CHAPITRE III

§.-l*r. MJ TRACÉ DE LA PERSPECTIVE UKKAIRE.

179. L owrt à mettre en perspective étant rapporté aux déni plans de projection horizontal et vertical, 011. suppose qu’on a déterminé, pour diaque partie de cet objet, le contour apparent, les lignes visibles qui ont polir limite ce contour, les lignes de séparation d’ombre et de lumière, le* lignes contours d’ombses portées, les points brillai» ; le tracé de la perspective ne dépend plus alors que de la forme du tableau et de sa position par rapport h l’objet et au spectateur. ?* •.

La surface d’un tableau peut être plane ou courbe; elle est courbe dans plusieurs circonstances, par exemple, lorsqu’il s’agit de décorer l’intérieur "d’un édifice voûté, tel qu’un dôme dont la voûte est sphérique ou elliptique; le plus souvent le tableau est plan. On le suppose ordinairement placé entre Pobjet et le spectateur; dans celte hypothèse, les dimensions du dessin sont plus petites que celles de l’original : elles seraient plus grandes, si le tableau était derrière l’objet par rapport au spectateur.

La position de l’œil par rapport au tableau, est donnée; on le met ordinairement sur une perpendiculaire à la surfacedu tableau, passant par le milieu de cette surface : la distance de l'oeil au tableau ue doit pas beaucoup différer de celle à laquelle ou se tient d’un objet pour le voir distinctement. I* champ de la vue n’est pas seulement limité pâr la distance de l’œil à l’objet, mais encore par l'angle des rayons visuels extrêmes.

On Voit confusément la partie d’uu tableau placée hors du côue quf a son sommet à l'œil, et dont le côté fqit avec le rayon visuel dirigé vers le milieu du tableau, un angle plus grand que le demi-angle droit. La plus petite distance à laquelle on voit un objet distinctement est, pour les vue; ordinaires, un décimètre. Un dessin réduit ne produirait plus J’effet de la perspective, si, d’après l'échelle de réduction, la distance de l’œil au tableau devenait moindre qu’un décimètre. Les points de vtffc pour les plus grands tableaux, tels que les toiles d’avant-scène des théâtres, ne sout pas à plus de quinzè mètres du spectateur.

Lorsque la surface du tableau est un plan vertical, on le place ordinaire-

aC4 GÉOMÉTRIE DESCtUPTiVÊ. .

ment entre l'objet et le spectateur, de manière qu’il soit parallèle à l'horizontal qui passerait partes deux yen* dft spectateur. D’après -cette eonvewtio», on est dahs l’usage, pour juger l’efiet d’un tableau, de se placer parallèlement à son plan, de manière que Ha-iT soit 9 la hauteur de son centre; si le point de vue s’écarte sensiblement de cette position par rapport au tableau, la pers- * pective prend le nom i\’ar/amorj>Ju>sv. Nous ferons conuaitre dans ce chapitre les anamorphoses directes et par réflexion.

He ki perspective cl’un sy terne de points sur un tableau plan et vertical.

tfeoi Chaque point à mettre en perspective est déterminé par ses projections sur-deux plans, l’un horizontal, l’autre vertical: le plan vertical .ilü ta-’ OLeau. qst donné par sa trace Sur le plan horizontal. On projette les rayons visuels dirigés vers les, points dopnés, sur un plan vertical perpendiculaire au plan du tableau. L’œil, considère comme un pojni, étant donné par se? projections, les projection* horizontales et verticales des rayons visufels, sont déterminées. Chacun de ce? rayons çst coupé par le plan du tableau en un point,. qui est hçjiersjiCGtive du point d'où part le rayon visuel. Pour construire ce point sur le tableau même, on connaît Ja verticale du point du tableau qui. le qoutieut, et sa distance à la trace horizontale de ce plan ; d’où il suit qu’en regardant,çettii trace comme une ligne d’abscisses, et les distances des points du tableau à cette traçe pomme dos ordonnées, la perspective de chaque poiijt est déterminée par une abscisse et une Qrdonnée connues.

De la perspective^' une ligne droite ou courbe, sur un tableau plan ou courbe.

1 3 1 . On dî vise ta ligne courbé donnée*en un nombre de parties assez grand pour que chaque partie puisse être considérée comme une petite droite. Le* rayons visuels, 'dirigés de cette ligne vers l'œil, forment une surface Cubique, dont la courbe d’intersection par la surface du tableau, est la perspective dé la ligne. Cette courbe passe par les perspectives des points de division de la ligne proposée,’ t’cit-h-dire par les intersections des rayons visuels dirigés de ce. jKjiuts vers Pcéil, et de la surface plane Ou courbe du tableau; intersections qu’on Itouve par 1» méthode exposée liv. I", page 38. r < -•' .^ - •

Lorsque la lige a à mettre ,'err perspective est iine droite, le cône tics rayons visuels devieqt un plan. 1 ' —

On nopi me ligne originale ou solide original, la ligne où le solide qu’il s1 agit tic mettre eh perspective. . - • - -. 1 r ' • *-*

sG5

De la perspective des droites parallèles; de la perspective d'an système de point', par la méthode dite des points de concours. ’

182. Le plan mené | ar l’oeil du spectateur et par une droite, coupe la sur- • face du tableau suivant mie ligne qui est la perspective de la droite. Dans le cas où plusieurs droites données sont parallèles, les plans ainsi menés passent par une droite qui leur est parallèle ; si cette droite, "qui passe aussi par l’œil, rencontré la surface du tableau prolongée indéfiniment, le point de rencontre se nomme ftoint de concours des perspectives des droites parallèles données. Lorsque la surface du tableau est plane, ces perspectives ont nécessairement un point de conconrs, à moins que les droites parallèles entre elles, lé soient en même temps au tableau. •

* 83. Pour mettre ert perspective un système de points, par exemple, les sommets des angles de prismes ou de parallélipipedes à faces parallèles, on regarde chaqne sommet- comme l’intersection de deux droites parallèles aux arêtes des prismes, et on mène par l’oeil dit spectateur deux autre*; parallèles à Ces arêtes. Ces'dernières droites Coupent la surface plane dirtablean en deux points, qui senties points de Concours de toutes le» droites qui leur sont respectivement parallèles. Mais tes deux droites menées par le point qu’on veut metfre en perspective, rencontrent aussi le tableau en- deux points qui sont déterminés; les denx droites qui joignent ces derniers points et les -points de concours des droites menées par l’ceil, se coüpent; le point d’intersection est la ]ierspective du point, qui est par hypothèse le sommet d’im angle d’tui prisme donné.'

Cette méthode pour mettre en- perspective un- système de points sur un tableau plan, consiste à regarder chaque point comme le sommet d'un triangle dpnt les côtés parallèles à deux droites données, coupent le tableau en deux points, et qui a pour base la distance de CCS deux points, I perspective de ce triangle est un autée triangle de même base, dont les côtés passent par les points de concours des deux droites données; le point du tableau où ces côtés se rencontrent , est la perspective du sommet du premier triatiglé. . . 1

On se sert depuis long-temps de cettc'méthode des points de concours, pour mettre en perspe clive des édifices et autres monumens d'architecture. On on fak.aussi usage dans les ateliers où l'on exécute les décorations de théâtre. • . - » , *

aOG

. De la perspective d'un solide. .. <

1 8 j. La perspective d’un solide à faces planes ou courbes comprend la perspective dés points brilluns, et celle des lignes suivantes: i°'le contour apparent; n° les lignes visibles renfermées dans ce contour,, parmi lesquelles se trouvent le» lignes de séparation -d'ombre et de lumière , et les lignes contours d’ombres portées.'

On a exposé (art. tto) une métliode -générale applicable à une surface quelconque, pour trouver les contours appareils et les lignes de séparation d’ombre et de lumière dans l'hypothèse d’un point lumineux unique, ou de ravons lumineux parallèles. Lue autre méthode non moins générale donne les perspectives des contours appareils, eu considérant ces lignes comme des courbes taugeutos aux projections des génératrices de la surface proposée sur le plan du tableau, et en supposant que ces projections soient faites par un système de droites concourante» vers L’oeil; d'où il suit que la perspective d'un Mjlide quelconque se composera de lignes que l’on construira par point», ainsi qu’on l’a expliqué ( art. 180-1 83.), et de lignes tangentes à d’rtitres lignes connues sur le tableau, . • *

Mais lorsque le solide proposé sera terminé par mie surface appartenant à l’un des trois genres de- .surfaces que nous avons considérés dans le § III (p. ao8-a 1 G) de ce chapitre, les contours appareils et les lignes de séparation d’ombre et de lumière seront déterminés par des constructions plus simples, d’aile exécution plus exacte, puisqu'on aura deux projections orthogonales de ces lignes; il sera alors préférable de mettre chaque point de ces lignes en perspective par la méthode générale, ou parcelle des points de concours (art. 180-1 83). — • . • •

pur. Hlm exemple du perspective likéaire, par la méthode gexer alf. Perspective d'un cylindre posé sur un sodé ( PL 9. 'P ,fig- 1 » 2» ^ )•

\ 1 85. Le socle est un prisme à basé carrée ABDE{$g. t ), dont la hauteur est au ou bb' {fig- a ); le cylindre a pour base inferieure le cercle( FG11L, ih), et sa hautfcur est mesurée par les verticales lili (/'g- a).

