Problème inverse du rabattement ou relèvement

Son énoncé le plus général sera le suivant :

On donne la trace horizontale d'un plan. Ce plan fait un angle connu, a, arec le sol. Relever dans ce plan, en le faisant tourner autour de la trace comme charnière, un point Ai actuellement dans le plan horizontal.

Solution (fig. G9) :

1° Définir en x\ yi le plan par sa ligne de plus grande pente.

2° Projeter Ai en a'z sur xiyi et relever a'z en a\ sur la ligne de plus grande pente aaV 3° Par ligne de rappel a'i a et par une ligne de front Ai a obtenir a en projection horizontale.

Remarque. — 1° La hauteur du point est obtenue sur le mur xi yi en a" ah. 2° En prenant le mur en Xzyz, passant par le point Ai, on aurait économisé quelques lignes de construction.

§ 53. — Rabattre ou relever un plan et entraîner dans le mouvement une figure liée invariablement à lui (%. 70).

Soit {mm') un point situé hors du plan et qu'il faut entraîner avec lui. Solution :

1° Prendre un nouveau mur #1 yi perpendiculaire sur le plan (§ 45). 2° Prendre en m'i la nouvelle élévation du point, par un report de hauteur. 3° Rattacher m'i au plan par une perpendiculaire m'i n'i (dont la longueur est 8). Remarquer que dans le mouvement le pied n'i de cette perpendiculaire viendra sur le plan horizontal et qu'à ce moment la droite S sera perpendiculaire au plan horizontal et mesurera la hauteur du point une fois entraîné ; donc :

4° Rabattre n'i en n'-z, rappelé, en plan, en ms. wi3 est la projection horizontale du point entraîné. Son élévation sur le mur Xi yi est m'i (On a n'zm'i = m'iWi = 8). 5° Ayant im, on en déduit l'élévation m'z sur l'ancien mxxv xy, puisque la hauteur 3 du point, une fois entraîné, est connue en m'i n'\.

Remarque. — La même figure servirait pour l'opération inverse du relèvement.

§ 54. — Représentation la plus générale d'une figure. — Généralités.

Imaginons (fig. 71) un cube dont les arêtes OX, 0 Y, OZ seraient : l'une (OX) parallèle à la ligne déterre, l'autre (OY) perpendiculaire au muret la troisième (OZ) perpendiculaire au sol.

Ce solide occupe la position la plus particulière qu'il puisse prendre. Il occuperait la plus générale si aucune de ses arêtes n'était parallèle à aucun des deux plans de projection.

Par trois rotations on pourra l'y amener. On exécutera :

GÉOM. DESC. 3

Fig. 71

1° Une rotation autour d'un axe vertical (parallèle à OZ). Après cette rotation, OZ restera vertical ; OX, OY resteront horizontales, mais ne seront plus ni parallèles ni perpendiculaires au mur.

Nota. — Cette rotation pourrait être remplacée par un changement de mur.

2° Une rotation autour d'un axe debout (parallèle à OY). Après cette rotation, OZ n'est plus perpendiculaire sur le sol, mais est encore parallèle au mur. OX et 0 Y ne sont plus ni parallèles ni perpendiculaires au sol ou au mur.

3° Une troisième rotation autour d'un axe vertical. — Après cette rotation, OZ, qui était encore parallèle au mur, occupe une position quelconque, et le problème est résolu.

Nota. — Cette troisième rotation pourrait être remplacée par un deuxième changement de mur.

En résumé, pour résoudre la question, il faut :

1° Faire un changement de mur ;

2° Exécuter une rotation autour d'un axe perpendiculaire à ce mur ;

3° Faire un second changement de mur. On exécute, en tout, trois mouvements, soit du solide, soit du spectateur.

§ 55. — Application à une pyramide pentagonale régulière (fig. 72).

1° Sur les figures 1 et 2, on voit le premier plan et la première élévation. Le solide y occupe une position très particulière qui permet de le dessiner immédiatement quand on connaît ses dimensions.

2° On prend un nouveau mur [xi y ). Par reports de hauteurs, on y obtient (fig. 3) une élévation latérale.

3° Par un déplacement de front (fig. 4) et par reports de profondeurs, on obtient (fig. 5) un deuxième plan, quelconque cette fois.

4° Par un nouveau report de hauteurs, on obtient (fig. 6), sur l'ancien mur xy, l'élévation définitive. Sur les deux dernières projections 5 et 6, le solide occupe la position la plus générale. — Bien remarquer que la hauteur définitive In du sommet S'3 (fig. 6) est prise en In sur l'élévation latérale (fig. 4) et qu'il n'y a aucune raison pour qu'elle soit égale à la hauteur primitive h, prise sur figure t.

Nota. — L'élévation (fig. 6) n'est pas achevée sur le croquis. On laisse au lecteur le soin de terminer l'épure.

§' 56. — Lignes vues et lignes cachées.

Règle à suivre : 1° Le périmètre de la projection, ou contour apparent, est toujours et tout entier vu. On le trace donc en plein.

2° (Fig. 3) Il y a hésitation pour un sommet placé dans le périmètre, et tel que d'i ou a'i. On la lève en regardant le plan.

d'i est vu, car il est en avant des arêtes S/ et Se, qui forment en S'i f \ et S ' c'i le contour apparent vertical de la figure 3. Pour un observateur, à l'infini, qui regarderait dans le sens indiqué par la flèche Ri, a'i est au contraire en arrière. Donc d'\ est vu et, par suite, toute l'arête d\ s'i, tandis que a'i est caché ainsi que toute l'arête S'i a'i.