PROBLÈME XIII

Trouver le centrent le rayttn d'une sphère circonscrite à un hyperboloïde de révolution réglé , et tangente à un plan sécant de cet hyperboloïde.

7&. Solution. L’hyperboloïde de révolution réglé et la plan qui coupe cette surface étant donnés, le centre dé la sphère demandée est évidemment sur l’axe de révolution; de plus, ce point a pour lieu géométrique un cône du

,8l GÉOMÉTBIÉ DESCRIPTIVE.

second degré. Pour le démontrer, nous remarquerons que la sphère demandée est circonscrite a l’hyperboloïde suivant un cercle dont le plan est perpendiculaire à l’axe de révolution , quelle a pour tangentes toutes les droites de l’hyperboloïde, et que chacune de ces droites touche la sphère en un point du cercle de contact de cette sphère et de l'hypcrboloïdc. Il suit de là i° que toutes les perpendiculaires abaissées du centre de la sphère sur les droites de l’hyperboloïde et sur le plan sécant, sont égales entre elles comme rayons d’une même sphère; a0 «pie le centre dç la sphère appartient à la surface équidistante du plan sécant, et d’une droite quelconque de l’hyperboloïdc de révolution , surface qui jouit de cette propriété, que si de l’un quelconque de ses points on abaisse deux perpendiculaires, l’une sur le plan sécant, l’autre sur une droite déterminée de l’hyperboloïde, ces perpendiculaires, variables pour chaque point de la surface, sont constamment égales entre elles. Cette propriété de la surface la caractérise et la détermine. En effet, soient une droite D et un plan P ; considérant la droite D comme l’axe d’un cylindre droit d’un rayon arbitraire R, un plan parallèle au plan P et distant de ce plan du rayon R, coupera le cylindre suivant une ellipse dont chaque point sera à égales distances du plan P et de la droite D. Faisant varier le rayon R du cylindre droit, on obtiendra tant d’ellipses qu’on voudra, et le lieu de ces ellipses sera évidemment la surface équidistante du plan P et de la droite D. Regardant maintenant la droite D comme la droite d une série de cônes droits, qui sont touchés par le plan P; le sommet de ces cônes sera le point d’intersection du plan P et de la droite D, et l’axe de chaque cône sera déterminé par la droite de contact prise arbitrairement sur le plan P; d’où il suit que les droites, axes des cônes droits correspoudans aux droites de contact prises sur le plan P, ont encore pour lieu géométrique la surface équidistante du plan P et de la droite D; d’où il suit que cette surface est composée de droites qui passent par le point d’intersection de la droitcD et du plan P; or on a démontré que tous les plans parallèles au plan P coupent cette surface suivant des ellipses ; donc la surface équidistante d une droite et d’un plan, est un cône du second degré, qui a pour sommet 1<* point de rencontre de la droite et du plan.

76. Lorsqu’un plan coupe un hyperboloïde de révolution, il peut arriver (art. i3o, livre Ier) que la courbe soit fermée, ou quelle s’étende à l’infini; dans ce second cas, il y a au moins une droite de l’hyperboloïde parallèle au plan sécant, et la surface équidistante de cette droite et du plan sécant est un cylindre à base parabolique. On sait que tous les points d’une parabole sont à égales distances d’un point qu’on nomme foyer et de la droite qu’on appelle directrice. Considérant le foyer comme la projection orthogonale d’une

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. • i83

droite D sur le plan de la pilrabole, la directrice comme la trace d'un plan P perpendiculaire au même plan «Je la parabole, et parallèle à la droite D, la surface cylindrique qui a pour section droite la parabole, est équidistante du plan P et de la droite D parallèle à Ce plan.

Le centre de la sphère cherchée est sur l’axe de révolution de Fhyperboloide; il a pour lieu géométrique un cône ou un cylindre du second degré déterminé; par conséquent le centre de la sphère est le point d'intersection du cône ou du cylindre, et de l’axe de révolution de l’hyperboloïde; point que l’on construit géométriquement par la méthode exposée (art. ia5 et 179, livre l*r, pages 70 èt 106). Le point de contact de la sphère et du plan sécqnt est un foyer de la section de l’hyporboloïde réglé.((Foyes art. i3a, page 73.)

problème XIV.

Trouver le centre et le rayon d.' mie sphère tangente à quatre sphères données

• • de grandeur et de position.

77. Viele, traducteur des ouvrages d'Apollonius de Perge, avait ajouté à la géométrie des anciens, un traité sur le contact des lignes droites et des cercles. Fermitt (né en 1 Sgo, mort en j664) a continué ce travail, et c’est à lui qu’on doit la première solution de cette question de géométrie à trois dimensions : Trouver le centre et le rayon d'une sphère tangente à quatre sphères données. Les ouvrages de ce. géomètre ont été imprimés à Toulouse en a vo* lûmes in-folio, qui ont paru en 1670 et 1 779, #ous le titre à' Opéra mathematica. J’ai traduit son mémoire sur le contact des sphères; on trouve cette traduction à la suite des leçons qui ont été données aux Écoles normales de 1 795 par Lagrange et Laplace, et dont le conseil d’instruction de l’École polytechnique a formé les cahiers 7 et 8 de son journal (iVt*4°, juin 181a).

En 1794 j’avais proposé les -questions traitées par Fermât aux élèves de l’École préparatoire des chefs d'études de l’École polytechnique. L'un d’eux, Dupuis, né avec les plus heureuses dispositions pour la géométrie, et qu’une mort prématurée enleva aux sciences, et au corps des ponts, et chaussées, résolut le problème de la sphère tangente à quatre autres sphères, par une méthode tout-à-fait diflérente de celle de Fermât. J’ai recueilli dans le premier volume de la Correspondance sur F École polytechnique , que j’ai publiée en i8o4> les propositions qu’il m’avait communiquées de vive voix et, sans > 'démonstrations.

