SIU C
Les équations (1), (a), (3) renferment la solution du problème considéré dans sa généralité, et on en déduirait les valeurs de sin x, sin y, sin z , qui déterminent toutes les dimensions de la pyramide. • t
Estèvc n’a pas donné pour le cas général , l'cqûation finale qui ne contiendrait qu’une seule inconnue, par exemple sin x; il n'a achevé la solution que pour fe cas particulier où les deux
angles x et a seraient égaux. Alors lequation (1) donne c'est-à-dire, que les cAtés 6
d smD 1
et d de la pyramide, sont proportionnels aux sinus des angles B et D, opposés à ces côtés.
Dans cette hypothèse, l’équation finale est du quatrième degré en sin xr, et se résout à la manière des équations du second degré.
En 1773, Lagrange a publié dans le volume de l'Académie de Berlin, pour cette année, un mémoire sur la pyramide triangulaire, où Kon trouve les trois équations suivantes :
t 7 * — «7 cos B = A»;/* -f. a1 — %yx cos C = c*; x* -fc-x» — axa cos D zsji'+x, y, x
étant les trois arêtes de la pyramide; A, c, d les trois #Atés de la base; B, C, D les angles opposés à ces côtés.
29** NOTF.S:
Éliminant /, c , l’équation finale en x serait du huitième degré, ainsi que M. Lacroix l'a remarqué dans son Complément de géométrie, première édition , année i ;y5, page 85.
Eu 179$, Lagrange est revenu sur cette qnéstion dans le (Àwr* de mathématiques élémentaires qu’il fit aux écoles normales de cette année, conjointement avec Laplace, et il fit observer qu’en prenant pour incounues l’une quelconque des arflfc de la pyramide, et les rapports de celle-ci aux deux autres, l’équation finale ne serait que du quatrième degré. Le calcul avait été indiqué par Lagrange; je l'ai développé dans U Correspondance sty l'École polytechnique (tome II, juillet 181a , page 334). Faisant ^ = u, “ zz t, cos B = £, cos C=y, cos D=<7, les trois équations précédentes deviennent :
de ces trois équations, on déduit les deux suivantes du second. degrc en u et t :■
fr* {* + 1 * — ***) “^(t+a1 — \$u) l ^
e* (t -f* f* — 23V) ■= d » (a*-f- /• — lya/J ) * '*
L élimination de u ou de t entre ces deux équations, conduit à*une équation du quatrième degré en n ou en t.
Les deux solutions algébriques de Lagrange ne déterminaient pas le nombre des pyramides qui satisfaisaient aux conditions du problème; il notait pas prouvé que l’équation finale du huitième degré, à laquelle on arrive par la première solution, ne contenait pas des racines égales ou imaginaires, et cettè équation s’abaissant du huitième degré au quatrième par la seconde solution, ou pouvait croire que le problème ji’ctait susceptible que de quatre solutions distinctes. J’ai fait voir dans l article cité de la Cornr//K>nd<ZAcea(juU]ct 1812}, 1° qu’on pouvait obtenir les huit racines de lùiquation du huitième degré par l’inlcrseclioo d’une courbe du quatrième degré et de deux cercles dont les centres et les rayons étaient donnés; a#quc cette courbe du quatrième degré se construisait par points; 3° qu’elle était coupée par deux cercles en huit points, qui étaient les sommets 8c huit pyramides de même base. Ayant abaissé de chacun des huit sommets des perpendiculaires sur le plan de la base commune, et les ayant. prolongées autant au-dqssous du plan qu’eu -dessus, les extrémités de ces perpendiculaires sont les sommets de huit autres pyramides symétriques des premières, de même base et de même hauteur. J’avais démontré que les huit pyramides et leurs symétriques satisfaisaient aux conditions du problème, et qu ainsi ce problème; était susceptible de seize solutions.