On suppose le tableau verticalisés traces données sur les plans de projection sont les droites PQ (Jig. 1 ), pq (/ îg . a ). La position de l’œil du spectateur est déterminée par ses deux projections Q et o (/%. 1 et a ).

iGrj

• Perspective du socle. -

Le contour apparent du socle est formé des deux horizontales inférieures ( AD, ad y, ( AE, ae), des .trois verticales ( A, ad ), ( D ^fid ), ( E, ee' ), et étifm des Quatre côtésdu carre snpérieirr ( Ali DÉ, d'd ). Les rayons Visuels menés de l'oeil vers les extrémités de ces droites, sont déterminés par lenrs projections horizontales et verticales; ils rencontrent le plan du tableau ( PO, pq ) çn des points que l’on rapporte à fhorizontale PQ et à line verticale menée par un point quelconque de cette horizontale. Transportant l’horizotifale PQ (fig. « )*en l'Q, sur le développement (fig- 3) du tableau, on construit là perspective d’un poiqt quelconque tel que.-( A, d ), en menant le rayon visuel ,( OA, ad ), qui coupe le tableau au point ( A’, a ), et en rapportant cfe point sur le plan du tableau (fig. 3 ). La droite A' A* de cette fig. T'étant prise pour la verticale qui passe par Je point A' {fig. t ), il n'y a aucun point de la perspective qui ne sôit déterminé par deux droites, rectangulaires parallèles l’une à PQ {fig. 3), Vautre à A' A'- Ainsi, le rayon visuel (OA, oa ) {fig. i et a), étaut coupé par le plan dp tableau en un point ( A', a") distant de l’horizontale PQ (fig- i ), de la quantité pa' (fig. a ), on porie cette distance en A'« (fig. 3 ) sur la droite A 'A", et le point «' est la perspective du point ( A, a’}; on aurait de même la perspectivé (! (fig- 3) du point (R, Ai') (fig. t et a), en portant pli (fig. a), sur D# (Jig.- 3).

. Perspective du cylindre. 1

Le-contour apparent du cylindre est formé de deux droites de ce cylindre, qu’on détermine en menant par l’oeil deux plans tangcns à sa surface. Ces plans ont pour traces horizontales les droites OF, CG (fig. t ), tangentes au cercle FÇHI. Les points de contact F, G sur.ee cercle, sont- les projections horizontales des droites du contour apparent, et parce que le point O est sur une perpendiculaire K.K.' abaissée du centre K du cercle sur la trace horizontal^PQ du tableau, les verticales F, G du cylindre se projettent sur le plan vertical XV (fig. a \ suivant une seule droite ffi . 1-es perspectives de ccs verticales sa', yy (fig- 3 ) sc construisent comme les perspectives des arêtes verticales du socle.

La portion visible’du cerde inférieur du cercle,» pour projection horizontale 1 arc FGU (fig. • i ),-et pour perspective l'arc d’ellipse firy. I.e cercle supérieur n'est aussi visible qu’en partie, et sa perspective est l'ellipse intersection du cône optique qui a pour base le cercle ( FOUI, i'h\ par le plan du tableau.

GÉQMÉrRïE DESCRIPTIVE.

• Dtl XltïF. EXENPtF.

. De la j*enj>ectwe du piâdtMche. ( W, to. P, fig. il, v,p. )

,186. Le piétloiicUe, rfu'on emploie ordinairement comme support d'un l*usle ou d’un vase, est un solide de révolution composé d’une plinthe, d’uné scotie et d’un filet. L'axe de révolution du piédouebe étant (ph 10. P) la. verticale ad dit plaît vertical XV {fig. e ),ia ligne génératrice de ce solide est formée des deux verticales ee , il, et d’un arc d’ellipse «pii coupc ces verticales a angle droit, aux | oints e, A. Cotte ligne, eu tournant autour de la droite.au', engendre la surface du picdouche» La plinthe ‘et le filet du piétlouche sont dès cylindres qui ont respectivement pour hases les cerclés EFGTl, IK.I.M {fig, h ), et. pour hauteurs les verticales ee\ il {fig- v )■ * .

tableau est un plan vertical CIU) (fig. h), perpendiculaire aq plan méridion A BR' mené par l’œil du spectateur; la trace tld' du tableau sur le plan vwtical XY ( fig, y ), parallèle a ce plan méridien, est la projection Verticale de toutes les lignes droites ou courbes tracées sur le tableau.

Prenant pour unité de longueur le diamètre El'{ fig. h ) de la plinthe, l’apil est, dans ce'^ exemple^ la-distance 3 ! de l’hxc du piédouebe ; sa hauteur audessus du plan Wizoulal, est de i * Ces deux dimensions déterminent, suites plans horizontal et vertical, les points vers lesquels concourent les projections horizontales et verticales des rayons visuels.-Quoiquc ces points soient •au-delà du cadre de la plançhe,.oi » les concevra facilement sur les prolongemens des droites projections des rayons visuels; cùs droites n’ont pas été prolongées, afin de réduire les dimensions de la plaiiclm de cuivre. Ainsi les deux «Imites RR - LL’, tangentes au cercle du diamètre EE, coucou reut vers la projection horizoutale de l’œil, située sur la «boite ABU. La circonférence «iont le centre est sur eèttc droite, et qui a pour diamètre 1a distance de l’œil au tableau, coupe'leÿ cercles des rayons AG, AL aux quatre points R, S, ï,l|, qui s()n* tas projections horizontales «le quatre «Iroites verticales. Ces droites, qni forment le contour apparent des surfaces cylindriques de la pliirthqet du filet du piédouebe, mil pour projections verticales les droites ru, St. ke contour apparent de la surface de révolution, qui termine la scotie, a pour |>rojections, les lignes ( afyf, Il fl ) que l’on construit par les méthodes que nous avons exposées (art. i iG*i 18), Le pié«louclie Aant éclairé par des rayons de lumière parallèles entre eux, et dirigés suivant lu droile-(*J l ) ( fig, h et v), ie» mêmes méthodes dounent les projections liorizontale et verticale de la ligne de séparation d’ombre et de lumière sur la surface «le la-aeohe.

Dans la même hypothèse «les rayons de lumière parallèles, on construit

(art. 174) le* deux courbes dont les projections horizontale et verticale déterminent les projections. t, or'- ( fig. h et e) du point brillaut de la surface de la scotie. Considérant les cônes dont le sommet est l'œil du spectateur, et qui ont pour bases i* les contours apparens'des cylindres qui forment la plinthe et le filet,; V les. cercles qui terminent ces cy lindres ; 3° le contour apparent de la scotie; 4” les lignes dé séparation d’ombre et de lunûére Sur les cylindres et sur la scotie; les sections de ces. cônes par le plan vertical CD du tableau, forment sur le plan, développé {Jsg-p ), la. perspective du piédouche. L'intersection* du tableau et du rayon visuel dirigé vers le point brillant ( x, a'J,. détermine la perspective r? (/ig. p) de ce point.

. . Dus projections du contoiu afipareut.

137. Le contour apparent tlétcruiiné' par ses deux projections *Sy.</y«'8!/v (,/ig., h, y ) a plusieurs points remarquables: iu ceux qui sont situés dans Le plan méridien AUB’ passant par l’œil du spectateur. .Oir mène par la projection'de liceil sur lé plan vertical XY parallèle à AJîU' les tangenjes ««’, fi' fi’ , aux ares d'ellipses iue', iqf; les (Kiints de contact a, fi' se projettent sur le plan horizontal ( Jig. h) aux points a, 8; ce qui détermine les points («, si), (8,.8')>hi contour apparent, et fait voir (art. .1 55 ) que ce contour a tous ses points entre les cercles de la surface île révolution des rayons A*, A.3 {fie- h)i- ' ’ t

■a" Les points-silués dans le second plan méridien GAJ1, perpendiculaire au premier ABIV passant par l’œil. -

1 A plan horizoutnl mené par l'œil, coupe In verticale <ui en un point z, par lequel on rqène les tangentes z/i, zq aux arcs d’elljpse de la section méridienne de la surface p les deux points de contact n, y sont les extrémités du diamètre npq d’un cercle dont la jfrojection hurizoulale NGPQ coupe la droite GAHaux points O, P; ce qui détermine les points ( 0,p ),{ V,pj du contour apparent, - -•-» .

’3° Les points ( 6', p"), ( 1* ,p ) dy ce contour, situés sur le cylindre vertical qui a pour base le cercle RASTU ; ces points sont situés sur le cercle du diamètre npq, normale à la section tpéridienne de la‘ scotie aux points « , y'.

4” -bcs points les plus remarquables de la .ligne du coutour apparent, sont ceux pour lesquels les tangentes à cette ligue passent par l’œil du spectateur; les rayons visuels menés par ces points, appartiennent au cône qui a le cou-, tour apparent pour base, et de plus elles sont tangentes à cette base. La détermination géométrique de ces points est l'objet d'une note placée à Jp fin de ce livre (f^oy. celte note);puur les déterminer graphiquement, on mè-

lient par les projections horizontale et verticale de l’oeil, des droites respectivement tangentes aux projections horizontale et verticale du oofitonr apparent ; les points de contact 7, î de la projection horizontale, ^rle point / 'de la projection verticale, «ont situés. sur une perpendiculaire -j-Jy à XY, Une autre perpendiculaire à XY contient ies donx points de contact •, y, de la projection horizontale, et le point de contact t de la projection verticale; d’où il résulte qnc les rayons visuels des çjoatre points (», >• ) (<?, y ), ( f, r ($, t'), sont des tangentes du contour apparent poty ces mêmes points. Les intersections t', 4’ de ces rayons par le plan du tableau (Jig. p ), sont des points de .rebroussement de la perspective du contotir apparent. Les

tangentes i" «f , y ' «f concourent en un point uf de la perspective de l’axe de révolution. On détermine ces tangentes en les considérant comme les intersections du plan du tableau et des plans tangens à la surface du filet menés par les points (y, >’), (3, >’••), (Jig- h, V). Chacun 'de ces plans, celui par exemple. qui est tangent à la surface au point ($V)du contour apparent, coupa l’axe dç révolution de cette surface au point ( A, • )i le rayon visuel de ce point rencoqfre le tableau au point (fi, m’^, qui devient sur le développement du tableau (Jig. p. ), le poiut vers lequel concourent les tangentes ®V, ÿif aux points de rebroussement à', yf du contour apparent..