Ce travail a été suivi de plusieurs mémoires fort intéressans sur le même sujet Je citerai d’abord celui de M. Charles Dupin (octobre 18 ta), que j’ai

i84 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

inséré dans la Correspondance (tome II, page zfao). Le seizième cahier du Journal de l' École. polytechnique contient de» recherche» fort curieuses sur le contact des sphères, par M. Gaultier, professeur' de géométrie au Conservatoire des arts et métiers. ( 'Voyez ce cahier, pages ta4 - a44> juin 1 8 1 a.)

La première solution analytique complète du problème de la sphère tangente à quatre sphères a été donnée par M. Poisson, qui l’a publiée dans le Bulletin de la Société philomatique, cahier de septembre 1812, page i4f- (y oyez cette solution à la fin du livre II, notes.)

M. Français, officier du génie et professeur à TÉcole d’artillerie et du génie de Metz, avait aussi traité la même question par l’analyse. J’ai publié -son travail dans le tome II de la Correspondance (pages 63 et 4°9, janvier 1810» et octobre 1 8 1 a).

En appliquant l’analyse à la solution synthétique que nous avons exposée (art. 6g), on trouve, comme par les deux solutions précédentes de MM-. Poisson et Français, que la détermination des centres et des rayons des seize sphères qui peuvent toucher quatre sphères données, ne dépend que de là résolution d’équations du second degré. Jaivpublié cette troisième solution dans la Correspondance, tome IT, page 4a5 (janvier t8t;3), et dans le dix-septième caliierdu Journal, in-4“, de l'École polytechnique (janvier i8l5), page 129.

Monge a donné dans sa géométrie (première édition, année 1795, art. 36 - 44) la solution de tjois questions relatives au contact de la sphère et du plan. La première consiste à mener par une droite donnée, un plan tangent à la surface d’une sphère; nous l’avons résolue de deux manières (art. 27 - 3r, fig. 1 et a5). , t \ ,

Voici l’énoncé dgfedeux autres questions :

10 Mener par urijwïnt donné, un plan tangent à deux sphères, dont les cfentçes et les rayons sont connus ; .

20 Mener un plan tangent à trois sphères données de grandeur et de position. " *» . ^

Nous résoudrons ces deux questions, et nous y ajouterons celle-ci.;

Étant données trois sphères, déterminer la position dit centre d’une quatrième sphère dont le rayon est connu, d’après la condition qu’elle soit tangente aux trois premières sphères?

Du contact de la sphère et du plan. *

Première question. Mener par un point donné , un plan tangent à deux sphères? ^ '

78. Solution. On conçoit les deqx cônes circonscrits aux deux sphères données; ils put leurs sommets sur la droite qui* joint les centres de ces

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. t85

sphères; l'un des sommets est au-delà des centres, et l’autre entre les deux centres.

Par le point donné, on mène des plans tangens à chacun des cônes circonscrits, et il est évident que ces plans sont aussi tangens aux deux sphères

données. Ainsi le problème proposé a quatre solutions.

Explication de la fig. i , pi. 3l.

79. Soient A et B les centres des deux sphères données, A «, BA leurs rayons. En supposant que ces rajons >oient parallèles, la droite al>, qui joint leurs extrémités, rencontre la droite AB des centres au point S, sommet de l'un des cônes circonscrits aux deux sphères; la droite t ib', menée par les extrémités a, b' des rayons parallèles Aa, ISA', coupe la droite AB au point s, sommet du second cône circonscrit. 11 est évident que tout plan tangent aux deux sphères sera aussi langent à l’un des deux cônes circonscrit, à ces sphères, él passera nécessairement par l’un des sommets S, s «le ces cônes.

Quelle que soit la position du point donné, on conçoit par ce point et par les centres de6 deux sphères un plan «pie l’on peut prendre pour le plan de la fig. I . Soit D le point donné sur ce plan ; les droites DS, D.t qui joignent ce point et les sommets des cônes- circonscrits, seront connues; or le plan tangent aux deux sphères données, doit pa.ser par l’une de ces droites; donc le problème proposé est résolu, puisqu'il est ramené au précéilent art. 27), qui consiste à mener par chacune des droites I)S, Dr, un plan tangent à Finie desdeux sphères données de grandeur et de position.

Deuxième question. — Mener un plan tangent à trois sphères données ?

80. Soient A, R, C (fig. a, pl. 3 1 ) les centres des trois sphères données; S et r les sommets des deux cônes circonscrit, aux deux premières sphères; S', r' les sommets «les deux cônes circonscrits aux sphères des centres B et C, et enfin S’, r” les sommets des deux cônes circonscrit, aux sp’ ères des centres A et C, on remarquera d’abord" que les six sommets sont placés sur quatre droites dans l’ordre suivant :

SS’S”, S s s", sSt's , ss SI.

En effet, «lans les combinaisons des six sommets trois à trois, il' faut exclure, i° celles dans lesquelles entrent S et s, ou S’ et s\ ou enfin S” et s*,' parce que le même plan ne peut pas toucher les. deux oùues circonscrits à «leux sphères ; a* celles où il eutre un des trois sommets intérieurs s, s', s',

Dkji‘.izg*F

Bogie

i86 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE,

avec deux des trois sommets extérieurs S, S', S", parce que-le plan qui touche deux quelconques des trois cônes à sommets extérieurs, touche nécessairement le troisième d’un sommet de même nom; 3" enfin la combinaison s, s', s", parce que le plan qui touche deux cônes à sommets intérieurs, touche nécessairement un cône à sommet extérieur; donc les combinaisons des sommets trois à trois se réduisent aux quatres droites précédentes.

