B. COURBES GAUCHES

§ 421. — Des infiniment petits dans une courbe gauche.

Prenons également comme infiniment petit principal 0 l'arc de courbe MN, reliant deux points infiniment voisins ; on prouve, comme pour les courbes planes :

1° Que l'angle m des deux tangentes en M et N est du premier ordre.

Fig. 517

(Ou remarquera que ces deux tangentes ne se coupent pas, puisque la courbe est gauche.) Cet angle s'obtient eu menant par M la droite M T, parallèle à la tangente N T', et mesurant l'augle T M D ;

2° Que l'angle <p de la tangente M T et de la sécante M N est du premici ordre ;

3° Que la distance N D, du point N de la courbe à la tangente, est du deuxième ordre.

En effet, nous aurons (fig. 5 17 \ ND = M N, sin. m.

Or, MN=K 0. sin. cp = K' (J, donc N I) = K" 0».

La réciproque de cette dernière proportion est vraie, c'est-à-dire que : si une droite M D, passant par un point M d'une courbe gauche, est k une distance du point N infiniment voisin, qui soit du deuxième ordre, cette droite est tangente.

Il suffit, pour le prouver, de démontrer qu'elle est la limite de la sécante M N ou, ce qui revient au même, que l'angle NMD = cp a pour limite zéro.

Or, par hypothèse N D est de la forme K" 02, et M N de la forme K' 0, et l'on a :

slu- cp jjj-^- — — K' 0, qui a pour limite zéro. C.Q.F.D.

En dehors de ces infiniment petits qui sont analogues à ceux des courbes planes, nous en avons d'autres spéciaux aux courbes gauches.

4» La distance d'un point au plan tangent infiniment voisin est du deuxième ordre.

Soit Q un plan quelconque passant par la tangente M T, c'est un plan tangent ; soit N le point infiniment voisin, et N P la perpendiculaire abaissée de ce point sur ce plan. Menons NI perpendiculaire sur la tangente, et joignons I P. On aura, en désignant par a l'angle N I P (fig 518) : NP — N I sin. a.

Or, N I est de la forme K 82; l'angle oc a une limite finie. Par suite N P est de la forme K' 0'2, et, par suite, du deuxième ordre.

Fig. 518

Mais, si l'angle a avait pour limite zéro, ce qui voudrait dire que le plan tangent Q se confond, k la limite, avec le plan M I N, c'est-k-dire avec le plan de la tangente M T et du point voisin N, autrement dit avec le plan osculaleur.dans ce cas: Sin. a serait au moins du premier ordre et N P serai! au moins du troisième ordre, donc :

5» La distance d'un point d'uni' courir gauche un plan oscillateur mené' par le point infiniment voisin est an moins du troisième ordre,

La réciproque est vraie et nous permet de donuer une autre définition du plan osculateur qui est la suivante :

6° Le plan oscillateur est lu limite d'un plan mené par In tangente AT, en un point A, parallèlement u la tangente MI au point infiniment voisin.

Eu effet (fig. ol9), soit A T la tangente en A, et MI la tangente eu M; menons AV parallèle k M I, et considérons le plan 0 mené par M Y et par AT.

Fig. 519

Je dis que, à la limite, il est oscillateur, et je le démontrerai si je prouve que la distance MD du point M k ce plan est du troisième ordre, c'est-k-dirc si l'on a M D = K "03. A cet effet:

Menons A I perpendiculaire sur MO. et par suite sur AV; on sait que A I est du deuxième ordre et de la forme KO-. Abaissons la perpendiculaire IL sur le plan Q ; elle est égale et parallèle à M D. Joignons A L. Ou aura : I L = AI, sin. a.

Mais a est l'angle des deux plans MAV et VAT, passant tous deux par AY. Comme k la limite, la sécante A M se confond avec la tangente AT, ces deux plans tendent a se confondre et forment entre eux un angle a infiniment petit de la forme K' 0. Par suite, ou aura :

MD = IL == A I.siu.a — KO2 x K' 8 = K"03. C.Q.F.D.

S 422. — Plus courte distance de deux tangentes à une courbe gauche.

(a) Théorème. — La plus courte distance de deux tangentes menées à une courbe gauche, en deux points infiniment voisins, est nu moins du troisième ordre (même figure).

On sait en effet que la plus courte distance de deux droites s'obtient, ca

fiÉOM. DESCK. 32

grandeur, eu abaissant d'un poiut I ou M de l'une d'elles une perpendiculaire MD sur un plau Q, mené par la première parallèlement à la seconde. Nous venons de voir que cette distance est du troisième ordre ; donc le théorème est démontré.

(b) Théorème réciproque. — Lorsque, dans une surface réglée, la plus courte distance, p, de deux génératrices infiniment voisines, est in-

Kip. 520

finiment petite pur rapport à leur angle a, la surface est le lieu des tangentes a la courbe des points centraux, c'est-à-dire à la ligne de striction.

Soient A lî et CD les deux génératrices infiniment voisines, et MN — p leur plus courte distance.

Soit 0 le poiut central de AH, et 0' le point central de CD. On remarquera que les longueurs OM et O'N sont infiniment petites, puisque le point central 0 ou 0'. d'une génératrice, est la position limite du pied M ou du pied N de la perpendiculaire commune MN.

Imaginons menée en 0 0', la courbe, lieu des points centraux (fig. 520).

Si du point 0', nous abaissons une perpendiculaire 0' t sur A B et si nous prouvons que 0' t est du second ordre, cela démontrera (tableau 9°) que AB est tangente à la courbe 00' et le théorème sera prouvé.

Or, menons N S, parallèle à A B et t S. perpendiculaire sur N S, et par conséquent égale a la plus courte distance. MN = p.

Le triangle N O'S esl rectangle, c! l'on a :

S (>' = KÔ\ Sin. ix.

N 0' esl du premier ordre, nous venons de le faire remarquer ; <r esl du

premier ordre par hypothèse, donc le produit N'O'. Sin. <j, ou O'S, est du deuxième ordre.

D'autre part, S t est, par hypothèse, d'ordre supérieur à 7, et, par suite, au moins du deuxième ordre.

Donc, dans le triangle O'S t, un côté 07 étant plus petit que la somme des deux autres, si ces deux autres sont au moins du deuxième ordre, il eu est de même pour lui.

Par conséquent 0' t est du deuxième ordre, et le théorème est démontré.

§ 423. — Cercle et rayon de courbure d'une courbe gauche.

Le cercle de courbure en un point est la limite du cercle qui passe par ce point et par les deux points infiniment voisins. Ce cercle est donc contenu dans le plan osculateur. Son rayon est le rayon de courbure. Sou centre est situé sur la normale principale du point considéré.

§ 424. — Rayon de courbure de l'hélice.

(a) Expression du rayon. — En appelant cp l'angle des deux taugentes infiniment voisines, et G l'are qui sépare les points de contact, nous savons que l'on a pour l'expression du rayon de courbure 0 :

0 = lira. — .

Résolvons d'abord le problème suivant (fig. S21) :

Soient SA, SA' deux droites de l'espace faisant le même augle a avec le plau horizontal, et faisant entre elles, dans l'espace, un augle infiniment petit cp, et, en projection, l'angle oj. Calculons çp en fonction de w et de a. Prenons SA = SA' et projetons horizontalement en S a et S a'. Soit tu l'angle a Sa'.

La droite A A' est horizontale, eu vertu de la constance de l'angle a.

Elle sera donc égale a sa projection a a'. On aura : A A' = S A' x cp, et a a' — S a' X oj.

D'où

S A' X <f> = S a' X oj. et tp = co X