XII ~ PRÉFACE

comme un complément des méthodes géométriques, lorsqu’on l’emploie pour déterminer des formes secondaires inconnues, qui résultent nécessairement de formes primitives donné ys".

Monge l'a considérée sou6 ce double rapport dans ses leçons aux Écoles normales; mais il a du pour ces écoles se borner à l’exposition des méthodes générales, et traiter fort brièvement la partie technique de la géométrie descriptive. Des neuf leçons (ju'il a données (du ao janvier au io avril 1795), les deux dernières contiennent des résultats de l’analyse appliquée à la géométrie ; sept seulement sont consacrées à la géométrie descriptive pure. Si l’on observe que notre cours à l’École polytechnique se composait de quatre-vingt-dix à cent leçons; qu’il était spécialement destiné aux élèves ingénieurs des services publics, pour épii la partie technique de la géométrie est de la plus haute importance, j’espère qu’on appréciera les motifs qui m’ont déterminé à traitée les mêmes questions du livre de Monge, en insistant davantage sur la construction des épures. J’ai fait à ce livre d’autres additions qui ne sont pas moins nécessaires pour l’application de la géométrj^ descriptive aux ombres, à la perspective et à la stéréotomie; je vais les indiquer brièvement.

Ch ap. I. — Des préliminaires.

La solution d’un problème quelconque de géométrie descriptive consiste à trouver un ou plusieurs points de l’espace, d’après certaines conditions qui déterminent la position de ces points. Je rappelle ce que j’ai déjà indiqué dans mes élémens de géométrie à trois dimensions (année 1817), que toutes lés opérations graphiques qui conduisent à la solution du problème proposé se réduisent à celles qui sont nécessaires pour résoudre les deux questions sidvantes :

ire Question. Trouver la distance de deux points , dont on a les projections orthogonales sur deux plans rectangulaires ?

Question. Une droite étant donnée par Ses deux projections orthogonales sur deux plans rectangulaires , trouver les projections du point d'intersection de cette droite et d’un troisième plan, dont la position par rappqft aux deux premiers, est aussi donnée ? -, , • • »•

PRÉFACE. . xui

Le tableau des constructions graphiques d’une épure quelconque de géométrie descriptive, n’offre jamais que la répétition des opérations élémentaires qui donnent la solution dqg deux-questions précédentes.

Chap. II. — Des plans tangens ausc surfaces courbes.

On admet en géométrie qu’un plan tangent en un point donné d'une surface, est déterminé par les tangentes à deux lignes de la surface, qui passent par ce point. Monge n’avait considéré dans sa Géométrie que les plans tangens aux surface.; dont les rayons de courbure en un point de ces surfaces, sont dirigés dans le même sens; mars les surfaces qui ne satisfont pas à cette condition, sont remarquables en ce que leurs plans tangens sont en même temps tangens et séeans. J’ai donné pour exemples de cette seconde espèce de plans tangens, ceux qui sont tangens aux surfaces à élémens gauches, et à la surface annulaire connue en architecture sous le nom deTôre ( Voyez art. 121, liv. 1" de ce traité).

On a appelé jusqu’à présent surface gauche, toute surface engendrée par une droite mobile, quelle que soit la loi du mouvement de cette droite, pourvu néanmoins que deux droites consécutives, qui comprennent un élément de la surface, ne se rencontrent pas. Chaque élément est un petit plan gauche ; mais l’ensemble de ces élémens forme souvent dès surfaces très-régulières, qui ne conservent aucune apparence de difformité. Nous étions convenus avec Monge de les apjteler surfaces réglées y ce qui tnotivecette dénomination, c’est qu’on peut appliquer une règle sur les droites de la sdrface, et s’assurer ainsi quelle est exécutée rigoureusement. * . ' ■

Après avoir établi par line discussion plus complète que celle d’Euler, la division des surfaces du second degré en cinq espèces que j’ai nommées ellipsoïde , hyperboloïde à une nappe, hyperboloïde a deuxnappes, paraboloïde elliptir/ue, paraboloïde hyperbolique, je me suis principalement occupé de la recherche des propriétés géométriques des deux surfaces réglées du second degré, l’hypcrboloïde à une nappe, et le paraboloïde hyperbolique ou plan gauche ,

Les propriétés les plus remarquables de ces surfaces, sont, i* que toute surface régléea pour surface normale suivant une droite, un byperboloide à une nappe, ou un plan gauche dont les paramètres

PRÉFACE

varient pour, chaque droite; 2° que toute surface réglée a pour surface oscolatrire suivant une droite, un hyperboloïde à une nappe déterminé, dont les paramètres varient pour chaque droite; 3® que toute surface réglée a pour surfaces tangentes suivant une droite, une infinité dTiyperboloïdes à une nappe; 4° que deux surfaces réglées qui ont une droite commune et trois plans tangens communs en trois points différons de cette droite, sont tangentes l'üne à l’autre dans tous les pointsde la droite qui leur est commune.

J’ai déduit de ces propriétés une méthode graphique pour mener les plans tangens à une surface quelconque engendrée par la ligne droite, ainsi quepour construire la tangente en un point d’une courbe, lorsque cette courbe est donnée en relief ou par ses projections. J’ai appliqué cette méthode à plusieurs surfaces réglées, employées pour la construction des voûtes.

Chap. III. — Des intersections de surfaces.

Une surface est définie, lorsque pour chacun de ses points, on assigne la forme et la position d’une ligne mobile, génératrice de la surface. Pour trouver l’intersection d’une surface par un plan, on cherche les points d’intersection de ce plan et de la génératrice considérée dans ses positions successives ; la ligne qui joint tous ces points est l'intersection de la surface par le plan donné. Ln tangente en un point quelconque de la section plane de la surface est la droite, intersection du plan tangent à la surface en ce point, et du plan de la section. Lorsque le contour de la section est une courbe à une ou plusieurs branches infinies, les tangentes aux points situés à l’infini, placées à une distance finie d’un point de la courbe, se nomment asymptotes. J’ai fait voir comment on déterminait les asymptotes, dans le cas où la surface proposée est un cône du second degré, ou un hyperboloïde à une nappe, ou un paraboloïdc hyperbolique.

On obtient en général la ligne d’intersection de deux surfaces, en les coupant par un système de plans. Les sections de l’une et de l’autre surface, qui sont contenues clans un même plan, et dont les contours se rencontrent, déterminent les points communs aux deux surfaces. Non-seulement il importe, dans chaque cas particulier, de choisir le système de plans coupans, qui donne les constructions les plus simples;

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mais il n’est pas moins utile de connaître les plans coupa ns limites, entre lesquels la ligne d’intersection des deux surfaces est comprise. J’ai fait voir comment ou déterminait les plans limites pour plusieurs cas particuliers, et notamment pour deux cylindres et deux cônes. Les lignes d’intersection de ces surfaces ont des branches fermées ou infinies ; j’ai indiqué un moyen pour reconnaître a priori l’existence des branches infinies, et pour construire leurs asymptotes. La solution de ces questions a complété ce que Monge avait écrit sur l’intersection de ces surfaces.

J’ai ajouté un article sur l’usage qu’on peut faire, dans quelques cas particuliers, des projections obliques, pour trouver l’intersection des deux surfaces, plus simplement que par la méthode des projections orthogonales. D’autres additions que j’ai faites à la géométrie de Monge appartiennent au livre suivant des applications.