Maintenant, remarquons que le plan tangent à trois sphères étant aussi tangent à trois des six cônes circopscrits à ces sphères, il contient les sommets de ces trois cônes; mais ces sommets soUt encore sur le plan des trois rentres des sphères ; donc ils sont strr la droite intersection de ces deux plans (*).

Connaissant les quatre droites des sommets des cônes circonscrits, il est évident que le problème proposé consiste à mener par chacune de ces droites, des plans tangens A l’nnc des trois sphères données; ce qni le ramène air- précédent ( art. 27); et comme par chaque droite on peut mener deux plans tangens à une sphère, il s’ensuit que trois sphères peuvent être touchées par huit plans. '

Du contact des sphères. - -

81. Lorsque deux sphères se touchent, la distance de leurs centres est égale à la somme ou à la différence de feurs rayons; donc si l’on nomme A , B, C"lçs sphères touchées, et a, b , c leurs rayons ; T la sphère touchaute et t son rayon; le centre de la sphère T est sur l’une des deux sphères a', a concentriques à À, et des rayons t-\-a,t — a. Par la même raison, il est sur une des deux sphères b\ b" concentriques à D, des rayons /-f- b, t — b, et enfin sur une des deux sphères c',c concentriques à C, qui ont pour rayons t'-i-c et t — c; d’op il suit que le centre de la sphère T est le point commun à trois des six sphères d, a", b', b ”, c, c : or, en excluant des combinaisons trinaires de ces six sphères, celles dans lesquelles entrent les sphères a', a ", ou b\ b", ou c', c", parce que des sphères concentriques ne peuvent pas se couper, ces combinaisons se réduisent à huit, dans l’ordre suivant :

1 0 abc ; a° a'blc ; 3° ab’c'; 4* a'b'c ; 5* a’b'c ; 6” abc"; 7° a’b’c; 8' a"b"c.

(*) Il suit do colle proposition, que lorsqu'on a sur un plan trois cercles (Jrg. i,pl. Il), et qu’on a mené à deux quelconques de ces cercles» les deux couples de tangentes qui se coupent eu deux points de la droite menée par leurs centres, les tangentes et les droites des centres se rencontrent en six points, qui sont répartis sur quatre droites, de maoière que trois de ces points sc trouvent nécessairement >ur Tune des quatres droite#.

De plus, les trois sphères de l'une quelconque des huit combinaisons sc coupent en deux points; d’où il suit qu’il y a eu général seize points, dout chacun peut être pris pour le centre d’une sphère T d’un rayon déterminé t, qui touche trois sphères données de grandeur et de position. Lorsque la sphère tangente est d’un rayon infini, c’est-à-dire lorsqu’elle devient un plan, 0,11 a vu (art. précédent) que le nombre de plans tangens sc réduisait à huit.

8a. En faisant varier le rayon de la sphère T tangente aux trois sphères données, le centre -de cette sphère prend successivement diverses positions, correspondantes aux valeurs de sou rayon ; les points de contact de- la sphère variable T et des trois sphères fixes , changent continuellement; nous allons démontrer ' .

i° Que les centres des sphères tangentes à trois sphères données, ont pour lieux géométriques, quatre courbes planes du second degré ;

a° Que le lieu géométrique des points de contact de l’une quelconque des trois sphères fixes et de la sphère mobile tangente, est un cercle.

■De la courbe que parcourt le centre d'une sphère mobile , qui touche constamment trois sphères fixes.

83. Cette courbe jouit de la propriété que si l’on prend un point quelconque sur son contour, les distances de ce point aux centres des sphères fixes, diffèrent entre elles d’une quantité ébnstante et indépendante du rayon de la sphère mobile , en sorte que nommant d, d ' , d", ces distances, les quantités d — d', d — d", cr — d sont constantes, quelle que soit la sphère tangente. En effet, adoptant les dénominations do l’article 81, les distances <7, d', d ” peuvent avoir les huit systèmes de valeurs suivantes, qui correspondent aux huit combinaisons (art. 81) des sphères d , a", b ', b", c, c:

3* dzrz t <1, <-+- b, d’—t — c,

3* d = f-h a, dl= t — b, d"~ r-Hc,

h* d=zt — a, d' —t b, d’=t-\-c,

7 ‘ d-è=t — a, /üf — b , d’= t-h c,

8* d es t — a, </=<’— 4, d'xzt — e. '

11 est évident que pour l’un quelconque de ces systèmes, pour le premier par exemple, lei valeurs de d — d', d' — d", d " — d sont constantes et égales aux quantités a — b, b~~c,c — a. - • \

Mais il est à remarquer que le premier et huitième système donnent les ' mêmes valeurs absolues pour les différences des distances d, d\ d\ La même remarque s’applique aux systèmes a et 7, 3 et 6, 4 et 5; donc les centres da toutes- les sphères qui peuvent toucher trois sphères fixes, et qui appartiennent à huit séries différentes, sont distribués sur quatre courbes, telle que pour la première on a :

Pour la seconde courbe, on a :

d — d'=ta — b, d' — d’z=b-\-c, d“ — ■ d — a-hc;

Pour la troisième : *

Pour la quatrième enfin :

d — d' — a -+- b, d' — d“— b — c, d" — d — a -+• Ci

Nous démontrerons que ces quatre courbes sont planes, et que leurs plans sont perpendiculaires aux quatre droites (art. 80), qui contiennent les six sommets des cônes circonscrits aux trois sphères fixes touchées par la sphère mobile; enfin que chacune d’elles résulte de l’intersection d’un cône droit par un plan. * .

De la courbe formée par les points de contact de chacune des sphères fixes et de la. sphère mobile considérée dans toutes ses positions.

