C. SURFACES DÉVELOPPABLES

§ 425. — Génération des surfaces développables.

La discussion du théorème de Chasles nous a conduit à appeler surfaces développables les surfaces réglées qui on! le même plan tangent en tous les

— c2oi —

points d'une même génératrice. Elles sont caractérisées par celte condition analytique que p (plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines) est infiniment petit par rapport à s (angle de ces deux génératrices). Le paraît

mètre de distribution K

lim .

est donc nul .

Réciproquement, toujours d'après la formule de Chasles, si le plan tangent

est invariable, puisque l'on a tg. a = •— et que x est variable, il faut que K

soit nul ou infini.

Or, K n'est infini que pour les cylindres ; si donc la surface n'est pas cylindrique, il faut que K soit nul, c'est-à-dire que p soit infiniment petit par rapport à a.

Nous avons vu(§ 349) que l'enveloppe d'un plan mobile était une surface réglée à plan tangent invariable, c'est-à-dire développable. Donc, réciproquement, toute surface développable peut être considérée comme l'enveloppe d'un plan mobile.

Nous avons, enfin, un autre mode de génération d'une développable, basé sur le théorème qui a été démontré au § 422 et sur son réciproque § 422-6.

Il résulte de ce théorème que, dans une surface développable, les génératrices sont tangentes à une courbe gauche. Or, nous avons vu que la plus courte distance de deux tangentes infiniment voisines dans une courbe gauche est du troisième ordre. Nous démontrons donc ainsi la proposition suivante :

Si p n'est pas du premier ordre, il est, au moins, du troisième ordre.

Le plan tangent d'une développable est le plan osculateur de sou arête de rebroussement. En effet (voir fig. 520), le plan tangent en t contient, d'une part, la droite t 0 qui est la génératrice, et, d'autre part, la position limite de la droite t 0'. C'est donc le plan qui, passant par une tangente / O à l'arête de rebroussement. contient aussi le point infiniment voisin 0' ; c'est donc le plan osculateur.

Résumé. — En résumé, nous prendrons pour définir une surface développable, l'une des trois définitions suivantes équivalentes entre elles:

irc Définition. — Une surface développable est l'enveloppe d'un plan mobile.

2* Définition (analytique). — C'est une surface réglée dans laquelle la plus courte distance entre deux génératrices infiniment voisines est infiniment petite par rapport à leur angle, ou bien encore dont le paramètre de distribu-, tion est nul pour toutes les génératrices. Dans ce cas, c'est un cône.

3e Définition. — C'est la surface, lieu géométrique des tangentes à une courbe gauche. Celle courbe gauche est l'arête de rebroussement de la surface .

§ 426. — Développement de la surface.

[a) Angles et longueurs. — Nous avons vu que les angles et les lou~ gueurs se conservent daus le développement ; niais il n'en est pas de même des rayons de courbure.

[b) Rayons de courbure. — Soit AB (fig. 524) une courbe tracée sur une surface développable ; A T la tangente au point A, et B le point infiniment

Fie. 521

voisin. Le plan T A B est le plan osculateur de la courbe. Soit eu outre M A 1 la génératrice rectiligne de la surface qui passe par le point A. Le plan TA M est le plan tangent à la surface.

Le développement de la surface se fait en prenant la génératrice M I pour charnière, et, rabattant par le procédé ordinaire le point B, infiniment voisin, eu l!i sur le plan tangent. Soit I le centre de rotation. L'angle de rotation [3 est l'angle B I Bl ; il est infiniment petit, nous le prouvons plus loin. La

courbe A B, de l'espace, se transforme en la courbe ABl. Elles ont toutes deux la même tangente AT.

Cela posé : soit p le rayon de courbure de la courbe AB et o' celui de ABl. Si nous abaissons les perpendiculaires BC et Bl Cl sur la tangente, nous avons vu (§ 415, 2e Expression) que l'on avait :

A Ci

0 — lim.

et p' = lim.

2 Cl Bl

Je dis que nous pouvons remplacer dans l'expression de o' les longueurs A Ci par A C, et Cl Bl par Cb.

En effet, BC est du deuxième ordre et comme l'angle B C 6 = a est l'angle du plan tangent et du plan oscillateur et n'est pas infiniment petit, il

en résulte que B b, qui est égal k ti C,sin. a, est aussi du deuxième ordre. Cela prouve, en passant, que l'angle [3 est infiniment petit du premier ordre, car on a :

Sin.P = ^ = ^.