les trois côtés XZ, ZY, XY se rencontrent en seize points, situés sur des cercles de la troisième suriâce, qui ont pour diamètres les

. droites i.fH a.7, 3.G, 4.5, i\8’,.a'.7', 3’.é', 4'-5', perpendiculaires à l’axe XY de cette surface, et divisées chacune en parties égales par cet axe. Chacun des cercles, tel que celui dont le diamètre est 1.8, contient deux sommets de pyramides, qui se projettent en uus*»l point a de la droite 1.8, en sorte que les seize sommets se projettçpl^jnif le plan du triangle XYZ, en 8 points a, jS, y, «?, a’, f£, y, J'', situés sur Tes huitidtenftrus 1.8, 2.7, ......v 4'-5'..

71. Nous ferons remarquer gu’on 'petit trouver la section méridienne ABCZ, A’ B’CZ, de la quatrième surface 'de révolution , sans qu’on soit . * obligé de construire les projections de la ligne d’interaction des iqrx pre-

mières surfaces qui ont pour axes de révolution les cptés XZ, Zx du triangle XYZ. En effet, un point quelconque de cette ligne, que je nomme A, après avoir tourné autour des axes XZ, ZY, vient s’appliquer sur les cercles YOZ, XFZ {pl. C ,/ig. 1 ) en deux points d, a", également distans de l’ex- • trémité Z des côtés XZ, ZY, en sorte que aZ = a’Z;-or les distances du point A aux extrémités X,Y du côté X Y, sont mesurées par les cordes n'X, <i”Y;

* donc ce point A, après avoir tourné autour de l’axe XY, s’appliquera au point 1 ou au point 8 de la corde 1.8, commune aux deux cercles décrits 1 ..* des points X et Y comme centres, «rèc les rayons Xa et Y ’a; les deux points

v 'L , 1 et 8 sont à égale distance de l’axe de révolution XY. On trouve de la même

7. * AV * manière d’autres points de là courbe ARCZ, ou A’B'C’Z, section méridienne

de la quatrième surface de révolution. Cette section et les cercles générateurs de la troisième surface de révolution étant placés symétriquement par rapport à Taxé' commun XY, ou voit pourquoi les huit points d’intersections des deux sections méridiennes, iperqpés 1, a, 3, 4, 1, a', 3’, 4 d’un côté de l’axe X Y, déterminent les huit autres points placés de l’autre côté; ces points sont placés dçux. à deux sur des perpendiculaires à l’axe XY, à égales distances de cet axe, et accouplés dans l’ordre suivant :

Aux points tels que l, 8, de l’un de ces couples, correspondent deux' sommets de pyramides, dont nous allons construire les projections horizontales ' V et verticales. ' , ' * .

’• * . • JV. ' ’ ’ ./

Projections horizontales et verticales des seize sommets de la pyramide. (Pl. C) * • (

. 7a. Les points 1 et 8 étant déterminés par l’intersection de la courbe ABCZ et des deux segmens égaux Xg’Y, XgT, le cercle décrit du point X comme centre avec le rayon Xi, coupe le segment du cercle XFZ au poiut a d’où l’on abaisse la perpendiculaire a a sur XZ. Cette perpendiculaire rencontre la

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. . s8f

droite 18 perpendiculaire à XY, au point a. projection horizontale de l'uh des points de l'intersection des trois surfaces de révolution. Si du point Y comme centre, avec le rayon Y tou Y8, on eût décrit le cercle qui coupe le segment YOZ au point a, la perpendiculaire a « à ŸZ rencontrerait encore .la droite 1.8 au point a, intersection des trois perpendiculaires Ta, a a a aux trois côtés XY, YZ, XZ du triangle XYZ base de la pyramide.

73. Ayant la projection « de l'un des seize sommets de la pyramide, sur le plan de la base XYZ, pris pour plan de projection. horizontal, on en déduira facilement la projection sur un plan vertical iv(fig. a ), dont la trace liori-

'zontale w' est perpendiculaire au côté XY de la base. Eif effet, le côté XY' a pour projection sur ce plan le. point x; décrivant de ce point comme Centre un cercle du rayon xk (fig- a ), moitié de 1*8 (fig. 1 ), la 'parallèle «« au côté XY' coupe ce cercle aux deux points s , (a) {fig. 2 ) , projections verticales de deux sommets qui ont meme projection horizontale a ( fig . 1 ). Ainsi Je point (* fig. 1, a fig. 2 ) est le sommet d’une pyramide qui a pour base le triangle XYZ, et pour les angles des arêtes opposés aux trois côtés de 60 triangle, ceux qu’on a désignés ( art. 63) par les lettres «, b, c. Le pomt’{«, («)], (fig. 1 et a ), est le sommet d’une seconde pyramide symétrique de la première. -

Les seize sommets ont pour projections verticales (fig. 2) les seize points marqués des lettres a, g, 7, «f, (l\ y, («), (A), (7), (/), («'), (0'), (7), (/').

Les huit premiers sont au-dessus de l’horizontale vy’; les huit autres audessous de cette. horizontale,' sont marqués des mêmes lettres en parenthèses. Les deux points à égales distances de l’horizontale uv, sont situés sur une droite perpendiculaire à l’intersection w‘ des plans horizontal et vertical de projection.

74. l*es sommets de deux pyramides symétriques étant situés sur une droite perpendiculaire au plan de la base triangulaire XY'Z (fig. 1 ), le point où cette droite coupe le plan de la base, est la projection horizontale des deux sommets ; ce qui réduit les projections horizontales des seize sommets fux huit points a, É, 7, «T, à’, /B', 7', T, (fig. 1 ).