84. Parmi les huit séries de sphères qui peuvent toucher trois sphères fixes, prenons-en une à volonté, par exemple la série des sphères qui touchent les sphères fixes extérieurement. Une quelconque des sphères de cette série touche les trois sphères fixes en trois points; nous allons d’abord démontrei- que le plan mené par ces trois points passe parla droite qui contient les sommets «les trois cônes extérienrs circonscrits aux sphères fixes. Nommons comme précédemment A , R, C les sphères fixes touchées, et T la sphère mobile tangente. Le plan qui passe par le centre de la sphère T et par les centres «le deux quelconques des trois sphères A, B, C, de A et fl par exemple, coupe les trois sphères A, B, T suivant trois grands cercles, dont l’un appartenant à la sphère T touche les deux grands cercles des sphères

A et B. * ...

Soient (fig. 3 , pl 3i) X , Y, Z les centres de ces trois cercles, E et F les poinls de contact de la sphère T avec les sphères A et. B; il est évident que

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. iflg

la droite EF qui joint les points de contact E et F, passe par le sommet O du cône extérieur circonscrit aux spheres A et B, puisque les deux droites OE, OH sont dans le rapport constant des deux rayons parallèles XE, VH des sphères A et B; d'où il suit que quel que soit le rayon ZE ou ZF de la sphère T, la droite qui joint les deux points de contact de cette sphère et des spheres A et B, passe constamment par le sommet O du cône extérièur circonscrit à ces sphères A et B.

Par la même-raison, la droite qui joint les points de contact de la sphère T et des sphères A et C, passe par le sommet du cône extérieur circonscrit à ces sphères ;donC le plan mené par lès trois points de contact de la sphère T et des sphères A, B, C, passe par la droite qui contient les trois sommets des cônes extérieurs circonscrits aux sphères A, B, C; ainsi, menant par cette droite un plan quelconque qui coupe les trois sphères A, B, C suivant trois petits cercles, un quatrième cercle tangent à-ces trois derniers, appartient à une des sphères T, qûi touche les trois sphères A, B, C; d’où il suit que la perpendiculaire au plan de ce quatrième .cercle, élevée par le centre de ce cercle, passe par le centre de la sphère T. *

85. Désignons les points de contact de la sphère T et des sphères A , B, C par les trois lettres », y, et par »', fi', y les points de contact d une outre sphère T avec les mêmes sphères A, B, C. On vient de prouver que le plan des trois points », fi, y,, et le plan des trois points a', fi', y', passent par une mèmd droite, celle qui contient les sommets des cônes extérieurs circonscrits aux spheres A, B, Ç. Maintenant nous allons démontrer que les' six points tu, fi, y, », a’, y', appartiennent à une même sphère.

D'abord en prenant quatre de ces six points dans l'ordre suivant :

> «7*Y, faP'ï,

ils sont dans un même plan et sur une même circonférence; car les droites menées par les points <*, fi:, et par les points », fi', concourent en un même point, qui est le sommet du cône extérieur circonscrit aux sphères A et B; donc le plan mené par ces deux droites coupe les sphères A et B, suivant deux cercles, dont l'un contient les points », fi', et le second los points fi, fi', comme on le voit (/ îg . 3 ,pl. 3l ); or les droites afi', a fi' concourent au même point O, qui représente dans cette figure le sommet du cône circonscrit aux sphères A et B; donc les quatre points », fi, fi' appartiennent à une circonférence de cercle, dont le centre K est déterminé; d’où il suit qu’on pourra mener une sphère par les quatre .points », fi, », fi' et un cinquième point y: or cette sphère contiendra le sixième point y, puisque les quatre points », y, », y ou t,y,fi',y, sont sur une même circonférence; donc les six points », fi, y, », fi\y-

appartiennent à une même sphère : le centre et le rayon de cette s|4ière varient en même temps que les deux sphères T et T' qui touchent les sphères fixes A, B, C. . . * ‘ • • ' -

86. Nommons S la sphère qui passe par les six points a, fi, y, «' fi', y; elle coupe la sphère A suivant un petit cercle qui passe par les points «, et les deux sphères T et T' suivant deux autres cercles tangens au premier aux points a, puisque ces sphères sont tangentes à la sphère A. Considérons les tangentes communes au petit cercle de la sphère A et aux deux petits cercles de la sphère S; on a démontré que les plans de ces petits cercles passaient par la dèoite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux trois sphères A, B, C; donc les tangentes à ces cercles passent par la même droite, mais de plus elles sont dans le plan du cercle- d’intersection des sphères A ct S; donc elles passent par le point d’i intersection de ce plan et de la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux trois sommets A , B, C. V

87. En supposant que les sphères A, B, C restent les mêmes, et qu’elles

soient touchées par une autre sphère T' différente de T‘, les nouveaux points de contact seront a”, fi", y. On prouvera de la même manière i° que les six points fi, y, «f, fi", y sont situés sur une même sphère S’ qui coupera la sphère A suivant un petit cercle, et les sphères T, T* suivant deux autres petits cercles tangens au premier; a° que les tangentes communes au petit cercle de 4a sphère A et aux deux petits cercles des sphères T et T" se rencontrent en un même point de la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux sphères A, B, C : or la tangente commune au petit cercle de la sphère A et au petit cercle de la sphère T né change pas' de position; donc elle coupc la droite qui’ contient les sommets des cônes circo'nscrits en un point qui ne varie pas; donc c’est vers ce point que concourent toutes les tangent05 communes aux petits cercles d’intersection de la sphère constante A et des sphères variables S, S’, S”, etc ; d’où il suit que ce point

est le sommet ,d’un cône droit circonscrit à la sphère A, qui a pour base un cercle dont le plan est perpendiculaire à celui des centres des trois sphères A, B, C.

