CHANGEMENTS DE PLANS COMBINÉS AVEC LES ROTATIONS. — RABATTEMENTS

§ 41.— Changement de plan vertical, pour un plan (fîg. 53 bis). — Soit xy un premier mur, et aQ' la trace du plan

sur ce mur. Soit x\ y\ un nouveau mur sur lequel on veut trouver la nouvelle trace du plan.

1° La trace horizontale ap ne change pas. 2° p sera un point de la nouvelle trace verticale.

.3° On en aura un autre m \ en cherchant la hauteur mm\ d'un point du plan qui sera pris sur le nouveau mur, c'est-à-dire en plan, pris sur xi y\ (Cette hauteur se trouve en 1, 2 sur l'ancien mur en menant l'horizontale m 2).

Nota. — Si la place le permet, ce qui arrivera très rarement, on prendra le point en », au croisement des lignes de terre, ce qui économisera quelques lignes (on prend nn'i = nn').

Fis

Fig. s:>

§ 42. — Rotation d'un plan autour d'un axe vertical

Principe. — Pour faire tourner un plan, il suffit de faire tourner une droite et un point du plan.

Comme droite, on choisit la trace horizontale ou une horizontale du plan ; comme point, on choisit le point w qui est sur l'axe, car il ne bouge pas ; on le nommera le point fixe du plan.

Epure (fig. 54). — P, a, Q ' sont les traces du plan dans sa première position ; to, ta', z' , l'axe.

1° On cherche en w ', en s'aidant de l'horizontale « 1 — 1 ' u> ', le point du plan situé sur l'axe (ou point fixe). Voir § 34, Remarque.

2° On fait tourner la trace horizontale, p a, de l'angle p, donné ; elle prend la position p\ y (pa et pi y, sont tangents au même cercle). A ce moment le problème est résolu, car on a la trace horizontale pi yi du plan, et un point co w ' , qui n'a pas bougé.

Trace verticale nouvelle. — Par le point fixe cou' on mène une nouvelle horizontale (toc — w ' c ') ; on en cherche la trace verticale, c ' et on joint yc', ce qui donne la nouvelle trace verticale du plan. Simplification apportée par le choix de l'axe. Si on a le choix de l'axe, on fera bien de le prendre en o Z, dans le plan vertical même (fig. 55).

Dans ce cas, le point fixe, Z, se trouve immédiatement, et il appartient aussi bien à l'ancienne trace verticale qu'à la nouvelle ; on économise ainsi des lignes de construction.

Fia- 50

Fig. 57 ( plus simple)

Point ficce

% 43. — Rotation d'un plan autour d'un axe debout.

Légende. — (1) Axe debout, quelconque, w point fixe. Faire tourner la trace verticale de ap ' en pi, y, etc., etc.

(2) Axe pris dans le plan horizontal : point fixe co, commun aux deux traces horizontales, et trouvé, à priori, sur la première trace iu, etc., etc.

— lo —

§ 44. — Usage des rotations et des changements de plans.

Ils servent à amener une figure, d'une position simple dans une autre quelconque. Inversement, surtout quand il s'agit de résoudre des problèmes graphiques, ou de chercher la vraie grandeur d'une longueur, d'un angle ou d'une aire, ils servent à amener une figure occupant une position compliquée à en occuper une autre, tellement simple, que la solution demandée soit évidente.

Fig. 58

Fig. 5!»

m." ni')

% 45. — Amener un plan quelconque à être perpendiculaire au mur.

1° Par un changement de plan vertical (fig. 58). Soit xy le premier mur, et P aQ ' les traces du plan. 1° On prend le nouveau mur xi y\, perpendiculaire sur P»..

2° Remarquant que sur le nouveau mur le plan va se projeter en raccourci complet, c'est-à-dire en entier, suivant sa

trace, on fait le report de hauteur pour Fig. ou un point quelconque {mm') du plan.

pm'i est la trace verticale nouvelle.

Nota. — Le plan est maintenant défini par sa ligne de plus grande pente.

Définir un plan parsa ligne de plus grande pente, ou le rendre perpendiculaire à un nouveau mur, ce sera donc la même chose.

2° Même problème par une rotation (fig. 59).

1° Prendre un axe vertical oZ ; 2° Chercher le point fixe w.

3° Faire tourner la trace horizontale pp, jusqu'à ce qu'elle soit en piy., perpendiculaire à xy ;

4° La trace verticale nouvelle est aw, car le point fixe, maintenant que le plan est perpendiculaire au mur, se projette forcément sur la nouvelle trace verticale à cause du raccourci complet que doit présenter le plan. Simplification en prenant l'axe dans le plan vertical (fig. 00). (Epure évidente).

Nota. — a est l'angle que le plan faisait et fait encore avec le sol.

Fig. 61

( point fixe)

§ 40. — Par une rotation, autour d'un axe debout, amener un plan quelconque à être perpendiculaire au sol (fig. 01).

1° Prendre immédiatement l'axe oZ dans le plan horizontal ; 2° Amener la trace verticale à être en pi perpendiculaire à xy ;

3° La trace horizontale est Zpi, et on voit en y l'angle que le plan faisait et fait encore avec le mur.

Nota. — Le même problème, traité par changement de plan, nécessiterait un changement de plan horizontal ; c'est pourquoi on le résout toujours par une rotation. (§ 22. Nota.)