Pour construire lepoint(A, w) de l’axe dé révolution, oit amène le point (i, y) dans le plan méridien parallèle au plan vertical X.Y de projection, en décrivant du point A comme centre, avec A/ pour rayon, l’arc $#. Get arc coupe la trace horizontale du méridien Altli au point /’ par lequel on mène la perpendiculaire 3'&m à XY. Cette perpendiculaire rencontre l’tfrc d’ellipse énk au point <K; la tangente t"v de l’arc, menée par ce point, est la trace du ptan tangent à la surface de la scotie au point, (f, i' ); d’oo il suit que ce plan, et tous ceux qu’on peut mener par les points du cercle du rayôn Ai ou rencontrent l’axe de révolution au même point (A, k).

Développement du- tableau (fig. p), contenant la perspective linéaire du piédouche et de ses ombres.

188. Les projections horizontales et verticales des contours apparens dé la plinthe et du filet du piédouche, déterminent les projections des ravons visuels menés par les extrémités des verticales qui, forment ces contours. Les projections de ces rayon» RR’, rr1.... (Jig. A,v\ .coupent le plan CD dH tableau en des points tels que (R', py I.a droite CD (Jtg- h) étant transportée en C'IY {/•g p), «t le point R' {Jig- h) en R’ (Jig. p), on porté les hauteur» verticales dP\ dti (Jig- •>) en RV et RV'. (Jîg.p) et la droite r'/' est la perspective de la

GÉOMÉTRIf; DESCRIPTIVE. 371

verticale (R, ru) {fig. h, v du contour-apparent de la plinthe. Ou construit de la même manière {fig- p) les droites u’u', s’s', t't'Vqui sont les perspectives de* trois autres verticales formant les contours apparens de la jHrnthe et du filet, tes cercles qui terminent ces deux parties du piédoucbe, ont pour perspectives les ellipses intersections du plan dp tableau et des rayons visuels menés par les poipts de la circonférence de ces cercles, (.a première ellipse r'/'if n’est visible sur le tableau qu’entre les points de coutpct r*, tt' de celte ellipse et des -droites perspectives du, cou tour apparent de la plintlie. La seconde ellipse r'/V ' n'est aussi, visible que jusqu'aux points t , ■>., où elle coupe la perspective du co,ntoûr 'apparent de In scotie. J ai troisième ellipse est visible entre lçs points s*, f de la perspective du contour apparcut ts\ rt’' du filet. La. quatrième ellipse j'V’, perspective du cercle supérieur du iilCt, est vue en totabté. '■

La perspective totale du contour apparent.de .1* scotie est une courbe à quatre branches et à quatre points de rebroussement yf, Sr, ÿ qu’on a déjà construits (art. 18.7j.La branche perspective .de la partie (-.V, ji'y), {fig. h , v), du contour apparent, est invisible. Les trois autres branches seraient visibles en totalité, si l’ellipse perspective du cercle inférieur du filet ne cachait pas toute la branche t'a'ç', et les parties 3^, 4é'- des deux autres branches adjacentes.

De ta perspectiv e des ombres du picclouche. -

i8t). -Après avoir déterminé (art. ioo) les projections horizontale et verticale de la courbe de contact de la surface de la scotie du piédoucbe et du çôhe ou du cylindre lumineux, on considère cette courbe comme la base d’un-coue qui a pour sommet l’oeil du spectateur. L’intersection «le ce cône par le plan du tableau, donne {fig. p\ pour la perspective de la ligne de séparation.d’ombre et de lumière sur la scotie, la lign e abede/ghiibnea, qui a deux noeuds c et /.-Les lettres de là fig. [f, sans l’exposant p, se rapportent aux perspectives des ligues de séparation d’ombre «Jt de lumière, et des contours d'ombres portées. -Le cercle iuférieur «lu filet porte ombre sur la scotie, et la perspective du contour de cette ombre est la ligne nop qui a un nœud au. point o. .

Là scotie porte ombre .sur elle-même. La cylindre- des rayons lumineux, d’abord tangent à cette scotié, se prolonge et coupe sa surface suivent nue ligne dont ou construit les deux projections. La perspective de cette ligne se compose des deux parties gt/r, ist {fig. g) d’une même courbe., tangentes à la perspective de la ligne du séparation d’ombre et de lumière aux points L, g.

lyi GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

perspectives des points de la surface de la scotie, qui sont les limites du c'ontour de lontbre portéc par ta scotie sur elle-même. : • '

Uer piédouche étant éclairé par dès rayons de lumière parallèles entre eux, les perspectives de ces rayons ont sur le tableau (/ tg.p ) -un peint de Concours (art. t8-i). En supposant que cepointsoit déterminé, la droite menée (/*&• P) Par ce P0*»1 et par un point quelconque r de la cqnrbe gqr, rencontrera («.perspective abede delà ligne de séparation d’ombre et de lumière

sur la scotie, et le point de rencontre sera la perspective du point de cette ligne, dont l'ombre sur la surface de la. scotie, a pour perspective le point /-.

I -es lignes vif, xy (jîg. p) sont les perspectives des droites qui forment SHr la plinthe et sur le filet, les lignes de-séparation d’ombre et de lumière..

On n’a point considéré ( fig. p) les ombres portées par le piédouche sur le plan horizontal qui le supporte ; mais Ces ombres étant- connues sur le plan horizontal (fig. /»), le tfticé de leurs perspectives ne présente aucune difficulté. * '

11 n’y a qu’une partie e/g (Jig. p) de la perspective de. la ligne de sépa ration d’ombre et de lumière-sur la scotie, qui soit visible; le reste est caché par les couvbes-gqr, noep, perspectives des ombres portées snr la.-scotiepar elle-même et par le cercle inférieur du filet. .■

§ II. EXEMPLES JtB PERSPECTIVE LINEAIRE PAR LA MÊTffODE-DES POIXTS DE

coscorns. (PL n, P, n. P,. i3. P, i4- P.)

190. On a fait voir comment -(art. 180) la perspective linéaire se déduit. des deux projections de l'objet proposé sur deux plans rectangulaires, J-'un horizontal et l'autre vertical. Les rayons visuels menés des points principaux de l'objet original vers l’œitdu spectateur étant conuus par leurs projections sur ces-méiàes plans, l'intersection de ces m-nns par le tableau, détermine la perspective de l’objet.- L’application de celte méthode généralè-ne laisse ripn il désirer, lorsque Içs objets à mettre en perspective n’ont que de petites dimensions-; mais il y a des cas où le nombre et la grandeur des lignes de construction la rendraient impraticable. Supposons en effet qu’il faille exécuter les décorations cj'un grand théâtre. On prend ordinairement la toile d’avant-scène pour tablçau, et on suppose le spcçtateurplacé imtnédrateihent au-dessous de la première galerie ou des premières loges, et sur la ligne -du milieu du parterre, perpendiculaire au tableau. La toite a ordinairement quinze mètres de largeur j le spectateur est en. avant de cette toile d’environ le ineme nombre de mitres : en' supposant la profondeur du théâtre de quinze

mettes, les décorations du fond seront à trente mètres envîron du spectateur; les- aires sur lesquelles on tracerait les projections orthogonales, auraient donc cette dimension dans le sens de la longueur, ce qui entraînerait des opérations graphiques longues et pénibles : c’est pour les éviter, qu’on emploie les points de concours. Ces points étant donnés sur le tableau, on peut mettre en perspective tous les objets réguliers, tels que les monumens d’architecture, dont les dimensions sont exprimées en nombres. Au moyen dé ces nombres ou cotes, la projection perspective se construit directement sur le tableau, sans avoir recours aux deux projections orthogonales. On a déjà résolu plusieurs questions de géométrie descriptive pour lesquelles une de ces dernières projections se construit indépendamment de l’autre; les intersections cylindriques, coniques (art. 17a et 181, liv. Ier), en sont des exemples. La projection perspective peut aussi se déduire immédiatement des cotes qui fixent les dimensions de l’objet original, en faisant usage de la méthode des points de concours, dont nous avons exposé le principe art. 18a.

• Application du principe de la perspective par les points de concours.

191. La surface du tableau et sa position par rapport jux objets étant données, on conçoit par l’œil deux droites arbitraires, et par chaque point de l’espace à mettre en perspective, des parallèles à ces droites. Les perspectives de ces parallèles se coüpent en un point, qui est la perspective du point de l’espace. .

Lorsque le tableau est plan, les droites menées par l’œil coupent ce plan en deux points, qui sont respectivement les points de concours de leurs parallèles, et que je désigne par les lettres D et D'. Un point donné de l'espace est le. sommet d’un angle dont les côtés parallèles aux droites menées par l’oeil, coupent le tableau en deux autres points d, d'; joignant les points D et d, D et d’ intersections du plan du tableau et de deux droites parallèles entre elles, on a deux nouvelles droites qui se rencontrent, et le point de rencontre détermine la perspective du point de l'espace.