Ainsi, lorsqu’une sphère variable, qui devient successivement T, T', T"..... touche constamment trois sphères fixes A, B, C , les points de contact a, a, o"

•le l’une des sphères fixes, de A par exemple, et des sphères T, T, T “ , ap-

partiennent à un petit cercle de la sphère A, dont le plan est perpendiculaire à celui qui passe par les centres des trois sphères A, B, G. •

88. La ligne de contact de chacune des trois sphères fixes et de la sphère mobile qui les touche étant un cercle, il s'ensuit que la courbe décrite par le

centre de cette sphère mobile, est commune à- trois cônes droits qui ont pour sommets les centres des sphères lues, et pour bases les petits cercles de contact de ces sphères et de la sphère mobile. De plus nous allons démontrer que relie courbe est plane.

89. Ayant nommé T et T' la sphère mobile considérée dans deux positions différentes, on a vu t° que la sphère T touche les trois sphères fixes A, B, C en trois points te, 8, y, et la sphère T en trois points a’, jS’ y'\ a° que les six points*, (3, >, v!,&,y appartiennent à une même sphère S qui contient les petits cercles menés par les trois points a, /3, y et par les trois points a’, £', y ; 3* que les plans de cfl6. petits cercles passent, quelles que soient les sphères T et T, par la droite qui contient les sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes.

Cela posé, une perpendiculaire au plan du petit cercle ogj. (en désignant ainsi le cercle qui passe par les trois points a, 18, y), élevée par le centre de ce cercle, contient évidemment le centre de la sphère T; de même une perpendiculaire au plan du petit cercle jlgiy élevée par son centre, contient le centre de la sphère T'. Çes perpendiculaires sont dans le même plan, puisqu’elles passent par le centre de la sphère S, et ce plan est perpendiculaire à la droite qui joint les sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes. Or le point de rencontre de ces perpendiculaires est d’autant plus près de la courbe que décrit le centre de la sphère mobile, que les deux sphères consécutives T et T’ different moins entre elles; donc, lorsque ces sphères croissent par degrés insensibles, l’intersection successive des perpendiculaires aux plans des cercles <*By, a'Hy, *&y , etc.t menées parles centres de ces cercles, forme la courbe que décrit le centre de la sphère mobile; donc cette courbe a pour tangentes ces perpendiculaires. Mais une ligne dont toutes les tangentes sont situées dans des plans perpendiculaires à une même droite, est nécessairement plane ; donc ta courbe décrite par le centre dune sphère mutile qui touche constamment trois sphères fixes, est plane. Ayant démontré que cette courbe est commune à trois cônes droits dont elle est l’intersection, ou doit conclure que ces cônes se coupent suivant une seule et même ligne plane. Ainsi ta courbe décrite par le centre d'une sphère mobile qui touche constamment trois sfihères fixes , est une section conique, dont le plan est perpendiculaire à une droite qui contient le sommet des cônes circonscrits aux sphères fixes.

90. Un a prouvé (art. 83.) que les centres des huit séries «le sphères qui peuvent toucher trois spheres données, étaient distribués sur quatre courbes differentes; il suit de ce qui précède que ccs courbes sont des sections coniques situées dans des plans perpendiculaires aux quatre droites qui contiennent les sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes.

19a GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

A chaque courbe, lieu des centres de la sphère mobile, correspond un cercle qui est aussi le lieu des points de contact d’une sphère fixe avec cette sphere mobile ; donc toutes les sphères qui peuvent toucher trois sphères fixes, touchent chacune d’elles en des points qui sont distribués sur quatre petits cercles. Chacun de ces petits cercles étant (art. 87) la ba sé d’uu cône droitqui a son sommet sur l'une des quatre droites. menées par les six sommets des cônes circonscrits aux sphères fixes, on propose la question suivante ! j ,

Connaissant les rayons et les centres de trois sphères, déterminer 1° la position des plans des quatre courbes, lieuse des centres de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois sphères données ; a* les quatre petits cercles lieux des points de contact de chacune des sphères données , avec la sphère mobile qui, dam toutes ses positions, est tangente aux sphères fixes. ■ •

91. Solution. Ayant mené par les centres des trois sphères données un plan qui coupe ces sphères suivant trois grands cercles, on tracera dans ce plan les quatre droites sur lesquelles sont distribués les sommets des six cônes circonscrits aux sphères; à chacune de ces droites correspond (art. 87) une série de sphères tangentes aux trois sphères données. Après avoir déterminé le centre d'une quelconque des sphères comprises dans une série, on mènera par ce centre, et perpendiculairement à la droite correspondante à cette série, un plan qui sera un des plans demandés. On construit le centre d’une sphère comprise dans les quatre séri% des sphères correspondantes aux droites qui unissent les sommets des cônes circonscrits, en observant que le rayon de cette sphère est pris arbitrairement, et que son centre est l’intersection de trois sphères dont les rayons et les centres sont, connus.

Soient, comme dans les articles précédens, A, B, C, les trois sphères touchées par une quatrième sphère T, dont le centre est dans un plan perpendiculaire à l'une des droites qui contiennent les sommets des cônes circonscrits aux trois sphères A, B, C, et nommons D cette droite.

Par les points où la sphère T touche les trois sphères A, B, C, on mènera trois plans tangens à cette sphère T. Le plan qui touche les sphères T et A coupera la droite D en un point que l'on considérera comme le sommet d’un cône droit circonscrit à la sphère, A. Ce cône touchera la Spliére.A suivant un petit cercle qni sera le lieu des points de contact de cette sphère A, et de toutes les sphères ( comprises dans une même série) qui touchent à la fois les trois sphères A, B, C. La droite D sera coupée en deux autres points par les

plans qui touchent, l'uli les sphères T et B, l’autre les Sphères T et C. Ces

points seront les sommets des deux autres cônes droits circonscrits aux sphères B et C, les petits cercles de contact des cônes et des sphères, contiennent les points de contact des sphères A, B, C, et de la sphère mobile T qui les touche.