1 Estève avait remarqué que le problème dont il s’etait occupé n était pas de pure spéculation; qui) pouvait être utile en géographie, ce qui en avait fait najtre l’idée, et qu’on pourrait l’énoncer ainsi : « Étant placé sur le sommet d’une montagne, et connaissant la distance qu’il y » a entre’ trois objets qu’on découvre dans la plaine, il s'agit de déterminer du mémo sommet,
• par les règles de la trigonométrie, la hauteur de la montagne et. la distance à chacun des objets » qui sont dans la plaine; enfin, tout ce qui appartenait à la pyramide, dont la base connue est
• dans la plaine, et le sommet à l’œil de l'observateur qui y mesure les angles formés. »•
Oh sait que la géométrie descriptive et son appliçalion à la théoricilu défilement ont pris naissance à l’École royale du Génie établie à Mezières en 1748, et que Monge a professé dans cette école pendant vingt ans de 1 784 à 1 804. On y proposait le problème d’Estève, comme unç application de la géométrie descriptive 4 la topographie. Monge en a donné la solution dans ses leçons aux écoles normales de 1795, et a publié cette solution dans le journal de ces écoles, tom. III, p. 347-3&1. St cette question était traitée par l’analyse (dit Monge, p. 349 du même journal ), elle conduirait généralement à une équation du soixante-quatrième degré. Ce savant
NOTES. a«j3
supposait qu’on aurait pris pour inconnu», I» trois coordonnées du sommet d^la pyramide, et que ce sommet serait .déterminé par l'intersection de trois surfaces annulaires; I» équations de c» surfaces étant chacune du quatrième degré, on pourait en conclure que généndement l'équation finale non réduite serait du soixante- quatrième degré. Monge n'avait pas effectué ni discuté c» calculs; il S'oulait seulement montrer dans une leçon orale de géoinétKe descriptive, que pour certains problèmes, I» constructions géométriques étaient préférables aux calculs algébriques.
Es t8x5,'M. Bruno de Naples a publié un piémoire écrit en italien, qui a pour titré : Soluzione geometrica di un dijficil proUema di silo ; \apoli, 1 8l5, de ao pages et une plan-
che. On .trouve dans ce mémoire la solution de la question suivante : Liant donne un point et deux limites dans l'espace, mener par lé point un plan tjui coupe les deux droites en deux autres points , tels que les tmis "points soient les sommets d'un triangle semblable à un triangle donné, (t'oyez page " i
M. Bruno a résolu en problème synthétiquement par la méthode des ancienl, et il a fait voir que la solution générale dépendait'de l'interseetiqn de deux hyperboles tracées sur le même plan. Le problème d'Estève n’est évidemment qu’un cas particulier de celui qui vient d’étre énoncé ; il suffit de supposer que les deux droites données se rencontrent ; Je point de rencontre étant pris pour le sommet d’utie pyramide, on joint ce point et le poiut doAné par une droite ; cette droite et les deux droit» donné» concourant» au mêitfc point, sont le» arêtes d'une pyramide triangulaire qui) s’egit de couper suivant un Iriaugle de similitude donnée. M. Bruno a résolu cette quation, et il a de plus examiné' ce que devient la solution générale, lorsque deux côtés du triangle, base do la pyramide, sont«proportioniiels lux sinus des angles opposés à ces côtés et compris entre I» arêtes de la pyramide. Eslève avait vu que dans ce cas particulier, la solution du problème dépendait d'une équauoo du qualnéuie degré, qui se résout à la manière du second, et M. Bruno l'a ramené 1 l'intersection de la ligne droite et du cercle. J'ai traduit le mémoire de M. Bruno ; la traduction otjes additions qui m'ont palru nécessaires pour compléter le texte, ont été publiées dans les mémoires de l'Académie royale des sciences et belles- lettres de Bruxelles, année s8»6. J'ai ajouté i cette traduction la solution analytique suivante du problème de M. Bruno. *
On prend pour plan des xy le plan mené par le point donné A (Jig. D,pl. 3o) parallèlement aux deux droit» donné», et pour ax» des x et de* .y les parallét» à ces droit» menées par le point A pris pour origine d» coordonné» x et y. Les droites données sont projetées orthogonalenicnt sur le plan des xy suivant BDM et BEN ; on suppose que çes projections comprennent un angle donné MBN ou OBEj elles se coupent au poiut B qui «t la projection do la plus courte distaoce d» deux droit» donné» sur le plan d» xy. Soit AMN la projection du triangle dont l’un d» sommets est en A, et I» deux autres sommets en m et itfur 1» droit» données, aux points de l'espace dont M et N sont l« projections ; on demande que ce triangle soit semblable à un triqnglc donné.