% 47. — Un plan est perpendiculaire au mur, 1'

Fig. 62 Fig. 63

ensuite par une rotation à être parallèle au sol (fig. 62).

Projeter dans cette nouvelle position une figure (a bc. a'b'C ) du plan.

1° On prend comme axe une horizontale, et même, si cela est possible, la trace horizontale pa du plan ;

2° On fait tourner de l'angle p que le plan fait avec le sol. En élévation les points a'b'c' viennent en a'i b'i c'i, sur xy ;

3° On obtient finalement en ai bi ci la vraie grandeur du triangle ABC de l'espace.

Cette rotation spéciale qui consiste à amener un plan à être confondu avec l'un des plans de projection ou parallèle à lui se nomme un rabattement.

L'axe prend le nom de charnière.

Les points tels que 0... obtenus en prolongeant les côtés du triangle jusqu'à cet axe prennent le nom de points de charnière ; ils sont fixes, ce qui dispense de les rabattre et permet des vérifications très utiles.

§48.— Un plan est perpendiculaire au sol, le rabattre sur le mur (fig. 63) — Même problème; seulement la

charnière sera la trace verticale, etc.

Vérifications par les points de charnière s, 0.

Remarque. — Il est inutile de tracer les arcs de cercle a ai — bbi en plan : On prend, au compas à pointes sèches, les rayons de rotation o a — oc — ob et on les reporte directement en élévation de a" en Ai, de b" en Bi, etc., à partir de la charnière, et perpendiculairement à cette dernière.

Aorizontal:

§ 49. — Rabattement d'un plan quelconque. — Un plan est quelconque : le rendre parallèle au sol.

Solution. — 1° Prendre un nouveau mur xi yi perpendiculaire au plan. Fis- 6i 2° Faire ensuite un rabattement comme au § 47.

Epure. — Soit le triangle abc — a'b'c' , définissant un plan que l'on veut rabattre horizontalement (fig. 64).

1° Mener une horizontale quelconque (a 'd' — ad) du plan. 2° Prendre, en plan, un nouveau mur, x, ^.perpendiculaire sur ad. 3° Par reports de hauteurs obtenir en a'i b'\ c'\ la nouvelle élévation du triangle.

Remarque. — a'i c'i b\ doivent, comme vérification, être en ligne droite. Cette droite est la trace verticale du plan sur le mur xi yi.

4° Faire en B2 et C2 comme au § 47 le rabattement des points B et G. Remarque. — Le point a, sur la charnière n'a pas bougé. — Le rabattement est fait sur un plan horizontal H H ' et non sur le sol .

§ 50. — Rabattement direct d'un point d'un plan (fig. 66). Il est important de savoir faire directement le rabattement d'un point autour d'une charnière horizontale sans passer d'abord par un changement de plan vertical.

Soit ap (fig. 65) en perspective, la trace d'un plan P sur le sol, et ,f> soit A, un point du plan, à ra-

battre sur le sol en prenant a S pour charnière.

1° Abaisser clans l'espace Ai, perpendiculaire sur la charnière.

En épure (fig. 66) Ai se projette ;eAs suivant ai, perpendiculaire sur

[Point rabattu) a [5. C'est une ligne de plus grande pente.

2" Chercher la vraie grandeur (Ai) du rayon (p) de rotation du point A. Le rayon de rotation est r hypoténuse du triangle rectangle dont un côté {vertical) est égal à la hauteur [a' a") du point à rabattre et dont r autre [horizontal) est le rayon projeté {ai). 3° Obtenir en ai «2, par rabattement latéral, ce triangle rectangle. 4° Porter, sur ai prolongé, la longueur iA2 égale au rayon p trouvé en ia-z. Remarque. — On voit qu'il suffit de connaître (fig. 67) :

1° La charnière a p. C'est une horizontale ou la trace horizontale du plan à rabattre ; 2° La projection horizontale (ou le plan) du point a ;

3° "La hauteur (ici 25 m/m) du point au-dessus du plan de niveau qui contient la charnière et sur lequel on rabat. C'est ce que nous nommerons la hauteur relative du point.

Fi<r. 65

Perspective

i Centre de rota ho n. i.

/ „ , rayon.

^ derotùtion

Fig. 67

sucent re de rotation.

% 51. — Cas où le plan est défini par ses traces (fig. 68).

Rabattement de la trace verticale. — Prenant un point mm' sur cette trace, on remarque

1° Que son rabattement Mi sera sur

Fig. 68

la perpendiculaire mi, menée sur la charnière ;

2° Que le point a est tout rabattu et que, par suite, «Mi est la vraie grandeur de am' ; mais, comme am' est déjà une vraie grandeur, et qu'une même droite ne saurait avoir deux vraies grandeurs différentes, on en conclut que «Mi = awi'. Cela donne Mi au point d'intersection de mi prolongée et de la circonférence décrite de a comme centre avec a m' comme rayon.

Pour rabattre un point quelconque a: 1° on mènera l'horizontale du point a m ; 2° on rabattra m en Mi sur la trace verticale rabattue ; 3° on mènera en Mi Ai l'horizontale rabattue, et Ai sera sur cette droite et sur la perpendiculaire abaissée de a sur la charnière.

Remarque. — On recommande de ne pas employer cette méthode et de lui préférer, surtout quand il y a beaucoup de points à rabattre, celle qui consiste à prendre immédiatement un nouveau mur (xi yi) perpendiculaire au plan donné (§ -4!)).