On peut supposer que le tableau soit 1111 plan vertical, et que les droites menées par l’œil soient deux horizontales, l’une perpendiculaire et l’autre inclinée à 43° par rapport au tableau, la perspective d’un point quelconque de l’espace sera dans cette hypothèse l'intersection des perspectives de deux parallèles aux droites horizontales; ces parallèles,* et la droite qui joint les points où elle rencontre le tableau, forment un triangle rectangle isocèle.

Pour donner un exemple de l’application du principe que nous venp^s

d’exposer, au cas'particulier des droites parallèles horizontales, nous allons considérer un système de carrés horizontaux, dont les centres sont situés- sur une verticale.

De la perspective des carrés par la méthode des po ints de concours. (PI. 1 1 . P,)

192. Soit un système de carrés horizontaux, dont les centres sont situés sur la verticale C (pl. 1 1. P ,Jlg- j), et supposons que les diagonales de ces carrés soient, en projection horizontale, les deux droites AB, DE. L’un de ces carrés a pour sommet nn point A du tableau vertical PQ; le plan horizontal qui contient ce carré, est à une distance donnée du plan horizontal mené par l’œil du spectateur.

Le point O étant la projection horizontale de l’œil, les droites OP, OQ, OR parallèles perspectivement aux côtés AD, AE, et à la diagonale AB du premier carré ABCDE, déterminent sur le tableau les points de concours, des parallèles aux côtés et à la diagonale de tout autre carré placé parallèlement au premier.

. Soit (fie. a) P'Q’ l’horizontale intersection du plan vertical cfu tableau et du plan horizontal meué par l'œil; on prend sur cette droite les trois points P', Q', R' pour les points de' concours des parallèles-aux côtés des carrés AD, AE (Jig. 1), et de la diagonale AB. Le sommet de l'angle du premier carré est. sur une verticale donnée a A.' (Jig. a\ à une distance connue A « de l’horizontale P'Q’. Menant les droites A’ P', A'Q’, A'Ri(^/%. 2), on a indéfiiûment les perspectives des droites AD, AE et de la diagonale AB (Jig: 1). L’arc de cercle décrit du point A comme centre avec AE pour rayon ( Jig. 1 ), coupe la droite PQ au point e , et la corde Ee de cet arc forme avec les droites AE, Ae tin triangle isocèle, dont la perspective déterminera celle du point E. Portant le côté AE «11 son égal Ae sur l’horizontale AV (Jig, a), et menant eS’ vers le point de concours S' des parallèles à la corde Ee (Jig— 1 ), le point E’, intersection des droites e’E', A’Q’, est la perspective du point E (Jig. 1 )t intersection des droites Ee, EA. Tirant la droite E'B’ vers P’, et menant par le point B‘ où cette droite coupe A’R’, une autre droite BQ', on aura le quadrilatère A'B’D’E’ pour la perspective du carré ABDE (fig. .

ig3. Ayant trouvé la droite A’E’ pour la perspective du côté AE (fig. 1 ), nous allons construire les points de cette perspective qui correspondent à des points de division donnés sur la droite AE- On imagine sur cette droite un [dan vertical, et dans ce plan un parallélogramme rectangle qui a la droite AE pour 1 uu de ses côtés. .Ayant pris pour l’autre côté adjacent, une longueur arbitraire A K. (fig. 2), dirigée suivant la verticale A (fig. 1 ) du tableau, on

la divise en autant de parties égales qu’il y en a sur la droite AE. La droite KL, dirigée vers Q', coupe Ja verticale EL au point I;, ce qui donne le trapèze AELE' {Jig. a) pour la perspective du parallélogramme rectangle construit sur AE {Jig. i) et A’K {Jig. a) connue côté9. Par les points de division de la verticale A'h, on mène vers le point Q’ les droites qui coupent la diagonale A'L du trapèze en des poilits, par lesquels ori abaisse des parallèles à la verticale E’L. Ces parallèles rencontrent la droite A'E’ en des points, qui sont les perspectives des points de division de la droite AE {Jig. i).

De la perspective du carré GHIF plus f>etit que te premier A RDE , et construit sur tes mêmes diagonales. (Fig. i et a, pl. 1 1. P.)

I * • »Sl .

tg'i. Le côté GII prolongé coupe le côté AE au point M, et on connait en nombres le rapport de la droite A K et de sa partie AM. On porte (Jig. a) de A’ en N une partie semblable A'N (*) de A' K, et on mène vers Q' la droite Nn, qui coupe la diagonale A'L au point n.’La verticale «M' coupe la droite A’E' au point M’, perspective du point M {Jig. t ) de la droite AE. On mène vers P' la droite M'H’G', qui çencontre la droite A'R' au point IF; les droites H’I Q’, H’G'P' coupent la droite D E' aux points G', F, parJesqoels on mène les droites G'F'Q', ITT', qui se rencontrent au point F' du quadrilatère F'G’H'l’, perspective du carré FGUI {Jig. i ) contenu dans le mémo plan horizontal que le premier carré ABDE.

Si le premier carré à mettre en perspective, au lieu d’avoir, comme le carré AUDE, l’un de scs sommets sur le plan du tableau, était placé ‘comme le carré FGHI, on prolongerait la diagonale FH jusqu’au point A de la droite PQ, et on regarderait ce point comme le sommet d’iin second carré A^.DE de même centre que le carré proposé. Connaissant le côté AE ou AD, on construira le trapèze A’B'E'D' {Jig. a), perspective du carré A RED, situé dans le même plan que le carré proposé FGHI. *

On aurait pu supposer que le |ilan*vertical du tableau passait par Je contre C {Jig.. i) du carré à mettre eu perspective. La trace horizontale PO deviendrait }iq. Cette droite pq serait coupée par le côté 11E ou FI du carré à mettre en perspective au point U ou V. Connaissant les distances CV ou CUr les points de concours des côtés des carrés et de l'uue de leurs diagonales, la perspective du carré ABDE ou IFGH sera déterminée.

(T) La longueur A S est le tpialrimuc terme tic cette proportion, dont lertroi» premiers termes sont connus :

AE : AM : : Alt : A lt.

De la perspective <lu carrç FGIII contenu dans un plan horizontal, dont la distance au plan horizontal qui contient le premier carré ABDE, est donnée.

ig5. Le plan du carré FGHI ( Jig . 1 ) coupe la verticale A en un point dont la distance à l’horizontale PQ du tableau est donnée ; portant cette distance sur

la verticale A 'a ( Jig . a), du point a de la droite P'Q' en T, la droite TR’ dirigée vers R’ est indéfiniment la perspective de la diagonale PH ( fig . 1) du carré proposé. En supposant ce carré et le premier carré ABDE dans le même plan horizontal, le côté GH prolongé coupe le côté AE au point M, distant du point A d’une quantité donnée AM. Portant cette distance en A m {Jig. 1), et menant la corde M/n, la perspective du point M sera déterminée par les perspectives des deux droites AME et M/n. Menant (/£. a) l'horizontale T/n’ == Am (Jig- i),les droites TQ’ et ni S’, dirigées vers les points de concours Q', S', se coupent.au point p perspective du point M {Jig. 1 ) ; d’où il suit que la droite /a P’ (y^. a) est la perspective indéfinie du côté GH {Jig. 1). Mais cette droite coupe la perspective TR' {Jig. a ) de la diagonale FH {Jig. t), au point h {Jig. a) ; donc ce point h est la perspective du point II { fig. 1 ). Menant hg,fii (Jig. a ) vers les points de concours P', Q', et tirant les parallèles G 'g, 1 ï à la droite A’n, qui coupent les droites hg, hi aux points g et i, on achèvera la perspective. du carré FGHI (Jig. 1 ),par les droites gflj, ifV qui se coupent ay point J de la droite TR’. On remarquera que les deux points F’, /sont sur une droite F/parallèle à la verticale A ‘a.

On aurait pu déterminer la perspective pijig. ‘a ) du point M (fg‘ 1 ) par une construction semblable à celle qu’on a faite-( art. 19*4 ) pour trouver le point M' {Jig. 'a ).

Des anciennes définitions, employées dans . les divers traités de perspective.

19G. Taylor (*), dans son Traité de perspective, appelle plan objectif le plan parallèle aux droites qu’il s'agit de mettre en perspective; ligne de fuite du plan objectif, l’intersection du plan du tableau et d'un plan parallèle au plan objectif mené par l'œil ; centre du tableau , le pied de la perpendiculaire abaissée de l’œil sur le plan du tableau.

(*) Célèbre géomètre connu pir le théorème fondamental de l'analyse mathématique; né en t685, mort en 1781 ; son Traite de perspective, outrage fort estimé, «été traduit en français, ' l'année 1787. En 1748, l’abbé de la Caille a publié son Traité d'optique, qui contient de fort bhns principes de perspective linéaire.

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La ligne de Alite des carres horizontaux que nous avons considérés (art. 1 92- 19$), est ('fig. a,/)/. 1 1. P) l’horizontale PQ'. Cette ligne contient six points de concours, savoir, les points’de côricours de deux diagonales, de deux côtés rectangulaires deS carrés," et des cordes des angles que ces côtés font avec le tableau. Ces deux derniers points se nomment points de concours des cordes. Des six points de concours, quatre suffisent, en prenant pour l'un d’eux celui des côtés des carrés. Ori emploie de préférence les points de concours les plus voisins du centre du tableau. Dans le cas néanmoins où ils seraient hors du tableau, la géométrie [fournit plusieurs moyens de mener des droites dont les pcolongemens passeraient par ces points.

De la perspective d’une suite de pilastres ou colonnes, dont les axes verticaux sont équidistans et situés dans un même plan. (PI. 12. P.)

