IB K'O

Donc l'arc B Bl esl aussi du deuxième ordre, et b Bl, qui est du second ordre par rapport k l'arc B Bl, est du quatrième ordre.

lien est de même de CCI qui est compris entre deux lignes parallèles, menées par b et Bl .

En effet, dans le trapèze C b Bi Ci, on a fcBl qui est du quatrième ordre ainsi que bd ; par conséquent, d Bl, qui est plus petit que bd -+- 6Bi, c'està-dire que la somme de deux. quantités du quatrième ordre est elle-même du quatrième ordre, et est négligeable en présence de Bl Cl, qui est du deuxième ordre.

Finalement, on peut doue prendre pour expression de o' :

Or, on avait :

.. Â~ca

p — lim.

Donc, en prenant le quotient, on a :

p' BC |

b C cos. a

et o —

d'où :

a o ii cos. a Théorème 1. — Le rayon de courbure de la transformée est égal au rayon de courbure de la courbe primitive, divisé par le cosinus de l'angle que fait le plan osculateur de la courbe avec le plan tangent à la développable.

Géométriquement, on peut exprimer ce théorème de la manière suivante : Si par le centre de courbure de la courbe primitive, ou mène une perpendiculaire à son plan osculateur, elle perce le plan tangent à la surface au centre de courbure de la transformée.

Conséquences. — Si a = 0, c'est-à-dire si la courbe a pour plan osculateur le plan tangent à la surface, on aura : cos. a = i et p' — p. Dans ce cas, le rayon de courbure sera le même avant et après le développement.

On sait que le plan tangent est osculateur k l'arête de rebroussement. Par conséquent, le rayon de courbure de l'arête de rebroussement se conserve dans sou développement.

Si a =90, cos. a = 0 et o'-- = oo,

donc :

Théorème 2. — La transformée présente une inflexion au point pour lequel le plan tangent à la développable est perpendiculaire au plan osculateur de la courbe de l'espace.

Si la courbe est plaue, son plan est le plan osculaleur. C'est le théorème du § 204.

§ 427. — Surface développable définie par deux directrices.

(o) Génératrices. — Nous avons vu que pour définir le mouvement d'une droite il faut trois conditions. La droite engendrera ordinairement une surface gauche. Le fait d'être développable équivaut k une condition. Il suffira donc de deux conditions pour définir une développable. En général ces deux conditions se traduiront par l'existence, soit de deux combes directrices, soit de deux surfaces directrices, nommées noyaux, soit d'un cône directeur et d'une courbe directrice, soit d'un cône directeur et d'une surface noyau.

Prenons le cas de deux courbes directrices A et B et proposons-nous de trouver la génératrice pissant par un point m de l'une d'elles. Soit m n cette droite. Puisque la surface doit être développable, le plan taugeut doit être le même eu tous les points et particulièrement aux points m et ?i.

Il faut donc que le point n soit choisi de telle sorte que la tangente n q. k la directrice B, soit dans un môme plan avec la langente m t a la directrice A. D'où nous déduisons la solution suivante :

1° Ou coustruil le cône qui ayant m pour sommet aurait B pour direcrice (fig. 525).

2° Par la tangente m t a la première directrice on mène un plan tangent à ce cône ; il est tangent k la surface développante et la ligue de contact m n est la génératrice demandée.

En général, par la droite m t on pourra mener plusieurs plans tangents

Fig. 525

(deux, trois, etc ) au cône, cela dépendra du degré de leur équation. Il y

aura donc aussi plusieurs génératrices (deux, trois, etc ) distinctes, répondant à autant de nappes de la surface.

Ces génératrices se couperont deux a deux, ou trois à trois, etc suivant la courbe A, qui, à cause de cette particularité, se nommera une ligne

multiple (double, triple, quadruple ) de la surface. Il eu sera de même de

la directrice B. Toutes ces notions ont été déjà données aux § 3.'j3-.'154

(b) Points limites. — BRANCHES PARASITES. — Si la droite m t tombait dans l'intérieur du cône auxiliaire, il pourrait se faire que plusieurs des plans tangents, menés ci-dessus au cône auxiliaire, cessassent d'exister, auquel cas un nombre égal de génératrices cesseraient aussi d'exister. 11 peut donc y avoir des portions des directrices A et B, desquelles il ne peut partir aucune génératrice. On nomme ces portions des brandies parasites, et l'on nomme points limites les extrémités a ou 3 (ng. 526) de ces branches parasites. Mais la tangente m t de la figure 525 ne peut passer d'uu côté k l'autre d'un cône auxiliaire qu'en passant par sa surface; par conséquent, ce qui caractérise un point limite a, c'est que la tangente a 3, à la directrice correspondante A, rencontre (en B,, par exemple, tig. 520) l'autre directrice B.

