I. DÉFINITION ET PROCÉDÉS GÉNÉRAUX DK LA STÉRÉOTOMIE

t. Un solide est défini, lorsqu’on donne la génération et la position resppctive îles surfaces, qui, par leurs intersections, forment les arétgs ou les contours des faces de ce solide. Le dessin, ou le système de lignes qu’on obtient en projetant les arêtes d’un solide et les points, remarquables des faces de ce solide, sur. deux plans rectangulaires, se nomme le trait ou l 'épure du solide. La construction do ce dessin est une application immédiate des principes qu’on a exposés dans la géométrie descriptive, et principalement de la’ méthode par laquelle on trouve l’intersection de deux surfaces, 'dont ou connaît la génération, et la position par rapport aux deux plans de projection. Le choix de ces plans est encore plus important en stéréotomie qu’en géométrie descriptive pure ( voyez page i ?3 ). Uni; épure dé stéréotomie ayant pour objet do faire connaître les dimensions iTun solide, et ces dimensions se mesurant en générai snr deS droites qui jojgiient des points déterminés de ce solide^ il faut, autant que possible, que les plans de projection soient parallèles aux droites sur lesquelles on mesure le plus grand nombre de dimensions.

a. On exécute lés corps d’une forme déterminée par Fêlure, au moyen de machines et outils quL varicht suivant les qualités physiques des matières dont c’es corps se composent. Cette opération, purement mécanique, est précédée de constructions géométriques, au moyen desquelles la matière passe sans tâtonnement, et par une méthode rigoureuse, de son état naturel, au^ formes les plus composées, qui. sont déterminées par le trait, ou l’épure. Cette méthode, par laquelle on trouve la figure des objets, d'après le dessin qui les représente, constitue an art particulier, qu’on nomme stéréotomie. Cet art, a^ssi ancien que. l'architecture, est connu, de ceux qui pratiquent kt coupe des pierres et des bois, sous le nom à' appareil ou art du trait.

Des- procédés généraux de la stéréotomie.

3. Quel que soit le solide qu’on propose d’exécuter, on doit le diviser en autant de parties qu’il est nécessaire, ponr que le volume de chaque ]iarfie

3oa GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

soit moindre que celui du solide brut dont il doit être formé, et qu'on suppose donné. Ce mode de division varie pour chaque cas particulier ; néanmoins on lèche toujours de satisfaire à ces trois conditions, i° que les arêtes de chaque partie soient ou des lignes droites, ou des çercles, ou des courbes faciles à construire par points, exemjits de changemens brusques darts leur • courbure;

a° Que les jdlnts de deux parties consécutives soient ou des plans ou des • surfaces du genre de celles qu’on a definies ( page a6 ), et qii'on a nommées surfaces, de révolution , surfaces développables, et surfaces réglées ;

3* "Que les angles des surfaces, en uu -point quelconque des arêtes formées par les fhlerseclious de ces surfaces, différent le moins possible de l’angle droit.

t\. Les arts mécaniques offrent des moyens commodes pour exécuter les surfaces planes, développable-, réglées, et les surfaces de révolution, ainsi que pour tracer des lignes droites ou des cercles. C’est pourquoi Ton obtient, en remplissant les deux premières conditions, économie de temps et de maind’œuvre dans le travail qui a pour objet de donner à chaque solide la forme déterminée par l’épure. " .

La solidité des'constructions est le motif principal de la troisième condition. Deux corps contigus étant terminés par des portions d’une même surface, et avant pour joint commun tioe seconde surface qui Colipe ta première suivant une aféte commune aux deux corps, chaque point de cette arête est le sommet de deux angles compris entre les plans taugeiis aux deux surfaces ; si l’urt de ces angles est obtus, l’autre sera nécessairement aigu.

Or il est très-important d’exclure, dans un système de corps, ceux 'dont les faces font entre elles de petits angles. Eli effet, quel que soit le moyen mécanique par lequel on exécute la partie d'un corps voisine vlu sommet de ces angles, on conçoit facilement que la moindre pression ou le plus léger cliôc de l’outil qu'on emploie» pourra briser cette partie, qui ner présente qu'une faible résistance. Supposant encore à celui qui dirige l’outil, assez d'adresse pour éviter les fractures, le solide mis sous la forme déterminée par l’épure, et à la place qu’il doit occuper dans un système de corps, éprouvera des pressions qui tendront à détacher les portions ou il y a le moins de matière; il est donc nécessaire, pour la soHdité des constructions, de n’employer que des corps dont les faces comprennent entre elles des angles peu diffrrens de l’angle droit. # . , - f

5. Un solide, quelles^que soient ses dimensions, sera toujours divisible enun assez grand nombre de. parties, pour que chacune soit formée, d'une sejule pièce. Ayant donné à chaque partie ja figure et les dimensions déterminées

APPENDICE. 3o3

par l’épure, le système de" toutes les parties qu’on aura exécutées isolémeut, et le solide proposé, seront renfermés dans le inertie espace, et termines par dès surfaces identiques. Il suffit donc de considérer eu stéréotomie, des solides entiers, do dimensions moindres que celles de la matière première dont on doit les former.