197. Soient ( /?£. 1 ,pl. 12P), C,C',C" les axes verticaux d’une suite de

pilastres situés dans un plan vertical CC’C" ;on prend pour tableau up plan

vertical PQ passant par le premier axcC. Les sections horizontales des pilastres sont des carrés qui ont pour centres les points C , C1, C", et dont les côtés sont parallèles ou perpendiculaires k la droite CC'C". Le pointO étant la projection horizontale de l’œil, lés points P, R, S, S’ (Jig . 1) sont respectivement les points de «onceurs, i° des côtés des carrés perpendiculaires à la droite CC'C"; a0 des diagonale^ de ces carrés parallèles à la droite ACB , et -des cordes telles que K K.', et MM', bases des triangles isocèles cRr’ et CMM'. On rapporteces points surla ligne de fuite des horizontales, qui est sur le développement du tableau (Jig. q), la droite PSRS'. Le premier axe vertical C ( fig. 1) étant à la distance CP du point de concours P, on porte cette distance ( fig . a ) dé P en d, et la verticale de du tableau est la perspective du premier axe C (fig- 1). Le plan du carré ABDE coupe l’axe verticale en un point distant de la ligne de fuite PS’ (fig. 2) d’une quantité donnée; portant cette distance sur la verticale de, l’extrémité c de cette verticale-est la perspective du centre ducarré ABDE (fig. 1). Le point K dç ce cirré étant l’interçection des deux droites CR, RK' (Jig . 1 ), dont les perspectives concourent (fig. a) vers 'les points P et S', les droites cP, k'S' se rencontrent au point k (fig. a), perspective du point R (fig. 1). Le point k’ (Jig. 2), par lequel on mène la droite S'k'k, appartient à l'horizontale cq, parallèle à la ligne de fuite P dq, et on a ck' (fig. a ) == CR'

On aura de même la perspective du point L (fig. 1 ) par l’intersection des deux droites k'l....S, cc’c ....q (fig. a ), dirigées l’une vers le point S, l’autre vers le point de concours q‘ (fig. a) des côtés AE, BD (fig. 1) du carré ABDE.

a;8 GEOMETRIE DESCRIPTIVE.

Le point M (fig. i ) a poûr perspective le point m (fig- a ) intersection des deux droites mm'.... S, cc'c"....q.

Menant (fig. a ) les droites cAR , ke vers les points de concours ît et q , et les droites IbY, amY vers le point de concours P, les points a et b seront détemiinés, et tirant les droites ae, bd vers le point de concours q, on aura le quadrilatère ubde pour la perspective du carré Al} DK (fig. i).

ip8. Dans le cas où le point de concours q' serait trop éloigné, et hors du tableau, on pourra, sans y avoir recours, construire la perspective d’un point quelconque C' (fig. i ) de la droite CCC.

Ayant tracé le triangle isocele CCN rectangle en C, dont lé côté CN = CC =CN', le point N est l’intersection des drôles CN, N N’, dont les perspectives concourent (Jig- a ) vers les points P et S’. Tirant les droites rt'S' et cP, leurs prolongemens se coupent au poin^r perspective du point N (Jig. i ); mais le point C’ ( / ig . i ) est l’intersecti* des deux droites NC', N'C', dont les perspectives/iR,/i S se coupent au point e (yîg. a); donc ce point c' est la perspective du point C (Jig. t). Joignant les points c, c, la droite ccc’.... (Jig. a) est la perspective indéfinie de la droite CC’C".... (Jig. i).

199. Fonnant (Jig. i ) le carré CG'UV, qui a potrr centre le point a, on

abaisse de ce point la perpendiculaire «T $ur CC’C', et l’on porte CT = —

en CT, pour déterminer la corde TT’ parallèle à OS. Les deux droites cCc", iS (fig-. a), -se coupent au point t. tpii est la perspective du pointT(/?£, i). Les droites /P. cR ( Jig. a) se rencontrent au point », perspective du point » (Jig.ii). Les droites eu' et çu coupent les droites cV, eu dirigées vers le point P, aux points v et u, qui sont les perspectives des points V'et U (Jig II). Joignant les points v, u (fig. a), la droite uv est la pei-spective de la droite UVX (Jig. t), parallèle à la droite CC’C”, et distante de cette droite de la quantité CU=CC.

La droite c'R (fig. a) coupe la droite uv au point a-; menant par ce point x la droite Par, qui rencontre la droite ccc'... au point c, ce point appartient à la perspective ed" de l'axe C” (fig. i). De même, tirant cVR et .r'P, cette demiere droite j>rolongéc coupe la droite ccc au point c" de la perspective c’"d”trun axe C "(//g. i ).

Toutes ces constructions dérivent du principe que nous avons exposé(art. 18a et 190), et qui consiste à regarder les points qu'il s’agit de mettre en perspective, comme les sommets d'angles dont les côtés sont parallèles à deux droites fixes, menées par l'oeil du spectateur.

De la perspective des carrés qui ont leufs centres sur les axes verticaux C, C', C' (ftgt) de pilastres ou de colonnes dont les dimensions sont données (PI. la.P).

a oo. Nous avons construit (art. 194) la perspective aide (pi. rx,Jig. a) du carré ABDE(/Ï£. i).On sait (art. 19/4 et iq5) comment on trouverait la perspective d’autres carrés FG1H, situés ou non dans le même plan que le premier, et dont les centres situés sur Taxe C, seraient à des distances données du premier centre e(Jig. a ). Nous allons maintenant construire la perspective yz d’un carré YZ ( Jig . 1 ), dont le centre est en C' sur l’horizontale CC'C'. Les points Y et Z de ce carré sont les intersections des droites CY, YY', et CZ, ZZ’, qui ont pour perspectives {Jig. a ) cyc et^'S, cz et zz'S ; d’où il suit que les points y, z* sont les perspectives des points Y, Z. Tirant les droites ^P, zP vers le point de concours P des côtés do carré, la ilroito eu vers le point u perspective du point U {Jig . 1 )de la diagonale C’U, la droite c'R (Jig. a) vers le point de concours R de la diagonale C’X (Jig . 1); ces quatre droites comprennent entre elles le quadrilatère yzsl (Jig. a ), qui est la perspective du carré YZ$ {fis- 1 )• Connaissant la perspective de ce premier carré, on construira (art. 195) la perspective de tout autre carré qui a pour côté la droite C’4, pour centre un point de Taxe C’, et dont le plan est parallèle à celui du premier carré.

On opérera de la même manière pour îles carrés ou des parallélogrammes rectangles qui auront leurs centres sur Taxe G”, et dont les plans seront perpendiculaires à cet axe; d’où il suit qu’il n’y a aucun pilastre dont on ne puisse construire la perspective par la méthode que nous Venons d’exposer.

Perspective de deux pilastres. ( Fig. a, pl. 14. F. )

On voit (fig. a, pl. «4- P) la perspective de deux pilastres consécutifs; 011 y a marqué des mêmes lettres les points déjà trouvés (fig. i,pt. il P).

Dans le cas où les verticales C, Gy C'..., pl. ta. P, seraient les axes de colonnes, on aurait pour sectious horizontales, à diverses hauteurs, des cercles, et ou met chaque cercle en perspective par la considération de deux carrés à côtés parallèles, l’un inscrit, et l’antre circonscrit; les perspectives de ces deux carrés déterminent huit points et quatre tangentes de la courbe qqi est la perspective du cercle.

fc.

De la perspective d’un cercle par ha méthode des points de concours.

(El. i3. P, fig. i et a. )

aoi. Soit LMNK (fig. i, pl. i3. P), le cercle à mettre en perspective sur un tableau vertical PQ ; on inscrit et on circonscrit'à ce. cercle deux carrés FGHI, AUDE, dont les côtés ^ont , parallèles aux deux droites OP, OQ menées par l’oeil O. Les points de concours de ces côtés, de la diagonale AB, deseordes parallèles KU, NT, sont respectivement les points P, Q, R, S' sur la ligne de fuite PQ. Rapportant, cette ligne de fuite ( fig . a) sur le développement du plan du tableau, ou construira sur ce plan développé (art. 19a), les quadrilatères -perspectives fghi, abde des carrés inscrite et circonscrits, et les droites l/n, ni perspectives des droites LM, NK. {fig. 1 et a), qui divisent les carrés chacun en quatre carrés égaux. Les quatre sommets,/; g, h, i du premier quadrilatère appartiennent à l’ellipse perspective du cercle ; Jes quatre côtés du second quadrilatère abde sont tangens à la même ellipee, aux points i, l, m, n, perspectives des points K, L, M-, N (fig. 1 ), extrémités des deux diamètres rectangulaires LM, K N du arrcle «proposé. Huit-points et quatre tangentes déterminent assez exactement le contour de leUipse perspective de ce cercle (*).

Conclusion.

aoa.'Nou* avons mis en perspective des carrés à eôtés paratlèles, qui ont leurs centres. sur les axes des pilastres ou colonnes, et dont les plans sont horizontaux. On en déduit la perspective, 1“ des parallélogrammes dont les côtés sont parallèles aux côtés des carrés; a0 des sections circulaires horizontales, qui ont leurs centres sur les axes : d’où il suit qu’ayant le dessin géométral d’un ordre quelconque d’architecture, on pourra en construire directement la perspective, en ne faisant usage que des cotes ou nombres qui fixent les dimensions des parties de cet ordre, et sans a voit- recours à la combinaison des deux plans de projections orthogonales.

ao3. Le dessin perspective (pl. 18. P) a été construit d’après cette méthode,

(*) On démontre plusieurs propriétés très-remarquâbîes des ellipses et d'autres sections coniques, en considérant ces lignes comme des perspectives de cercles; la théorie 'des transversales comprend des propositions qui sont des conséquences des principes de perspective appliqués aux ligues droites. Cette géométrie perspective a été traitée dans plusieurs ouvrages anciens et modernes fort estimés. Voyez la Théorie des transversales , par Carnot, et deux opuscules de MM. Servois, Brianchob, professeurs des écoles d’artillerie (Paris, 180/* et 1817).