On raisonnera de la même manière pour une autre sphère T' tangente aux trois splières A, B, C, dont le centre serait dans un plan perpendiculaire à une autre droite D', contenant trois sommets de cônes circonscrits aux sphères A, B, C.

La question précédente renferme la suivante, comme cas particulier.

Etant donnés trois cercles dans un plan , trouver un quatrième cercle tangent aux trois premiers (*)?

92. Solution.' On considérera les' trois cercles donnés comme lés grands cercles de trois sphères, et la question proposée sera la même que celle-ci :

Trouver parmi les sphères tangentes à trois sphères données, celles qui

(") C 4 problème, traité algébriquement par Newton et Euler, a été résolu fort élégamment par MM". Cauchy et Poncelet, à l'époque où ils étaient élèves de TÉcolc polytechnique. J*ai publié Ipurs solutions dans la Correspondance, tome Ier, pagc ig3, juillet 1806; et tou^: II, *p. 171, janvier 1811. (f'of. aussi les Annales île mathématique de M. Gcrgoue, avril 1817, tome VII, page >89.)

O11 # encore traité cette question, dans l'hypothèse où le* trois cercles sont donnés sur une sphère. M. Carnot l’a résolue par l'algèbre, dans sa Géométrie de position ' i vol. ôt-i", anbéo »8o3, page 4i5). M. Olivier, ancien officier d'artillerie, m'avait communiqué in>6 solution synthétique de ce problème , que j'ai publiée dans la Correspondance de l’Êcote polytcchnisflic ( tome III , page to, année 1814', et qui se déduit des principes que cous avons exposés.

Soit A (Jtg. t,,pl. 3|) le centre de la sphère sur laquelle on donne troiseercles que je désigne par les lettres X, Y, Z ; le plan mené par ce centre et par les centres des deux cercles donnés X et Y, coupe la sphère suivant Un grand cercle M \mn, et les plans des cercles X, Y suivant des cordes tTN, mn du gland cercle, qui sorti aussi les diamètre* des petits cercles X et Y. ( t'oyez art. loj, liv. l,r.) On a démontré (même article) que par ces déilx petits cercles on peut faire passer deux cùnes obliques, qui ont pour sommets les points de concours S et a des eûtes et des diagonales du quadrilatère MPirn».

En substituant le troisième cercle donné Z au second Y, et le combinant avec le premier cercle X,'on forme deux autres -cènes obliques dont les sommets S’, s’ sont situés hors du plan de la Jtg. -i- La combinaison des deux cercles Y et Z donne encore deux cènes, dont les sommets 5", s" sont aussi hors dn plan de la Jlg. Jj. ~ % 1

Cela posé, la solution de M. Olivier est fondée sur celte considération, que le plan d’un quatrième cercle qui touche les trois cercles donnés X, Y,' Z, est langent & trois' des six cènes qui passent par ces cercles, et dont les sommets sont situés deux à deux sur les trois droites ÿ.r, SV, SV. Parmi les cercles qui peuvent toucher les trois cercles donnés, considérons celui qui est en dehors de ces trois cercles, et qui les touche en trois points. Les tangentes menées par les

ont leurs centres dans le même plan que celui des centres des trois sphères données ? - •

• Pour résoudre cette dernière question, on construira (problème précédent), sur les trois sphères, les quatre petits. cercles lieux des points de contact de ces sphères et de toutes les sphères qui peu«uit les toucher en meme temps; les huit points communs à ces petits cerclés et aux grands cercles donnés des sphères, sont ceux par lesquels doivent passer les cercles tangens aux cercles donnés. Il suit de cette construction que le problème proposé a huit solutions, c’est-à-dire qu étant donnés trois cercles, ils peuvent être touchés par un quatrième de huit manières différentes. t Connaissant les points de contact des trois cercles donnés avec les cercles ^ui peuvent les toucher, il sera facile de distinguer ceux de ces points qui appartiennent au même cercle tangent; mais pour éviter toute difficulté dans le choix de ces points, il conviendra de trouver sur le plan des trois cercles donnés, les traces des plans qui contiennent les centres'des sphères tangentes aux trois sphères de mêmes centres gt de memes rayons que les cercles donnés. Chacune de ces traces contiendra deux des centres des cercles cherchés. A chaque trace correspond un cône droit dont le sommet est (art. 87) sur l’une des droites lieux des sommets des cônes circonscrits aux sphères qui ont ‘ s

points de contact, sont les eûtes d'on triangle dont le plan ne diffère pas de celui du cerale tangent : or, le plan de* tangentes aux cercles X et Y, est évidemment tangent au cône qui fiasse par ces cercles, et dont le sommet est en S; de même le plan des tangentes aux cercle? X et Z est langent au cône, qui passe par ces cercles, et dont 1* sommet est eu S’; donc le plan tangent au co tic du ^sommet S, mené par la droite SS‘, est le plan d'un cercle tangent aux trois cercles donnés X» Y, Z. ^ t

La droite SS' prolongée, rencontre le plan du cercle X qui a pour diamètre U cordc MTV en un point. Menant par ce point deux tangentes au cercle X, et par les tangentes deux plans tangens au cône du sommet S, ces deux plans sc couperont suivant la droitegSS'; et comme chacun de ces plans est aussi tangent au. cône du sommet £*, leur droit e-d'intersent ion SS' contiendra les sommets S, S‘, $¥ des trois cônes qui passent par les cercles donnés X, Y, Z. ; t

On démontrera, de la même manière, que les autres sommets sont situés trois à trois dans l'ordre suivant Sx'/", xS'x% x/S*; d’où il suit i“ que les six sommets S, S’, x, / sent dans un seul et même plan ; que ce plan, (fui est déterminé par deux quelconques des trois droites Sx, S’x, S*/*, coupe la perpendiculaire Kxt au plan du cercle X, élevée sur le milieu x de la corde M N, en un point t qui ne varie pas, quels que soient les cercles donnés' Y et Z, pourvu que le premier cercle X du diamètre MN ne change ni de grandeur ni de position.