Avant d’exposer les principes généraux de cet art, il- est nécessaire d’examiner le cas particulier où le corps proposé qu’il s’agit d’exécuter est un sqfide a faces planes, ou un polyèdre. . ■

Du polyèdre, ou solide à faces planes.

G. Le polyèdre étant défini, on peut supposer que chacune de ses arêtes est déterminée par ses projections sur deux plans rectangulaires, auxquels le solide est rapporté. Les ariües contenues dans un même plan forment le contour d’un polygone, qui -comprend une face du solide. Ayant divisé chaque polyone en triangles, les longueurs des côtés de ces triangles sont déterminées. Construisant à part les triangIe/5, et. les' réunissant dans le même ordre où il» sont placés sur le polygone, on aura évidemment le développement d'une face du polyèdre proposé.

Ayant développé de la même nîanière toutes les faces du polyèdre, ou construira les angles des plans qui ont pour intersections communes, les arêtes du sofidp; alors- l’épure ou le trait sera complet, et voici l’usage qu’on en fera.

Après avoir soumis la matière première, [lierre ou bois, dont on doit formelle solide, à une action mécanique qui dresse l’une de ses faces, c’est-à-dire, qui l’aplanit dan.s un sens, on trace sur cette face plane, l’un dès polygones formés par les arêtes du solide défini. Le plan de ce polygone fait avec les plans qui passçnt par ses côtés, des angles dièdres qui, par hypothèse, sont connus. On dre&era encore la matière brute dans ld sens de ces nouveaux platis, et on rapportera dans chacun creux le polygone qu’il contient. »

Eu, procédant de cette manière, on exécutera Successivement toutes les faces du solide proposé, sous les angles que les plans de ces faces font entre eux ; il est évident que le solide ainsi construit aura la forme déterminée par le trçiil on l’épure.

$ IL DK LA STÉRÉOTOMIE APPLIQUÉE A Uît SOLIDE QLELCOSQLE.DÉFIXI.

7. Un solide terminé par des surfaces courbe», a pour arêtes les courbes à double courbure qui résultent de la pénétration de ces surfaces. Chaque arête étant l’intersection de deux faces, il peut arriver deux cas, ou que les angles

3o4 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

de ces fnces, qui ont pour sommets tes points de l'arète, soient saillnns ou rentrans. Nous considérerons d’abord le solide à angles saillans, sur lequel il ny a aucun angle rentrant, et lions le Supposerons enveloppé de plans, disposés de manière que le volume du polyèdre compris entre c#s plans, diffère le moins possible du volume du solide proposé.

On exécutera d'abord le polyèdre enveloppe d'après ce qui a été dit précédemment (art. 6), et la question de stéréotomie qu'il s’agit de résoudre, consistent à donner au poly èdre la forme du solide proposé. Pour résoudre cette question, on conçoit que les surfaces courbes qui contiennent les faces du solide, et dont la génération est connue (art. 47» Ut. l,r), soient prolongées jusqu’aux faces planes du polyèdre. Le solide et le polyèdre étaut rapportés aux mémps plans de projection , les projections des lignes d’intersections des faces du solide prolongées et des faces planes du polyèdre, seront déterminées sur l'épure; et après avoir construit le développement de chaéüue de ces lignes, on pourra la rapporter sur la face du polyèdre qui la contient. Prenant ces lignes tracées sur le polyèdre, pour les directrices des génératrices mobiles des faces du solide proposé, la construction de ce solide ne dépendra plus que d’une opération mécanique, qui èonsistera à enlever de la matière du polyèdre tout ce qui sera en dehors dt^l’espacè que les diverses génératrices parcourent, pour engendrer les Faces du solide proposé. ,

Deux lignes suffisent pour diriger le mouvement d’une droite; mais lorsque la génératrice est -un cercle, une ellipse, et en général, une courbe plane, il faut tracer sur l’une des faces du polyèdre, les intersections successives du plpn mobile de la génératrice courbe. Connaissant deux points de cette génératrice sur les lignes directrices, et une droite du plan. qui la contient, chacune de ses positions est déterminée.

