MC M

d*où

MO

Remplaçons M C par sa valeur tirée de (1), et faisons M 0 = b', il vient :

(3) Ml=— — -.

b sni. I)

Mais on sait que le produit des segments M N et M P de la normale esl égal au carré du demi-diamètre a', conjugué de celui du point M, ou aura donc :

6' sin. 0

ce qui est l'expression de o. trouvée en (3) au paragraphe a.

Remarque . — On aurait pu se servir du petit axe, prolonger la normale en P sur le petit axe, élever P C perpendiculaire sur la normale et abaisser CI perpendiculaire sur le petit axe .

{d} Hyperbole. — Cette construction s'applique à l'hyperbole et même à la parabole, puisque cette dernière courbe peut être considérée comme la limite d'une ellipse dont le centre s'éloigne indéfiniment, taudis que le paramètre reste constant.

(c) Parabole. -- La parabole [eut être considérée comme une ellipse,

Fig. 510

dont le centre s'est éloigné à Tinliui dans la direction A X. Appliquons la même construction (lig. 510).

1° Menons la normale MN.

2° Joignons le point M au centre, siiué à l'infini, c'est-à-dire menons M S parallèle à l'axe.

3° Elevons NS perpendiculaire sur la normale.

4° Traçons S I perpendiculaire sur l'axe ; le point I esl le centre de courbure.

La sous-normale KN est égale au paramètre p, de la parabole. On a donc :

MN = - — -, MS=- etMI=- — -•

sin. 0 sin. b sin. 0

Donc : p — •

sin?. 0

Au sommet, ou a siu. 0 = 1, et p = p.

Le centre de courbure, au sommet, est a une distance de ce sommet qui est le double de la distance du foyer.

§ 417. — Développée d'une courbe.

Définition : La développée d'une courbe C B F est l'enveloppe c h f. . . de ses normales.

Nous savons que deux normales infiniment voisines se coupent au centre de courbure. La développée d'une courbe est donc le lieu de ses centres de courbure.

Théorème. — L'accroissement infiniment petit de longueur (bc) de la développée d'une courbe, esl é<jal à l'accroissement infiniment petit de longueur (Ce — Bfc) du rayon de courbure (fig. 511).

En effet, pour le démontrer, prouvons (fig. 511) que le rapport

Ce — B b

arc c b a pour limite l'unité.

Les deux termes de ce rapport sont infiniment petits, et nous pouvons leur substituer des quantités qui n'eu diffèrent que d'infiniment pelils par rapport à eux.

A la place de (arc cb), on prendra c d ■+■ d b qui en diffère d'une quantité du troisième ordre (tableau 17°). De plus, on a :

C c — C d + de, et 1$ b = B d — d b, et, par suite, C c — B b = C d — B d ■+- cd -+- dh. Mais C d et B d sont deux normales infiniment voisines de la courbe C B F,

Fig. 511

cl elles diffèrent d'une quantité du troisième ordre et peuvent être prises

égales sans erreur pour la limite cherchée.

Nous ferons donc : C d — B d = 0,

et nous aurons finalement : Ce — 1! // = cd + '/ cl

Cw — Bi/ ,. cd -+■ il h , lnn. — : — = !•

l'un .

arc cb cd -+- db

Il résulte de ce théorème que, puisque le rayon de courbure s'accroît de quantités infiniment petites, toujours égales aux accroissements de la développée, il en sera de même pour des accroissements finis, qui seront la somme intégrale des précédents.

§ 418. — Développante d'une courbe (même figure).

Imaginous que la tangente c G a la développée roule sans glisser sur cette dernière," c'est-à-dire se déplace de telle sorte que tous ses éléments infiniment petits viennent successivement s'appliquer sur des éléments d'égale longueur de la développée cbf; d'après ce qui précède, le point C engendrera précisément la courbe CBF donnée primitivement. On dit alors que la courbe C B F est une développante de la courbe c h f.

Prenons sur la tangente qui roule un autre point C. Dans le mouvement, il engendrera une courbe C'B'F' qui sera une autre développante de c b f. .binons C B et C B". I.e triangle C d B est isocèle a un infiniment petit près du troisième ordre. Il en est donc de même du triangle C'dW, pu.sque C C = B B'. Mais, a la limite, l'angle (/ C B est droit, puisque d C est une

Fig. 512 Fig. 513 fig- 5*''

normale ; il en est donc de même de l'angle d C B', ce qui conduit aux prin-

cincs suivants : . . ...„„

Une courbe (d b fj a vne infinité de développantes. Ces dermeies

sont les trajectoires orthogonales de ses tangentes. Elle est la développée

de toutes ses développantes.

Cherchons la correspondance qui existe entre les points singuliers sur les

courbes et sur leurs développantes. , , ,

Au point de rencontre d'une développante et de sa développée, la dé*e-

loppante présente un rehaussement de première espèce, avec un rayon de courbure nul (fig. 312).

Si la développée présente deux branches infinies asymptotes a une même droite et d'un même côté, la développante présente un rebroussemenl de première espèce et un rayon de courbure infini, avec tangente AT, perpendiculaire a l'asymptote (fig. 313).

Si la développée présente en A une inflexion, la développante présente en a un rehaussement de deuxième espèce (fig. 513).

Ou nomme sommet d'une courbe un point pour lequel le rayon de courbure est maximum ou minimum. Le cercle de courbure y a quatre points communs avec la courbe au lieu do trois.

Si la développée présente en a on rebroussement de première espèce, la développante présente en A un sommet et réciproquement (fig. 514). On voit, en effet, que le rayon de courbure b B, de la développante, décroît, jusqu'en a A pour recroître ensuite. Donc A est un sommet de la développante. Réciproquement, à tout sommet A d'une courbe BAC répond un rebroussement pour la développée b n r .

§ 419. — Application à l'ellipse (fig. 515).

La développée de l'ellipse présente en a a' b et 6' quatre rebroussements de première espèce, situés sur les axes et correspondant aux quatre sommets. Nous avons vu (fig. 508'» comment on obtenait exactement ces quatre points, centres de courbure aux quatre sommets.

En cherchant des développantes de cette développée, on obtiendra l'ellipse et autant d'autres courbes que l'on voudra, les unes intérieures, les autres extérieures à l'ellipse. Ces formes sont très variables. Les unes, comme

Fig. 515

ii'

il'

la courbe n° 1, sont des développantes extérieures à l'ellipse. Elles lui ressemblent et n'ont pas de rebroussements. Les autres, comme la courbe n° 2, ont quatre rebroussements situés sur la développée. Enfin d'autres, tels que la courbe n' 3, ont des rebroussements et des points doubles, tels que m et n.

S 420. —i Courbe enveloppe d'un cercle mobile de rayon constant R.

Soit ABC (fig. 516) la courbe décrite par le centre du cercle. Le point d'intersection M de deux cercles infiniment voisins est sur la perpendiculaire MI, élevée sur la ligne des centres A B, laquelle devient, k la limite, tangente à la trajectoire ABC du centre.

Donc les points a,b,c..., de l'enveloppe, sont sur des normales k la trajectoire du centre et a une distance constante R, de cette dernière. Cette enveloppe est donc une développante de la développée de la courbe des centres.

Ainsi, par exemple, un cercle mobile dont le centre se déplace sur uuc

ellipse a pour enveloppe les courbes que nous venons d'étudier ei-dessus. Les

Fig. 51R

rebroussements, tels que a,j3,y,o. répondent aux points pour lesquels le rayon de courbure de l'ellipse est égal au rayon du cercle mobile (voir §254).