Les plans tangens aux six cônes qui passent par les trois cercles donnés X, Y, Z, se coupent deux à deux suivant les quatre droites SS'S*, SxVr, s$‘smt xx'S": or, par chacune de ces droites, on peut menfT deux plans tangens à l'un des six cônes; donc il y a en général huit plans qui coupent la sphère donnée, suivant un cercle tangent aux trois cercles donnés sur ccKc sphère.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE., iy5

pour grands cercles les cercles donnés. Par le sommet du cône droit, on mène deux tangentes à l’un des trois grands cercles donnés, et chaque point de contact de ces tangentes est aussi celui où le grand cercle est touché par un quatrième cercle qui toucherait les trois cercles donnés ; donc les deux rayons de ce grand cercle, menés par les points de contact, couperont la trace du plan qui contient les centres des sphères tangentes, en deux points qui seront les centres de deux cercles tangens aux trois cercles donnés.

solutiox do problème XIII. (Page j 83).

Mener une sphère tangente à quatre sphères données.

g3. Solution. Soient A, B, C, D lesqnatre sphères données, et S la cinquième sphère qui les touche. Considérant d’abord trois des quatre sphères données, par exemple A, R, C, on construira 1° les plans des quatre courbes qui contiennent les centres de toutes les sphères qui peuvent toucher les trois premières sphères données ; s° on déterminera sur chacune des trois sphères A, B, C, les quatre petits cercles lieux des points de contact de ces sphères avec celles qui leur sont tangentes. On snbstituera ensuite la sphère D à la sphère C, et l’on obtiendra de la même manière, sur chacune des trois sphères A, B, D, les quatre petits cercles lieux des points de contact de ces sphères avec celles qui peuvent les toucher en même temps, ainsi que les quatre plans lieux des centres de ces mêmes sphères. Les quatre petits cercles lieux des points de éftntact de la sphère A, par exemple, et des sphères tangentes aux trois sphères A, B, G, et les quatre petits cercles lieux des points de ‘contact de la même sphère A et des sphères tangentes aux trois sphères A, B, I), se coupent en plusieurs points, parmi lesquels se trouvent nécessairement les points de contact de la sphère A et d'une sphère S tangente aux quatre sphères données A, B, C, D. Pour trouver le nombre et la position de ces derniers points, il faut remarquer que parmi les points a 'intersection des huit petits cercles de la sphère A, on ne doit tenir compte que de cenx qui résultent de l’intersection des petits cercles qui proviennent de combinaisons semblables entre les sphères A, B, C ou A, B, D.

Avant d’expliquer ce que nous entendons par combinaisons semblables et dissemblables, désignons de la manière suivante les quatre petits cercles lieux des points de contact de la sphère A et des sphères qui touchent les trois sphères A, B, C :

(E) A; B; c* , a; B; Ci , a; Bi c; , a;b;c;.

Le premier petit cercle A;B;C‘ est le heu géométrique des points de contact

ig« GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

île la sphère A et de deux sphères tangentes aux trois sphères A, B, C, les unes tangentes toutes extérieurement, les autres toutes intérieurement : c’est pourquoi on doit lire cette notation de deux manières; ou A'B*C‘, ou

A.B.C,; elle se rapporte à un seul cercle de la sphère A, qui est je lieu géométrique des points de contact île cette sphère et des sphères des deux séries, tangentes extérieurement ou intérieurement. Le second petit cercle A'B'Q ( Usez A'B’C*, ou AjB.C" ) est le lieu des points de cpntact de la sphère A et des sphères qui touchent extérieuremett les sphères A et B, et intérieurement la sphère G, et des sphères qui touchent A et B intérieurement et C extérieurement. Le troisième cercle A^B'.Ç est le lieu des points de confcct de la sphère A et de deux séries de sphères, les unes qui touchent les sphères A et C extérieurement et la sphère B intérieurement, les autres qui touchent les sphères A et C intérieurement et la sphère B extérieurement : enfin le quatrième cercle AjB?Cj est le lies des points de. contact de la sphère A et de deux séries de sphères, les unes qui touchent les sphères B et C extérieurement et la sphère A intérieurement, les autres qui touchent les sphères B et C intérieurement, et la sphère A extérieurement

Les quatre petits cercles lieux des poihts-de contact de la sphère A et des . sphères qui touchent les trois sphères A, B, 1), seront désignés, d’après la même notation, de la manière suivante : ••

a; b;D; , A'B;rv. , a-BID; , a:b*d;.

Des huit cercles (E), (E1), les notations de ceux qui résultent de combinaisons pareilles entre les sphères A, B, C et les sphères A, B, D, comprennent les lettres A et B avec les mêmes ex posans; ainsi les petits cercles A'B;C|, A;B'D; résultent de combinaisons semblables; les petits cercles AjB'Cb A'B;D; résultent de combinaisons dissemblables, et parmi les sphères tangentes aux quatre sphères A, B, C, I), il n’y en a -aucune qui puisse toucher la sphère A en un point de l’intersection de ces deux derniers cercles. En effet, par ce point on ne pourrait mener qu’une sphère qui toucherait les deux sphères A,

B intérieurement ou extérieurement, puisqu’il appartient au cercle A;B^Cf; niais par ce même point on pourrait mener une sphère qui toucherait les deux sphères A et B, l’une intérieurement, l’autre extérieurement, puisqu'il appartient au cercle A'B'JX; or lorsqu’une sphère touche deux sphères A et B, les contacts ne peuvent pas être en même temps tous deux extérieurs ou tous deux intérieurs, et être l’un extérieur, l’autre intérieur; doue il n’y a aucune sphère tangente aux quatre sphères A, B, C, D qui puisse toucher la r sphère A au point d'iutcrseclion des deux cercles de combinaisons dissemblables a :b;c;, a;b;d;.