§ 128. — Rebroussements de la ligne de striction (même figure 526).

Nous savons que la liijne de striction, dite aussi arête de rebroussement, est tangente à toutes les génératrices de la surface développante et qu'elle est le lieu des points centraux de ces génératrices.

Je dis que a est le point central de la génératrice limite a 3 et, par con-

Fig. 526

ff4

séqueut, que la ligne de striction passe par le point a. Je dis aussi qu'elle y présente un rebroussement.

Pour démontrer le premier point il suffit, par définition du point central, de prouver que le pied de la plus courte distance entre la génératrice a 8 et la génératrice iufinimeut voisine m n, passe par a.

Eu effet, pour avoir la plus courte distance nous menons par a une droite aX parallèle a m n, ce qui avec a 6 défiuit un plan ; nous abaissons m S perpendiculaire sur ce plan et, déplaçant ensuite m S parallèlement à elle-même suivant la direction mn, nous obtenons en tu la perpendiculaire commune mise en place.

Le point t, pied de cette perpendiculaire sur a S, a pour position limite le point central de la ligne a [3 ; abaissons ma perpendiculaire sur a 8 ; si je démontre que at est infiniment petit, comme a se confond à la limite avec a, j'aurai prouvé que le point ceutral est le point a.

Or u t ou son égale m S, est du troisième ordre, comme plus courte distance de deux génératrices dans une développable ; m a est du deuxième ordre comme dislance d'un point m à la tangente iufinimeut voisine. Par conséquent, dans le triangle a m S, le côté m S étant plus grand que la différence des deux autres et étant lui-même du troisième ordre, il faut que la différence entre a m et a S soit du troisième ordre, ce qui revient à dire que a S est aussi du deuxième ordre, c'est-k-dire de la forme K 02 ; on peut ajouter que «S est égal à « vi, au point de vue infinitésimal.

Dès lors, dans le triangle t a S, on a :

tg. ff

a S est de la forme K 02, a est de la l'orme K'Ô, donc at est de la forme K"0, c'est-k-dirc iufinimeut petit ; le premier point est démontré.

Je dis, en second lieu, qu'au point limite a, la ligne de striction présente un rebroussement, autrement dit, ne dépasse pas le plan normal y.

Remarquons d'abord que dans une courbe sans rebroussement (fig. 527) en

Fig. 527 Fig. 52S

a. deux tangentes infiniment voisines m t cl n q recoupent la tangente t q de chaque côté du point a, tandis que s'il y a rebroussement (fig. 528) en 8, elles la recoupent d'un même côté et réciproquement.

Cela posé, reportous-nous au mode de génération de la développable aux environs du point-limite a.

1° La tangente a à la directrice A rencontre eu 8 la directrice B (fig. 529). C'est ce qui caractérise le point-limite a.

2° A un point M pris très voisin de a sur la partie non parasite de A,

Fig. 529

répondent deux génératrices M m et Mm dont les départs m et n, sur la direc trice B, sont de part et d'autre de 3. Projetons le tout ;fig. 529) sur un plan quelconque H. a' 3' est la projection de la tangente eu a à la ligne de striction ;

les deux génératrices infiniment voisines M m et Nn, se projettent en M' m' et M' ri. Elles sont tangentes ainsi à la ligne de striction.

Il est évident sur la figure qu'elles rencontrent en 1 et 2 situé d'un même côté de a', la tangente a' (3'.

Donc, d'après la figure 528, il y a rebroussement en projection, et par suite dans l'espace, car le plan de projection H était quelconque.

§ 429. — Surface développable définie par une directrice et un cône directeur.

Soit A la directrice et m ua de ses points; prenons la langentc mt' et menons au cône, par le procédé connu, des plans tangents Stb, Sta parallèles à cette droite (fig. 530).

Les génératrices de la développable passant par m, seront les deux

Fig. 530

droites m a' et m V, parallèles k S a et S b. De plus le plan langent k la développable tout le long de ces génératrices sera parallèle au plan tangeut correspondant du cône.

11 y aura aussi dans ce mode de génération des points-limites sur la directrice et par conséquent aussi des branches parasites.

Un point-limite oc sera celui pour lequel la tangente a [3 à la directrice sera parallèle à une génératrice du cône directeur.

Si l'on construisait par le point S un autre cône obtenu en menant des parallèles aux tangentes de la directrice A, les intersections des deux cônes donneraient les directions des génératrices-limites.

Tout ce que nous avons dit plus haut s'appliquera. La ligne de striction passera par les points-limites de la directrice et y présentera un rebroussement.