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a8i

par M. Girard. Il représente un chapiteau dorique du théâtre de Marcellus, dont la Jig. à fait voir la demi-section passant par Taxe. Ce chapiteau est composé dé parties dont on a fait l'énumération (art 177). 11 diffère du chapiteau de la pl. iG. O, parles deux filets au-dessu* du gorgcrin, qui sont substitués au eavct.

Au-dessus du tailloir, composé du larmier, d'un talon et d’un filet, la Jig. a donne le profil de l’architrave, delà frise, etdu filet qui les sépare.

La hauteur verticale comprise entre les naissances du gorgerin et de l'architrave est d’un module. Le plan du tableau sur lequel on a construit la perspective (pi. 18), passe par l’axe vertical AU du chapiteau, et le module y est représenté par la partie ab de cet aie.

Le plan horizontal mené par l’œil coupe celui du tableau suivant la droite ARO, sur laquelle on donne la projection O de l’œil et un point de concours R des diagonales des carrés du chapiteau, qui ont leurs centres sur l'axe AB. La distance de l’œil au tableau est mesurée par la droite OO' (hors du cadre de la planche').

Avec ces données et l’échelle en module de la fig. a , on peut tracer le dessin perspective pl. 18, P. Le point a de l’axe vertical AU étant par hypothèse le centre du carré qui termine le filet du tailloir, le centre du carré inférieur du larmier est au pointede cet axe, distant du |>oint a de la quantité ac donnée par le profil (Jig. a), en parties du module ab. Ce carré a pour perspective le quadrilatère defg, dont la diagonale de concourt vers le point II de la ligne deTuitc ARO. Le contour r, 1, 3, 4,5 est la perspective de la section par l’axe du chapiteau, dont le plan est parallèle à deux faces du larmier, lesquelles faces passent par les droites parallèles qui ont pour perspectives les côtés dj, gedu quadrilatère dgfe.

§ III. des anamorphoses. (Pl. 14. P. fig. t.a, 1 .b, i.a a .b.)

ao4- La plupart de ceux qui commencent l’étnde de la perspective ne considèrent le tracé d’un, dessin perspective que comme un simple problème de géométrie; ils n’ont point égard aux positions respectives des objets, de l’œil et du tableau : souvent ils placent l’oeil du spectateur tellement prés du tableau,que la perspective, quoique construite^par lus règles de la géométrie, paraît fautive. Elle l’est réellement dans ce sens, qu’un objet j^tcé à la même distance du spectateur, ne lui présenterait qu’une image confuse. Il y a encore confusion dans l’image; lorsque le spectateur ne se place pas au point de vue pour lequel le tableau a été fait. On voit ordinairement des dessins fort irréguliers, dans les cabinets de physique, où Ton fait des expériences qui ont

u8js GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

seulement potirobjetde produire des illusions, et d'inspireran speelalenr de la crain te ou de l'étonnement. Ces dessins, vus de face sur les parois du mur, ne présentent qu'une difformité choquante; mais si l’on regarde par une petite ouverture à travers une planchette placée d’équerre sur le mur, la difformité se change en un objet qui produit une surprise agréable. Cette perspective, qui n’est pas construite pour un point de vue placé sur la perpendiculaire élevée par son ceutrc, se nomme anamorphose; an en trace les contours par les règles ordinaires. Ayant placé un petit dessin bien exécuté dansant plan perpendiculaire^ la face peinte du mur, et très-près de ce mur, on regarde ce dessin comme la base d’un cône optique, don.t l’intersection par le plan du mur, détermine la perspective linéaire dite anamorphose. Les rayons visuéls de cette perspective étant très-inclines par rapport au tableau, elle paraît difforme et très-irrégulière aux curieux qui ne sont pas prévenus qiùm -s'est écarté de la règle ordinaire pour le placement du poiut de vue, et qui le cherchent à une certaine distance du mur, en face du tableau.

•jo5. On réunit quelquefois dans un mème'cadre une perspective ordinaire vue de face, et deux perspectives anamorphoses vues de côté. Cette espèce de tableau se compose de lames étroites, de forme rectangulaire , placées à angle droit sur un plan. La première perspective est dessinée sur ce plan pour un point de. vue situé sur la perpendiculaire au milieu du tableau. Chacuue des deux autres perspectives est tracée pour un point de vue placé à droite ou, à gauche du premier; de manière qu’un petit mouvement de tète amène l’oeil dans la -position- convenable pour voir successivement trois objets différons?

aoG. Les anamorphoses sont directes ou réfléchies. Les premières se construisent comme les- perspectives ordinaires; les secohdes doivent être vues |*ar réflexion : elles sont tracées sur un carton qu’on suppose éclairé. I^es rayons de lumière qui partent du contour de chaque figure, se réfléchissent sur un miroir pour arriver à l’oeil du spectateur. L’image régulière qui se réfléchit sur le miroir, détermine la figure irrégulière qu’on doit tracer sur le carton. Les miroirs dont on se sert Ordinairement dans les cours d’opliqitej pour produire ees phénomènes, sont ou cylindriques, ou coniques, ou pyramidaux.

Une perspective étant donnée sui*un tableau plan, on considère le point de vue de ce tableau conaïqp le sommet d’un cône optique* qui a pour base le dessin perspeAve. L’intersecifon de ce cône et de la surface dn miroir, doit produire sur l’œil le même effet que le dessin perspective : or, chaque rayon visuel sç réfléchit sur le miroir en faisant l’angle d’inCideuce égal à l’angle de réflexion; donc la suite des rayons réfléchis il’après cette loi, forme une surface dont l’intersection par le plan sur lequel le miroir est. posé, donne la

•GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. a83

perspective anamorphose réfléchie. Les rayons de luraière.qui partiront des points de cette perspective, se réfléchiront vers l'œil du spectateur, et produiront la même image que le dessin perspective vu directement.

Exemple. On demande l’anamorphose par réflexion, qui fait voir un cercle sur nn, miroir cylindrique. Soient (j>t. 14. P .Jig. i.a.Jig. i.b) ARCD, A llai le plan et la coupe du miroir; h» position de l’œil est dounéc par ses projections O, o, situées sur une droite Oo perpendiculaire aux traces horizontides-XY, ET du plan de la Jig. i.i, et du plan parallèle, tangent à la surface du miroir. On imagine sur ce dernier plan un cercle du diamètre (IK, U), qui a pour centre le point (C, c); le cône optiqne dont ce cercle est la base, et qui a son sommet au point donné (O, o), pénètre la surface du miroir suivant une courbe (AUCD, Chaque droite du cône, telle que (OM, om), sc réfléchit suivant une autre droite qui coupe le plan (Jig. i.a)dc la base- inférieure

du miroir au point N. Ce point appartient à l'anamorphose PN(J du cercle. Les rayons de lumière qui partiront des points de la courbe P?(Q, seront réfléchis par le miroir cylindrique vers l’œil (O, o) du spectateur, et produiront la même apparence que le cercle (1K, ôf) vu directement.

La normale au poiut (M, m) de la surface du miroir étant, horizontale, sa projection (/ ig . i.a) LM A divise en deux parties égales l’angle OMX, qui a pour côtés les projections horizontales M N, MO d’un rayon incident sur le point (Ml m) du miroir cylindrique, et de ce rayon réfléchi vers l’oeil (O, o). La drofte(OM,0m) coupe le plan liorizontal au point li, par lequel on mène la droite HN parallèle à M>., qui coupe la droite MN au point N dé l’an:lmorphose.

La même construction s’applique au miroir conique {Jig. i.a,a.b)\ ABC!) est la base du miroir, A /U’ sa section par le plan vertical ALB; l’œil est sur le" plan vertical OCLD, au point (Ojo) de ce plan. On imagine un cercle(lK, ôf) dans nn plan vertical LF perpendiculaire à la droite OLf. Le cône optique qui a pour base ce cSrcle, pénètre la- surface du miroir suivant la courbe (MiM'.VT, mm m'y. Les droites de cecônc sc réfléchissent et forment une surface réglée, dont l’intersection NPQ par le plan de la base inférieure du miroir, est l'anamorphose du cercle (1 K, ù f).

(•) ta courbe mmm" Jig 1 .4), distincte du cercle ik au-dessous du diamètre U, te confond avec lui dans la partie supérieure. En opérant sur une plus grande échelle, on éviterait celle confusion. *

a84 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

§ IV| DH LA PROJECTION PERSPECTIVE, dite PROJECTION STÉR^OGRAPIIIQt'E.

(PI. 3i du 1er livre.)

207. Ce mode de projection n’est en usage que pour indiquer sur une carte, quori appelle mappemonde, la position respective des lignes tracées sur la surface de la terre, et des points remarquables du globe, déterminés par les intersections de ces lignes.

Considérant la- surface de la terre comme sphérique, on la divise par deux systèmes de plans; les uns méridiens, passant par l’axe de la terre; les autres perpendiculaires à cet axe, ou parallèles à l’équateur. Une mappemonde est uu plan sur lequel on a projeté les deux systèmes de cercles; savoir, les méridiens et les parallèles à l’équateur. Les géographes emploient pour la construction des cartes, plusieurs modes de projection, parmi lesquels on doit distinguer celui qui jouit de ces. deux propriétés très-remarquables :

1" Qu’un cercle quelconque de la sphère se projette suivant flfn autre cercle;

a° Que l'angle de deux tangentes à la sphère ne diffère pas de sa projection.