Nommons y l’angle connu des ax« AX, AY, a la droite AD, b la droite AK, /la distance du point m de lespace au plan d» xy, f‘ la distance du point n de l’espace au même plan , et l'on
aura pour les droit» AM, AN, MN, les valeurs suivantes eux et y, qui sont I» coordonnées, l’une du point M parallèle à l’axe desx, l'autre du point N parallèle à l'axe des/.-
AM = x* a* -j- aox cos y ; AN =/• + ô* + zby cos y ;
MN = MB + NB — » MB. NB. cos y = (x— i)' + (y— a)' — a cos y (x— A) (y-n),
Bi
ag/, NOTES.
désignant |>ar /,•/’, l’ 1rs trois côtés du triangle A nui de l'espace, dons la projection sur le plan des xr, est AMM, les longueurs de ces côtés seront déterminées par les relations suivantes :
* /• = AM + /';/’■ = AN ’ + /'■ ; f- = MN~+ (/•—/• ,
su l' — x' -f- lax cos 1 4 \a- +/’i 1‘ =J“ h aôjeos •/ + ^ ■ ;
/'• = (x — 6)* +■ (jr— a)'— a cos 7 (x— 6) (jr—a' + (/—/')’.
Puisque le triangle des côtés est semblable à un triangle connu, les rapports de ces
/ / • , <♦ ' côtés- , — . sont donnés, et on aurait :
A’; A et A’ étant des constantes connues.
Substituant les valeurs de 1,1', /*, on aurait :
(x-ô)* h (r— «)• — »Tds y tr— (r “) +'</— /')*=f '*• ao^cos y O. Z1), (t). (x — i) ■ -f (/—<*)’ — » oos y (x— t) Cr — ") 4- if-rf)' — N 0" -f *Ar°?s 7 4 *• r/1’)- (*)
De ces deu* équations, on en déduit la suivant* : ■ >
A :x’ -j- aux cos 7 j- a, +/'.) =x A‘ (/-■ -j- 16/0047 -|- 6’ +/'• (3).
Cette dernière équation; combinée avec l'Une des deux premières, donne les valeurs de ici/ représentées sur la figure B [pl. 3o), par les droites AP, AQ.
Considérant deux quelconques des trois éqnatidns précédentes, commo appartenantes à deux courbes du second degré rapportées *tu axes obliques A^i'AY, les poiuts d intersection de ces courbes détermineront [/îg. D ) les points M et N sur les projections des droites données , et par conséquent le triangle dont ces points sont les projections.
Nous remarquerons que dans les équations^!) et (a)èlc ,crn>0 en V * P°ur factc',r cos T <IUI peut prendre les deux valeurs ± cos 7; d'où il suit qu'il y a deux courbes du second degré qui correspondent i chacune des équations (1) et(a). Chacune de ces courbes rencontrant la ligfie de l’équation 3) en quatre points, il s'ensuit que le problème proposé par M. Bruuo est susceptible de huit solutions, c’est-lt-dire, que l'on peut placer huit triangles semblables à un triangle donné, de manière qu'ils aient un point donne pour l'un des sommets Communs, et les deux autres sommets sur les droites données.-
L'équation (3) en x et jr ne représente qu'une seule courbe du second degré, parce que le facteur ± cos 7 n'affecte que les termes linéaires de cetté équation.
Dans le cas particulier où les deux droites données se rencontreraient, lé point de rencontre serait te sommet de huit pyramides, qui auraient pour bases, des triangles semblables i.un triangle donné.
NOTES
jgS
Not^VI.
