DROITES ET FLANS PERPENDICULAIRES

Fis. 73

§ 57. — Théorème : Lorsqu'une droite est perpendiculaire sur un plan, les projections de la droite sont respectivement perpendiculaires aux traces de même nom du plan (fig. 73).

En effet : Soit aa' un point du plan ; et soit (ab — a'b') une horizontale du plan. Toute perpendiculaire au plan,

passant par a, sera perpendiculaire à toutes les droites qui passeront par son pied dans le plan et, en particulier à cette horizontale.

L'angle droit ainsi formé dans l'espace aura un de ses côtés (a b, a 'b ') horizontal ; donc, en plan, il sera projeté vraie grandeur (§ 6). Donc la normale au plan, an, sera perpendiculaire, en plan, à la trace a P. On fera le même raisonnement pour l'élévation. On mènera une ligne de front (a c — a 'c ' ) et en élévation a ' n ' sera perpendiculaire à c 'a'; C.Q.F.D.

§ 58. — Théorème réciproque : Si une droite (an — a'n') a ses deux projections respectivement perpendiculaires aux traces de même nom d'un plan, elle est perpendiculaire au plan dans l'espace (on dit qu'elle est normale au plan). (Fig. 73.)

En effet : 1° En plan l'angle b a n est droit ; mais un de ses côtés a n est horizontal, donc il est aussi droit dans l'espace et par suite AN de l'espace est perpendiculaire à une horizontale du plan. (Réciproque du théorème de l'angle droit, § 6). 2° On démontrera de même que AN de l'espace est perpendiculaire à une frontale du plan.

Par conséquent, à moins que la frontale ne se confonde avec l'horizontale, AN étant perpendiculaire à deux droites distinctes du plan est perpendiculaire au plan ; C.Q.F.D.

Exception (fig. 74). — Si le plan est parallèle à xy, le théorème ne s'applique plus, car l'horizontale et la frontale ne font qu'une seule et même droite.

Pour s'assurer de la normalité :

1° Prendre en xi yi un mur que l'on fera bien de choisir perpendiculaire au plan. 2° Chercher la nouvelle trace verticale pm'i ;

3P Chercher en b'\ a'i la nouvelle élévation de la droite, et constater la perpendicularité.

§ 59. — Problème : Mener par un point une droite perpendiculaire sur un plan ; trouver son pied sur ce plan et sa grandeur. (Distance d'un point à un plan.)

1er Cas. — Le plan est debout (c'est-à-dire défini par sa ligne de plus grande pente). La solution est immédiate (fig. 75, page suivante) :

La perpendiculaire est (m n, m 'n'). — mn est perpendiculaire sur la trace horizontale et par conséquent parallèle à xy.

Son pied est n'n, obtenu à priori en n' sur la trace verticale du plan (§ 30).

Sa grandeur est donnée en élévation par mW = 5, car la droite est de front (§ 16).

2e Cas. — Le plan est quelconque (par exemple donné par trois points) (fig. 76). On ramène au lor cas, à cet effet : 1° On prend une horizontale b'd' — bd du plan (de préférence celle du sommet b' qui est à mi-hauteur) ;

Fi g. 75

Fig. 76

2° On prend un mur a;i yi perpendiculaire à cette horizontale bd. On reporte les hauteurs et l'on a, en b'i a'i c'i le

plan projeté, tout entier, en ligne droite ;

3° Comme au !'* cas on a immédiatement en m'i n'i — mn, la perpendiculaire demandée (mn est parallèle à x\ ?/i) ;

4° Par report de hauteurs, on détermine l'élévation déûnitive, n'n', du pied de la perpendiculaire.

Nota. — La perpendiculaire est en vraie grandeur, en m'i n\ sur le mur xi yi.

3e Cas. — Plan défini par ses traces («g. 77).

Légende. — xi yi nouveau mur perpendiculaire au plan donné. — [3 a'i nouvelle trace verticale — m'i nouvelle élévation du point M.

La perpendiculaire est. m'i n'i — en plan c'est mn, parallèle à xi y y ; on trouve n' en reportant la hauteur du point n\. Vérification. — m' n' doit être perpendiculaire sur la première trace verticale, xa', du plan.

§ C0. — Problème. — Par un point (m m') mener un plan perpendiculaire sur une droite (ab — a'b'). — Prendre l'intersection. — En déduire la distance du point à la droite.

1er Cas. — La droite est de front (ûg. 78).

1° Le plan cherché sera perpendiculaire au mur; il sera donc projeté en entier suivant sa trace verticale m' F' qui

doit être perpendiculaire sur a'b', et passe, de plus, par m ' ; 2° L'intersection est n'n ;

3° La perpendiculaire est mn — m'n', mais elle n'est pas en vraie grandeur.

Pour l'obtenir en vraie grandeur il faudrait, par rotation ou par changement de plan, la rendre parallèle à un des plans de projection (§§27,28, 29, 30).

2° Cas. — La droite est quelconque (ab — a'b') (fig. 79). Soit m m' le point donné.

On ramène au lor cas :

1° En Xi yi nouveau mur pris parallèle à ab. Par reports de hauteurs on a en m'\ et a\ b'i les élévations nouvelles ;

2° La trace du plan cherché sur le nouveau mur xi yi est m'i P, perpendiculaire sur a'i b'i et sa trace horizontale est P a, perpendiculaire sur a b et sur xi yi ;

3° Le point où le plan rencontre la droite est ra'i, rappelé horizontalement en n, et verticalement en n1. — (m'i n'\ — mn), et(mn — m 'n') sont les projections de la perpendiculaire abaissée du point mm' sur la droite; elle n'est pas en vraie grandeur. On cherchait cette vraie grandeur par un déplacement (§§ 27, 28) ; •4° La trace du plan sur l'ancien mur est a Q' perpendiculaire sur a'b' .

B. DROITES ET l'LANS PARALLÈLES

Fig. 78

Fig. 79

Fig.

§ 61. — Problème. — Reconnaître si une droite (ab — a'b') est parallèle à un plan Pa Q'.

On sait que pour qu'une droite soit parallèle à un plan il faut et il suffit qu'elle soit parallèle à une droite de ce plan.

Solution (Ug. 80).— Chercher en 1 2, la projection horizontale de la droite l'2' du plan, qui aurait même élévation a'b' que (ab — a'b'). §§ 33 et 40.

On constate que 1 2 n'est pas parallèle à a b, donc, dans l'espace AB n'est pas parallèle au plan.

§ G2. — Par une droite (ab — a' b') faire passer un plan qui soit parallèle à une autre droite (c d — c' d') et le déterminer ensuite par sa ligne de plus grande pente (fig. 81).

Solution. — Par un point m' m de AB mener une droite (m' 2' — m 2) parallèle h cd — c' d' . Le plan est ainsi parfaitement défini par deux directrices. Pour le définir par sa ligne de plus grande pente, chercher en 1' 2' — 1 2 sa trace horizontale ou simplement une horizontale et prendre, en xi yi, un nouveau mur perpendiculaire à cette trace, etc.. etc. (Voir § 45).