Parmi les surfaces développables a côucs directeurs, nous citerons les surfaces d'égale pente. Dans ces surfaces la directrice est quelconque, et le cône est de révolution. Si cet axe est vertical, on voit que les plans tangents à la surface font tous le même angle avec le plan horizontal ; ils ont donc la même pente, ce qui justifie la dénomination. Nous avons déjà étudié, plus haut, une surface d'égale pente dont la directrice est une ellipse horizontale (troisième partie, §354).

Nous compléterons les notions acquises par quelques remarques sur les surfaces développables k directrices planes.

§ 430. — Surface développable à deux directrices planes.

Nous supposons, en outre, que les directrices sont deux coniques.

Soit Z II l'intersection de leurs deux plans. On prend un point quelconque m sur ZU ; de ce point on mène deux tangentes k chacune des coniques (fig. 531).

Soit mil, mp, les tangentes k la première conique ; m S, mt, les tangentes k la deuxième. Eu joignant les points deux à deux, on obtient quatre génératrices : rit, vs, tp, s p.

Remarque. — Ou voit que les deux coniques sont deux lignes doubles de la surface, puisque chacun de leurs points sert de départ k deux génératrices.

Cette surface présentera quatre nappes, lieux géométriques de chacune des quatre génératrices trouvées plus haut.

Si l'une des coniques (fig. 532) A est tangente au plan do l'autre B, deux des génératrices ps et p t sont dans le plan Q et y seront toujours.

La développable comprendra donc deux fois le plan Q, c'est-k-dire le plan de la conique qui n'est pas tangente.

Eu dehors de ce plan la surface n'aura plus que deux nappes.

Enfin si l'une des deux coniques directrices coupe le plan de l'autre aux points M et N (fig. 533), la surface présentera les particularités de branches parasites indiquées plus haut.

En effet, prenons un point quelconque a sur l'intersection ZU des deux plans. Si le point a est en dehors des deux points M et N, on pourra mener de ce point deux tangentes k chacune des coniques, et l'on en déduira, comme ci-dessus, quatre génératrices.

Si l'on prend le point b entre M et N, ou ne pourra plus mener de tangentes k la conique du plan P. Aucune génératrice ne répondra a ce point.

Les derniers points utiles pris sur l'intersection seront les points M et N.

Menons les tangentes limites Mg, M/t, Nfr, Ni; les arcs kg, hl, seront des arcs parasites ; aucune génératrice ne pourra s'appuyer sur ces arcs et la ligne de striction passe par les points-limites g k h I el y présente, en chacun d'eux, un rebroussement.

§ 431. — Hélicoïde développable, ou enveloppe d'un plan qui se déplace hélicoïdalement.

(a) Génération de la surface. — Nous savons que l'on nomme surface hélicoïde, toute surface engendrée, soit par une courbe, soit par une autre surface, se déplaçant hélicoïdalement, c'est-à-dire liée invariablement k une génératrice d'un cylindre que l'on ferait tourner sur ce cylindre, en la faisant monter de quantités proportionnelles aux angles de rotation.

Si la surface mobile est un plan, la surface enveloppe sera développable ; ce sera un hélicoïde développable.

Pour en étudier les propriétés, prenons (fig. 534) le plan mobile lorsqu'il est dans la position MP L, perpendiculaire au plan vertical. Soit II' l'axe de la rotation hélicoïdale.

Soit a l'angle du plau mobile et du plan horizontal, et h le pas réduit du mouvement hélicoïdal, c'est-k-dire la hauteur montée pour un an^le de rotation égal k 1. Faisons tourner le plan de l'angle w, infiniment petit, et faisons-le monter ensuite d'une hauteur Z égale k hio ; ou bien, au contraire, faisons-le d'abord monter de la hauteur Z = /toj, ce qui l'amène dans la position D PT, et, ensuite, tourner de l'angle w, ce qui amène sa trace horizontale P'D dans la position G M.

Cherchons la droite d'intersection du plau primitif P et du plan déplacé eu M G. La limite de cette intersection donnera la caractéristique de la surface enveloppe.

1° Sa direction est de front.

En effet, si par un point V V de t'espace, ou menait uu plan toujours parallèle au plan mobile, ce plan aurait pour enveloppe un cône de révolution dont les génératrices seraient parallèles aux caractéristiques de la surface. Or, au plan Pl du cône parallèle, au plau P de la surface, répond la généra-

trice VP1, de front dans le cône, donc la caractéristique du plan P est une droite de front, inclinée à l'angle a.

2o Le point M où se coupent les traces P C et G M, est un point de l'intersection, c'est-à-dire, a la limite, un point de la caractéristique.

Calculons la distance CM, ou plutôt sa limite.

On a : CM = KM + CK