Article 77, livre II, problème XIII, page 184. — Solution analytique du problème d'une sphère qui en touche quatre autres ; par M. Poisson.
Soient A, B, C, D les centres des quatre sphères données ; en les joignant par des droites, ou tonnera une pyramide triangulaire dan» laquelle tout sera connu. On suppose que le lecteur ttacera la figure.) J emploierai dans le calcul suivant les trois arêtes DA, DB, DC, les angles ADC, BDC . et l’angle compris entre les plans de ces deux angles; données qui Miffuent pour déterminer la pyramide AJICD. J'appelle C l'angle des deux faces ADC, BDC; soit de plus :
DA =«, DB=é, DC=c; angle ADC =«, angle BDC =|S.
Pour fixer les idées, je suppose que le centre de la sphère demandée tombe dans l’intérieur de la pyramide ABCD, et que ce centre soit le. point O. Joignons ce point aux sommets A, B, C , ü, et soient :
DO=r; angle ADO=x, angle BDO==>-, angle CDO = z.
I.a distance du point O an point D étant appelée r, lés distances du même point O aux points A, B, C seront égales à l'inconnue r , augmentée. ou diminuée de 'quantités connues, qui dépendront des différences entre les rayons des sphèécs données; on pourra donc supposer AO ==r-h£v • B0=r4-è; CO rrr-f-A; #
g, h , k désignant des quantités données dans chaque cas particulier. Enfin le plan des deux lignes OD et CD coupe l’angle dièdre C,*rn deux parties inconnues que je représenterai par p et q, p étant la partie comprise entre ce plan et la face ADC, et par conséquent q, l'angle compris entre ce même plan ODC et la face BDC Nous aurons Cr =/>-+- q , et d'après une formule facile à démontrer : , *•
sin*C=cos’/> + cos’7 — a cos p. cos q. cos C. . . ( 1).
Cela posé, le triangle COD donne : •
(r -- A)% ü r* -j- c' — 2cr. cos a;
d’où l'on tire : à
• • t • — h—- *kr
, cos a — — — — — .... - (a).
a cr . '
On aura de meme : • »
bx — A* — a hr <r — g* — igr
COS Jr «■ — : ; COS X .= .
. -xbr # . xar
Si IW considère la pyramide triangulaire AI)CO,etque l’on se propose de déterminer l’angle ODA au moyen de l'angle dièdre opposé, et des angles adjacen* ADC; ODC, ou aura, d’après les déyomina lions précédentes :
et par conséquent :
cos x = cos eu cos 2 sm oc. sin z. cos p,
cos * cos z — cos x
cosp «-
sm 3. sm z
ou bien eu mettant pour cos « et cos x, leurs valeurs, et multipliant par r sin Z,
* — k' co sa' a'— g* 1 ( g k cos ai \ r
r, sin z. cos q s
✓ sin :
NOTES
*gp
On trouvera semblablement :
. r’— A* eosS i /h kco*S\ r
r. sw z. cos q “ ■ • — ■ • — — ■ 4- ( — — • - -■ ■ )—
ac sw p a o sw p \ b • c ✓ sw £
Je multiplie tous les termes de 1 équation (i) par /* sin* a .* je substitue ensuite dans son second
membre pour r sin z. eos p et r sin z. cos q leurs valeurs y et en ordonnant par rapport à r, on
aura évidemment une équation de cette forme :
r * sin* a sin*C=L + Mr+N/-, •
dans laquelle L, M , N sont des quantités connues, dont je me dispenserai d’écrire les expressions. D’ailleurs l'équation (a) dcuwte ; «
^ «in. * - -^r~ (4»* + 4*r +*•— I
ce qui change la précédente en nne équation de cette forme :
L', M , N’ étant aussi des quantités connues.
Cette équation du second degré donnera ta valeur de r; les équations fs) et (3) feront connaître les angles z et p, et par conséquent le céntre'O, dont U position est déterminée par les trais quantités r, z, p. Quant au rayon de la sphère demandée ^ il est égal k U râleur de r, diminuée du rayon de la sphère, dont le centre est en D,