8. Ce mode d’exécution ne convient évidemment qu’aux solides dans lesquels il n’y a pas d’angles rentrans ; car, en supposant que deux faces contiguës comprennent entre efies des angles de cette espèce, leurs prolongemens enlèveront du polyèdre une partie du volume-dé’ ce solide qu’il faut lui conserver pour l’assimiler au solide proposé.

Dans le cas où il y a une arête rentrante sur le solide proposé, on dispose le polyèdre, enveloppe de ce solide, de manière que l’une de ses faces planes, la plus voisine de l’arète rentrante, puisse contenir la projection orthogonale de l'arète entière.

Au moyen de cette projection , et des distances de chaque point de l’arête à.sa projection, on trace dons l'intérieur du polyèdre , l'arète meme, que l’on considère comme une directrice, et dont on se sert pour engendrer les deux surfaces qui se coupent suivant cette arête.

APPENDICE. 3o5

La même opération «e répète pour toutes les frètes rentrantes du solide proposé. v-' . -

•9, L'une des faces courbes du solide étant exécutée, on trouve soi celle face les arêtes qui la tcrinittenl ; ce qui peut se faire de la manière suivante : Ayant marqué deux points. P et P'- sur les directrices dont on s'est servi, pour engendrer la sttrfàcequi contient la face du solide, on connaîtra ces points sur "l'épure, et Jenrs distances à un point quelconque, donné par ses deux projections. Décrivant de9 poinls P et P' comme centres, avec des rayons égaux aux distances *de ces points à cdni qu’on vent rapporter) des courbes sphériques, ces courbes se rencontrent sur cette face au point demandé. Répétant celte opération pour les sommets des angles du polygone formé par les arêtes contenues dans la face, ainsi que pour d'autres point si intermédiaires,

on tracera les arêtes elles'-inême. ' • . '

Cette opération s'applique à toute espèce de surfaces;' mais eHe se simplifie, lorsqne la face du 6olide appartient à une surface réglée. En effet, un point quelconque de cette face se trouve sur une droite qui coujie Time des directrices de la surlace réglée, en un autre point connu. I a distance de ces deux points est donnée par l'épure; d'où il suit qu'on peut la rapporter avec le compas, apres avoir exécuté la surface, sur la droite de cette surface qui contient les deux- points. . . •

<0. Lorsque la face appartient à une surface développable, on déduit de l’épure ( page 5ti; art. 96 ) la transformée de cette face sur le plan de développement. Lettc transformée se compose des transformées des courbes, ou des arêtes qui forment le contour de la face.

-Ayant tracé le contour de lu transformée de la face développable , surim plan flexible, tel. que du cartou, on applique ce carton sur la surface développable qu'ou a dt^à exécutée, eu ayant soin que deux |K>ints de cette surface coïncident avec les mêmes points rapportés sur le plau flexible.

En coupe des pierre») on nomme la transformée d’une face développable, panneau.

1 1. Lorsque lu matière première dont on forme un solide est, comme la plupart des pierres, d’un prix peu élevé, on ne s’assujétit pas ù la condition de prendre pour polyèdre enveloppe, celui dont le volume ddfere le moins possible du volume du solide. Souvent on i^pnne à ce polyèdre la forme d’un parallélipijH'de rectangle; alors le volume de matière contenue entre les faces du paralléiipipède et celles du solide proposé, est augmenté. Quoiqu'on perde cet excédant de matière, on est le plus souvent dédommagé de cette perte p$r l'économie du temps et de la main-d'œuvre.

1 a. Il y a des cas ou le solide à exécuter est composé de faces courbes et de

io6 GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE.

faces planes. Alors, quel que soit- le polyèdre enveloppe, il- fera convenable, pour économiser la matière, que h; plan de chaque face dii solide, contienne aussi une face de ce poTyèdre. Cependant il y a encore, dans cette hypothèse, des circonstances où l’ou préféré le parallélipipede enveloppe, qui n’a aucune face dans. le plan de l’une des faces du solide enveloppé Dans ce ms, le mode d’exécution de oos, faces ns diffère pas de celui qu’on a exposé (art.- y, 4pptrul ,), et qui -s'applique également aux surfaces- courbes -et aux surfaces

planes d’un solide- * • . i

1 3. En ne considérant dans le paradé li pipe de rectangle en\.*k>ppr; que scs faces extérieure», on l’applique à -un autre tisage dans l’art du sculpteur-, il sert à. copier .une statue avec une .exactitude rigoureuse. Le procédé est simple; il a pour objet d'obtenir dan»- l'intérieur d’un bloc de pierre, les points marqués en tel^nombrc qu’on veut, -sur la surface de la statue originale. • . . ’•••*,