On satisfait à ces d?ux conditions en prenant pour plan de projection, celui d’un grand cercle de la sphère, et en faisant concourir les droites de projection vers l’extrémité du rayon perpendiculaire au plan de ce grand cercle. Considérant cette extrémité du rayon comme un point de vue, le plan du grand cercle comme un tableau, les droites de projection comme des rayons visuels, la projection dite stéréographique, est un dessin de perspective linéaire: nous allons démontrer les deux propriétés qui distinguent cette projection.

208. Soit (fig. 5, pl. 3i du livre I") ABOE le grand cercle d'une sphère, dont le plan passe par les trois points O, C,D, qui sont respectivement le point de vue, le centre de la sphère, et le centre d’un cercle quelconque de la sphère à mettre en perspective. Ce plan est perpendiculaire au tableau et au plan du cercle donné à mettre en perspective, puisqu'il contient deux droites UC, CD, dont l’une est par hypothèse perpendiculaire au plan du tableau; l’autre joignant le centre de la sphère et le centre du cercle donné, est aussi perpendiculaire au plan de ce cercle; d’oü il suit que le plan du grand cercle ABEFO contient la section principale EOF (art. ao5, liv. I") du cône oblique, qui a pour sommet le point de vue O, et pour base le cercle du diamètre EF, dont le plan EF fait avec le côté OE de la section principale, l'angle OEF; mais le plan AçÉB du tableau perpendiculaire au plan de la section principale, fait avec l’autre côté OF de cette section un angle F/B, qui est égal au premier EOF, parce qu'ils ont tous deux pour mesure la moitié d’un quart de circonférence AO ou OB, plus la moitié de l’arc BF ; d'où il suit (art. ao5, liv. I") que le plan Aç/Ti coupe le cône oblique suivant un cercle du diamètre ef, qui est

la perspective du cercle du diamètre EE. Cette conclusion s'applique à tout autre cercle; Il est donc démontré que tous les cercles de la sphère seront représentés par des cercles sur la mappemonde construite par la projection stéréographique. •

209. La seconde propriété de la projection stéréographique consiste dans l’égalité de deux angles, l'un formé par les tangentes à la surface de la sphère, l’autre par les projections stéréographiques de cçs tangentes. Cette propriété se démontre de la manière suivante r

* Soit COE ( fig. G, pl.it) le plan mené par le centre de la sphère, par le point . de concours O des lignes de projection, et par le sommetE de l’angle proposé. Ce plan coupe la sphère suivant le grand cercle ABOE du diamètre AB, et le plan de l’angle des deux tangentes, suivant EG perpendiculaire au rayon CE. La droite OE coupe le diamètre AB au point e, qui est évidemment la projection.stéréographique du sommetE de l’angle des deux tangentes à la surface de la sjiftre.

Considérant le plan des trois* points C, O, E comme vertical, le plan horizontal qui passe par le diamètre AB, contient le grand cercle AB ab de la sphère, et coupe le plan des deux tangentes suivant la droite GH';-or ces tangentes ne peuvent rencontrer le plan du grand cercle A l\al> qu’en deux points tels, que II, H' de la droite GII’, et la droite HH’ qui joint ces deux points, est le côté commun à deux triangles qui ont leurs sommets, l’un au point donné E de la surface de la sphère, l'autre à sa projection perspective e ou e ; mais ces deux triangles sont égaux; car, à cause de l’égalité des angles EeG, eEG, les droites EG et eG sont égales; donc l’angle qui a son sommet au point E, et dont les côtés passent par les points II, H', est égal à l’angle dont le sommet est au point e projection stéréographique du point E, et dont les côtés passent par les mêmes points H, H' (*).

210. 11 résulte décès deux propriétés qu'un triangle formé sur une sphère par trois arcs de cercle assez petits, pour que chacun diffère peu de la ligue droite, et le triangle qui est sa projection stéréographique, sont deux figures presque semblables.

(*) Lacroix, dam son Introduction à la géographie (seconde édition, Paris, 181 1), et postérieurement MM. Puissant, Delambre , ont donné (laos leurs ouvrages une démonstration A peu prés semblable, foudre sur la considération de l'égalité des deux droites EG, eG (fig. 6, pl.3t).

On lit dans 1‘ Astronomie de Delambre, tome III, que le plus ancien ouvrage k la connaissance de ce savant érudit, qui ait fait mention de la seconde propriété de la projection atéréograpbique, est un Traité de navigation de Robertson, imprimé en 17S4. La première propriété était connue du temps de Ptolomée.

3gle

Di

a 86 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

Construction stéréo graphique d'une mappemonde sur' le plan d'un méridien , (Fig. 7, pl. Si du Ier livre. )

air. Soit PP'a.o*.3o\.. (/ig- J,pl. 3o),le cercle de la sphère terrestre, contenu dans le plan d’un premier méridien ; oti divise sa circonférence en quatre parties égales, par les droites PP' et a.o% qui représentent l'une l’axe de la terre, et Tautre la trace de l'équateur terrestre sur le plan du premier méridien. On subdivise chaque partie en 90 degrés. Soient 0% 3o% 60".... a, b, dles points de division qui déterminent les parallèles à l’équateur, dçs diamètres b. 3o”, d.6 o".,..; les mêmes points déterminent les méridiens terrestres, dont les plans font avec le plan du premier méridien des angles mesurés par les arcs ab, bd... Il s’agit maintenant de construire la projection stére’ograi phique des méridiens et des parallèles à l'équateur.

1 Project ion stèréographique d'un parallèle à l'équateur.

ai a. Le parallèle d’une latitude donnée, 3o" par exemple, coupe le premier méridien aux deux points 3o’ et b (Jig. •) ); d’où il suit que la projection de ce parallèle, ou sa perspective sur le premier méridien qu’on prend pour tableau, passe par ces points.

Considérant le plan du premier méridien comme un plan horizontal, le plan vertical PP , mené par l'axe de la terre, coupe lp parallèle à l’équateur eu un point, et pour mettre ce point en perspective, on abat le plan vertical sur le plan horizontal. Le point du parallèle situé au-dessus du premier méridien, et à 90" des points b et 3o\ s'applique en 3o", et le point de vue situé au-dessous du premier méridien, au point a extrémité du rayon C a. Menant le rayon . visuel a.3o", qui coupe la droite PP' du tableau au point/ les trois points 3o”, b, /déterminent l’arc de cercle bf. 3o“, qui est la perspective du dgmi-parallèle à. l’équateur, situé au-dessus du premier méridien, dont la latitude est de 3o°.

Projection stèréographique d’un méridien • .

ài3. Frenons pour exemple le méridien de la longitude ab, dont le plan fait avec celui du premier méridien, l’angle mesuré par l’arc ab.

Le plan de l’équateur aC.o” étant abattu sur celui du premier méridien, l’intersection de ces deux plans prend la position Cb; le point de vue s’abat en P', et le rayon visuel Y b du point b du méridien, coupe la droite C« du tableau au point e, perspective du point b. Les trois points P, P\ e détermi-

lient l’arc de cercle PP'e, perspective du demi-méridien de la longitude ab situé au-dessus du premier méridieif.

On déterminera de la même manière l’arc PgP', perspective du méridien de la longitude ad. Tous les arcs perspectives des méridiens passeront évidemment par les pôles P, P’, et auront leurs centres sur le diamètre aC.o° intersection du premier méridien et de l’équateur terrestre.

l)es tangentes aux projections stéréographiques des méridiens et des parallèles ' à V équateur.

ai4- Les parallèles à l'équateur coupeijt le premier méridien à angle droit; or, l’angle de deux cercles quelconques de la sphère terrestre, ne diffère pas dé sa projection stéréographique ( art. 208 ) ; donc la perspective é/3or) d’un parallèle rencontre à l’angle droit le premier méridien aux points b et 3tr; d'où il suit qi*%les rayons C£ et C. 3o° sont langens à l’arc If. 3o°. Par la même raison, la tangente P p au premier méridien, et la droite P b tangente à la perspective PeP*du méridien delà longitude ab, comprennent entre elles l'angle bVq, qui a pour mesure la moitié de l’arc P db double de la longitude ab. L’angle de deux tangentes Vb,Vb' aux perspectives PcP% Pg»P de deux méridiens quelconques, est égal à l’angle des plans de deux méridiens.

a 1 5. La fig. 8" (pi. îi) est une mappemonde snr l’horizon d’un lieu dont la latitude est donnée. Le plan de l’horizon passe par le centre de la terre; la verticale menée par ce centre, coupe la sphère terrestre au point de vue. I,a ligne des pôles étantidonnée de position par rapport tu plan de- la -carte, la perspective du pôle situé- au-dessus de ce plan, est le point de Concours des perspectives des méridiens -visibles sur la carte.

216. Les deux propriétés de la projection stéréogrnpluque réunies, 'n’appartiennent qu’à la' surface dé lg -Sphère ; mais la première qu’on a démontrée (art. 207), a également lieu pour l’elKpsoïde de révolution, pourvu qu’on place l’œil à l’extrémité de l’axe de révolution. Toutes les sections planes de l’ellipsoïde vues de ce point, et projetées sur le 'plan de l’équateur, doivent paraître des cercles. Cette proposition nous ayant été communiquée par M. Legendre, nous avons démontré qu’elle avait encore lieu pour i’ellipsoïde à. trois axes inégaux, en projetant les sections planes de cette surface sur l’un des plans parallèles aux deux systèmes de cercles dont cette surface se com- .pose, et en faisant concourir les lignes.de projection, vers l’extrémité du diamètre qui passe par les centres des cercles parallèles au plan de projection. (Voyce la Correspondance sur F École polytechnique, t. I, p. 76, juillet i8o5.)