En raisonnant de la même manière sur deux autres petitSvcerdés de combinaisons dissemblables, situés sur la sphère A, on conclura qu’une sphère tan» pente aux quatre sphères A, B,C, D ne peut loucher la 'sphère A qu'aux points communs à l’un quelconque des quatre cercles (E), et à deux des cercles (E1); d’où il suit qu’il y a en général seize points de contact de l’une quelconque des qgatre sphères A, B, C, D, et d’une cinquième sphère qui les touche toutes quatre en même temps.

Ayant déterminé sur l’un des cercles (E) de la sphère A, les quatre points de contact de cette sphère A et de la sphère qui touche les quatre sphères

A, B,C, D, on mènera par ces points les rayons de la sphère A, et ces quatre rayons prolongés contiendront les centres de quatre sphères tangentes aux sphèreUA, B, C, D. De plus, ces centres seronl’sur l’un des quatre plans (art. 91) qui contiennent les centres des sphères tangentes aux trois sphères A,

B, C, et qui correspondent aux quatre cercles (E); donc les centres et les rayons de quatre sphères tangentes aux quatre sphères A, B, Ç, D, seront déterminés. On construira de la même manière les centres et les rayons des douze autres sphères tangentes aux mêmes sphères A, B, C, D. (A7 oyez lu Correspondance sur l'École polytechnique. Juillet, 1812, tom. Il, pag. 337.)

Résumé des propositions relatives au contact des sphères et des plans , et des sphères entre elles ( art. 77-93 ).

i* Un plan peut toucher trois sphères données de huit manières différentes ;

a° Une sphère d’un rayon déterminé petit toucher trois sphères données de seize manières différentes;

3" Lorsqu’une sphère variable de rayon se meut en touchant constamment trois sphères fixes données de grandeur et de position, la courbe formée sur chacune des sphères fixes par la suite de ses points de contact avec la sphère mobile, est un cercle, et la ligne que le centre de cette dernière sphère parcourt, est une section conique;

4" Trois cercles donnés dans un plan peuvent être touchés par un quatrième cercle de huit manières différentes;

5" Quatre sphères peuvent être touchées par une cinquième sphère de seize manières différentes.

De l’aire d'un triangle sphérique, ou de la surface de la sphère , comprise entre

trois arcs de grands cercles. '

V aiffl * • tf* Vft * •

94. La surface entière de la sphère est équivalente à l’aire de quatre grands cercles de cette sphère. Prenant le rayon de la sphère pour unité, et s pour

iq8 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

la circonférence de l’un de ses grands cercles, a* ( ou huit angles droits) sera l'aire totale de la sphère. Qu'on imagine cette sphère -découpée en fuseaux par des plans passant par un diamètre de cette sphère : deux Quelconques de ces plans comprennent entre eux un fuseau, dont l’aire dépend évidemment de l’angle compris entre ces deux plans. Supposons cet angle mesuré par un arc A du grand cercle ». Les aires de la sphère entière et du fuseau sont dans le rapport de * à A. On a donc la proportion :

t : A :: air surface entière de la sphère : aire du fuseau ;

d'où il suit que a A est l’expression de l’aire de ce fuseau, le rayon d« la sphère étant l’unité.

Cela posé, considérons ^ triangle sphérique ABC (pl. 3 1 , fig. j), dont un côté AB est un arc du grand cercle ABB'À' qui partage la sphère en deux parties égales, l’une au-dessus, et l’autre au-dessous du plan de ce cercle. Soient AC A’, BCB', les deux autres grands cercles. Les plans de ces trois grands cercles comprennent entre eux trois fuseaux. En comparant les aires de ces fuseaux à Paire de l’hémisphère supérieure, on voit que cette hémisphère est composée i* du Biseau AA'BC compris entre les deux plans qui se coupent suivant le diamètre AA'; a° du fuseau BB'ÂC diminué du triangle sphérique ABC ; 3° du fuseau CC'A’B’ diminué du triangle sphérique A Ü'C, dont l'aire est égale et opposée 4 celle du triangle ABC : or A, B, C étant les angles donnés du triangle sphérique, les aires des trois fuseaux AA'BC, Bfi’AC, CC’A'B'- sont respectivement aA, uB, aÇ. Donc nommant T l'aire du triangle sphérique donné, et se rappelant que » est l'aire de l'hémisphère, on a l’équation suivante :

ir = aA -+- (xB — T) -4- (aC — T);

d’dù Ion tire :

c’est-à-dire que l’aire d’un triangle sphérique tracé sur une sphère dont le rayon est l’unité, est l’excès de ses trois angles, sur deux angles droits, la surface de la sphère étant huit angles droits.

Tous ceux qui ont étndié la géométrie de M. Legendre connaissent ce théorème remarquable; qu’il a donné pour réduire la résolution des triangles sphériques très-petits, à celle des triangles rectilignes :

« Étant proposé un triangle sphérique dont les côtés sont très-petits par rapport au rayop de la sphère, si de chacun de scs angles on retranche le tiers de l’excès de la somme des trois angles sur deux angles droits, les angles ainsi diminués pourront être pris pour les angles d’un triangle rectiligne, dont les côtés sônUégaux en longueur à ceux du triangle sphérique proposé. » , % > '