CD

Fisc- 507

Mais, a la place de M D, on peut prendre M G, c'est-à-dire x' qui n'en diffère que de la quantité du deuxième ordre CD. On a en effet :

G D = G C cos. 0, et G C est du deuxième ordre. Ou aura donc :

\y sin

A'D est du deuxième ordre et diffère de BD de la quantité BA',qui est du

De l'équation (1) on tirera :

2 y sin. 8 îb'i sin. 0 2 b'i sin. 8

y' fi'2

Supprimant le ferme ^ , — A, qui tend vers zéro avec y', il vient :

2 b'i sin. 6'

' A sin. 6

D'après le théorème d'Apollonius, on a a' b' siu.0= a b. et, par suite,

I/. sin. 0 = a' . Donc en substituant :

1 ' ' ab

Le rayon de courbure d'une ellipse en un point a pour expression le cube du demi-diamètre conjugué dé celui qui passe parle point, divisé par le produit des demi-axes.

Remarque. — Cette formule s'applique a l'hyperbole.

(b) Bavons de courbure aux sommets. — A l'extrémité du grand axe, on, aura :

A l'extrémité du petit axe, on aura (fig. 508) :

<'.e qui conduit a la construction graphique suivante : (lig. 508).

Ou mène la diagonale A B du rectangle construit sur les demi-axes et, en

abaissant du sommet C, du rectangle, uue perpendiculaire CD sur cette diagonale, ou a, par recoupement avec les axes, en 1 et [', les deux centres de courbure.

(c) Construction graphique. — Supposons maintenant l'e'.lipse rapportée à ses demi-axes a et b. Soit M un point quelconque, et M N la normale recoupant les axes en N et P. Soit 1 le centre de courbure du point M, b' le demidiamètre 0 M, et a' son conjugué 0 M', 0 leur angle.

Fig. 509

Par le point N, où la normale rencontre le grand axe, élevons une perpendiculaire NC à cette normale, c'est-a-dire une parallèle à la tangente M G, et par conséquent aussi au diamètre conjugué 0 M'.

Par le point C, où elle rencontre le diamètre du point M, élevons une perpendiculaire CI sur le grand axe. Je dis que le point I, où celte droite rencontre la normale, estleceutre de courbure.

En effet, nous avons :

M N siu. 0