Notice sur les diverses projections employées pour la construction des mappemondes et des cartes géodèsiques.

a 1 7. On trouve, dansl'introduction à l« géographie, par M. Lacroix (deuxième

édition 181 1 ), des notions précises sur les divers modes de projections employés par les géographes. Après avoir défini la projection stéréograpliique, il. fait, mention d’une autre projection perspective, dont M. de Prony avait eu l’intention de se servir pour les cartes du cadastre. Le point de vue serait au centre de la sphère, et on prendrait pour tableau un plan tangent à la sphère. Il définit la projectjon orthographique, dans laquelle les méridicus et les parallèles sont projetés orthogonalement sur un plan. suivant des ellipses, lesquelles deviennent des cercles ou des lignes droites, lorsque le plan de projection est parallèle à l’équateur. La Hire a modifié la projection orthographique, en plaçant" l’œil sur le prolongement du rayon de la terre perpendiculaire au plan diamétral de la carte, k une distance de la surface de la sphère terrestre, égale ail sinus d’un demi-angle droit mesuré en parties du rayon de cette sphère.

M. Lacroix nomme projections par développement celles qur.se font en assimilant des portions de la surface terrestre à des zones de surfaces développables. La plus simple de ces projections se nomme projection, conique; elle se construit, en supposant que la zone terrestre, comprise entre deux cercles de latitude, est une portion dé cône droit tronqué. Cètte hypothèse approche d’autant,plus de la vérité que la carte embrasse moins. t}’étendue en latitude. M. Lacroix a fait connaître d’autres projections du même genre proposées par Bion, Arrowsmilh, Flamsteed, Nolin, Delisle, Dauville, Delorgna et Cagnoli. Les opérations, effectuées dans le. siècle précédent pour déterminer la figure de la terre, par la mesure des degrés du méridien et des parallèles, ont fait naître, dit M. Iatcroix, une espèce de projection très-importante, puisque c’est celle de la grande carte de France de MM. Cassini, le plus beau travail géographique qu’on ait exécuté jusqu’ici. (Voyez les Mémoires île Cassini, Académie des sciences, 1745, et le Traité de géodésie de M. Puissant, officier supérieur au corps royal des ingénieurs géographes, deuxième édition, a volumes in-4°, Paris 1819.)

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NOTES

Note I«.

Article 100, livre I", page 58. — Développement de surfaces.

M. Lacroix a donné, dans nn Mémoire présenté à l'Académie des sciences en 1790, 1a solution analytique du problème suivant : « Une coorbe quelconque étant tracée sur une surface dé- » veloppable, trouver ce qu'elle devient dans le développement de cette surface; et, récipro-

• quement, une courbe étant tracée sur un plan, trouver ce quelle devient, lorsqu'on enveloppe

• ce plan sur une surface donnée. •

Il a aussi publié cette solution dans le premier volume de son grand Calcul différentiel, in-4*, page 636.

Note II.

Après l’article 3g, livre II, page i58. — De l'hélice et de la surface héliçoïde.

Une droite étant Axe, on conçoit une courbe mobile, dont chaque point décrit une hélice sur un cylindre 1 base circulaire, lequel a pour axe la droite fixe, et pour rayon, Ijt distance du point de la* courbe h cette droite; le lieu géométrique des hélices de meme fat (art. 36, liv. Il), décrites simultanément par tous les points de la courbe, se nomme surface héliçoïde ; la droite fixe eslj'ax» de celle surface. I-a voûte qui supporte les marches d'un escalier à noyau, qu'on désigne dans les traités d'architecture çiar le nom de vis Saint-Gilles, est terminée par une suiface hclicolde, qui a pour génératrice nn demi-cercle, et pour axe, une droite verticale située dans le plan de ce demi-cercle, laquelle droite est aussi l'axe du noyau de l'escalier.

On conçoit deux plans, l'un passant par l'axe d'une surface héliçoïde, et l'autre perpendiculaire à cct axe; considérant ces deux sections et l'hélice décrite par un point quelconque de la première section autour de l’axe, on attr» trois choses, dont deux déterminent la troisième. De cette relation, j'ai déduit la théorie géométrique des Damas , ou lames figurées de douer, tjue j'ai exposée dans le cahier des Annales des Mines, mars i8o.'(, tome XV. J’avais antérieurement (en 1795) proposé cette question aux élèves de l'École polytechnique: • De ces trois choses d'une surface héliçoïde, la section par l'axe, la section perpendiculaire à Vaxe, l'hélice décrite par nn point quelconque de la surface autour de l’axe, deux étant données, trouver la troisième? • ( l'oyei le second cahier du journal in-4" de l'École polytechnique, page to3.)

NOTES

Note III.

Article ^9, livre II, page i63. — Des épicjrcloides sphériques , et de leur usage . dans la construction des engrenages.

O11 déduit des propriétés de l’épicvcloïdc sphérique, la solution de celle question de mécanique :

« Étant donnés deux axes fixes, et deux peints M, M' attachés mvariahlement à ces axes, on » suppose qu'une force appliquée iV l'un de ces points, à par exemple, le fasse tourner autour » du premier axe, on demande par cyiel mécanisme on doit joindre le point M au point M1, • pour que ce dernier tournant autour du second axe, les arcs de cercle parcourus dans le ■ même temps par les deux points, soient dans un rapport donné et constant. • .

' t'oyez la solution de cette question date» mon Traité tics Machines, 4e édition, année i8j9, pagc^l.). • ■ . .

Note IV.

Article 56, livre II, problème X, page 169. — Intersection de trois cônes ' droits à axes parallèles.

I,r problème X, page 167, a au plu» quatre solution» : pour le démontrer, n*us rapporteront le» trois surfaees conique» droite», lieu* géométrique» du point cherché; A 1n\is plan» rectangulaire», et non* supposerons que leurs <f*c* sont parallèle» A l'axe de^s; nous placerons le sommet du premier cônr à l'origine des coordonnés le sommet du second sur le plan de r;, au point Jétentfiné par les 'coordonnées x= a, t — h; le sommet do troisième, au point qui a pçut coordonnées sz=A’. • •

Nommant l,m, m les cotangentes des angles que les droites génératrices des cènes droits, fànl respectivement avec les axes de ces cènes on aura pour les équations des trois surfaces :

*’=f(x* +j*)i — tif -hr’}; 4- (s— *)\(

Développant les deux denMres équations, on a : •

(r-A)'=m\jr* -fj*) (a-A')*:=i»'* (.*■• /*) + ’*{«*'

et mettant pour x * -f- y \ la valeur égale — ;

(a — A)» ™ i‘ m% (®* — aoxjj (a— = m*’ (<*** -j- b'9 ) — •xdrri'x — ilitrPyi

à*Tm% -l-m’a* — /» (a — A)* .

d’où 1 on tire.: x — • . . . (1)

a/’mvn'* (a* -f* V*‘ — ad) -4* m'nî't* (<* — «’) -f- /* {et né9 (a — A)1 — atn* (a — A')’) f y aa6/*mW»

Substituant ces valeurs de x et y dans 1 équation a' = /• (x9 -t-y*)9

NOTES

l'équation finale sera évidemment du quatrième degré, cl à chaque racine de celle équation correspondront les valeurs linéaires de x et /, données par les équations (i) cl (a). Les quatre systèmes de valeurs correspondantes, qu’ou trouve pour x, y, t , déterminent qna're points communs aux tj^ois surfaces coniques des équations E, dont la jtosilion satisfait aux condition*» du problème X.

• Note V.

Articles - 6a, liv. Il, page 170.

Notice historique suii en piutbi.^me : Connaissant dans une pyramide triangulaire la Laïc rt lesm angles des arvtes opposés aux cdtés de la basé, construire le sommet de la pyramide ?

Les premières recherches sur la solutiou de ce problème se trouvent dans le deuxième volume des savans étrangers, Académie de Paris, année i"54; Eslève, de la Société royale des sciences de Montpellier, Kavaü mis eu équations; il posait ainsi la question : La base d’une pyramide triangulaire étant donnée , avec le s angles au sommet, déterminer les dimensions de la pyramide? Il avait pris pour inconnues, dans la pyramide triangulaire ABCD ( pl . Zo,Jig. C) les trois angles ADC, ADB, ABC compris entre les deux arêtes AD, Ail et les trois cAtés CD, DB, BC de la base; les quantités connues de In pyramide sont ces trois rAtés, et les trois angio opposés, qui ont pour sommet commun le sommet A de la pyramide.

Nommant b, e , d les côtés de la base BCD de la pyràmide ABCD; B, C, D les angles opposés à ces cAtés, qui ont pour sommet ecffhmun le point A sommet de la pyramide; x,y , x les angles inconnus ADC, ADB, ABC ? x?, /, x les angles ACD, A BD, ACB, on aura :

sin x = sin (x -p B] ; sin/' = sin ( y f- C) ; lin a*— sin *f D) ; d'dà l’on dédüit :

. ^jin/ csin/ c sin/ </sins' A ait» x ^sin s •

sin B siu C sm C sin D siu B sin D » ' r-

4*ùi x-f. B «sin (jt+ C) * c«inj-

• A*)' ÏV "* “ ' • - W-

sin B