/Ayant mis en présence la statue et le bloc capable de la contenir, on lés entoure- de deux châssis égaux, composés de I ring tes et traverses-, les unes horizontales, et les -autres verticales. Les section* horizontale» de- ce» châssis sont des rectangles égaux, et chacun (feux est compris entre quatre plans verticaux passant par les côtés de ces rectangles. Les' tringles et traverses portent des échelles linéaires, et parles points «ht division de ces échelles, on fait passer des- fils qui se coupent à angles droits, «t forment un réseau composé de petits- carrés. -• ■ ~

De -chaque point marqué à la surface de, la statue, on abaisseune-perpetvdiculaire sur l’un des plans extérieurs du cliâssis qui l’enveloppe*; le pied de cette perpendiculaire correspond, à un point déterminé de l’up des réseaux du même châssis. Iæ second châssis qui' enveloppe le bloc étant par-hypothèse égal au premier, ou y marque Je pied de la perpendiculaire siu* le réseau égal et parallèle à celui du châssis de la statue. L’ouvrier enfonce une mèche an moyen -d’un vilebrequin, de manière qu elle passe per iè point connu -dn réseau, et qu’elle s’arrête dans le bloc, à- une distance «le ce réseau, égale à la * longueur connue de la perpendiculaire abaissée du -point de la statue sur le plan «h» châssis qui l’enveloppe, - . • • - ' '

En répétant cette opération, on obtient dans l’intérieur du bloc autant de points qu'on veut, et la positioi^ respective de ces pointé est évidemment la même que celle de» pointe de la statue qu’on aprojetés sur las plan* du cltâxM* enveloppe de. cette statue. ... , • . • -,

* ' Conclusions. . ,

j 4. JVs procédés .de la stéréotomie, pour donner au*' matières prepnei es les forme» déterminées par .une épure, consistent d'abord à trouver un polyèdre, à lace* planes, capable du solide proposé, lorsque ce polyèdre est un pnrajlélipipède, le mode d'appareil se nomme- méthode par équafrjssernent’; s’i} différa du paralléiipipède, on dit que l’appareil se fait par la méthode des Le* eaux, on angles diedres. (Ces deux mots unç/e dudr/e et beveau sont synonymes..^ , . ... , . . '

L’instrument dont le tailleur de pierres fait usage pour mesurer les angles dièdres, se uQintne fausse équerre. Il est compose de deux branches en bois, mobiles .sur un centre» comme les deux branches d’un compas. 0n place, au moyen d'un rapporteur, lus deux branches, sous un angle donné, et -on les fixe, eu tournant l’écrou d’une vis placée au ceulrc.de rotation. Un premier plan étant exécuté, l’un des côtés de b fausse équerre s'y applique exactement, et.se tjnetff perpendiculairement ;t l’arête de l'angle dièdre. Dans ce mouvement, la seconde franche de l'équerre doit glisser sur le second plan, et alors on .est assuré que l'angle des deux plans est égal à. celui des branches de la fa 11 sec équerre, f . ‘ ... ' . »

La transformation d’un polyèdre à fa ces planes, en un solide à Jaces courbes, se fuit .oit par les pdruieaux, lorsque les faces sont développables, 1 ou par le piqué,, qui consiste à rapporter par points, sur. une surface doiuiée, une courbe de cette surface dont 011 a les deux projections. L'art de l’appareilleur consiste à choisir, dans iliaque cas particulier, le modo d’appareil le plitë convenable, qui.satihfaitle mieux aux condjtionx.de stabilité, à l'économie de la matière et delà main-d'œuvre. ...

Aux quatre modes d’appareil qui conviennent à toutes les surfaces, il faut ajv.uter celui qui s'applique aux solides de révolution, et qu'on exécute mécaniquement, au moyen du tour. L’est ainsi que se foui leÿ colonnes, les balustres en pierre, qui dçcprenl les balcons de maisons, les .trottoirs de ponts, etc. .Lin patron découpé >uivant la génératrice méridienne du solide est la seule .figure necessaire pour diriger l'outil du tourneur.