D. SURFACES GAUCHES

§ 432. — Paramètre de distribution dans les surfaces à cône directeur de révolution.

Supposons que l'axe du cône soit vertical. Cela revient a dire que les génératrices fout un angle constant avec le plan horizontal. On sait que dan* ce cas (§ 303), la ligne de striction est aussi la ligue de contour apparent horizontal

Soit jî (fig. 535) l'angle constant des génératrices avec le plan horizontal, et l'angle formé avec le plan horizontal par la tangente k la ligne de slriction au point où elle rencontre «ne génératrice ; p le rayon de courbure de la ligue de striction eu projection horizontale. Je dis que l'on aura : K = p {tg. [3 - tg. y).

Pour le démontrer, supposons le plan vertical parallèle à la génératrice considérée. Soit a b — A'B'la ligne de striction; en projection horizontale, toutes les génératrices sont tangentes k la courbe a b. Soit aa' un point de cette ligne ; a t — a't'Ui tangente en ce point; y son angle avec le plan horizontal ; o m — «'m' une génératrice, et p son angle avec le plan horizontal.

p (plus courte distance)

Il faut évaluer K — lim. — ■ ; — ; — ; — — — — '

n (angle de deux génératrices voisines)

Soit b v la génératrice infiniment voisine, to l'angle qu'elle fait en projection horizontale avec la génératrice a t. Nous avons vu, k l'occasion du rayon de courbure de l'hélice, que l'angle s de l'espace avait pour expression : <j = w, cos. p (§424).

Evaluons la plus courte distance p. Il suffit, pour cela (fig. 535), d'évaluer

Fig. 533

la distance d'un point C de l'une des droites, au plan Q, mené par l'autre et parallèlement k la première.

Or, dans le cas actuel., le plan mené par la génératrice a m — a' m', parallèlement k la génératrice infiniment voisine et langent k l'infini, est perpendiculaire au plan central et, par suite, comme ce dernier est le plan projetant horizontalement a ni, c'est le plan a' m' projetant verticalement la génératrice, il est projeté tout entier suivant sa trace verticale m' a'.

Nous prendrons sur la génératrice infiniment voisine le point b, où elle rencontre la ligne de striction. Sa projection verticale sera b', située, eu né-

gligeant des infiniment petits d'ordre supérieur, sur la tangente b' V au lieu d'être sur la courbe.

La perpendiculaire b' c', abaissée sur la projection verticale de la génératrice, est la plus courte distance cherchée.

On a

V c = a' //,sin. (p — y).

Mais

cos. y

cl, par suite,

a b, sin. (p — y)

Développant,

a b =. io a; ) o X sin. (3 — y)

os. y X M> cos- p cos- p X cos. y

sin. 3 X ros.y — cos.pXsin.y

donc

2° Tg. S =oo. Cette hypothèse est impossible, puisque l'angle S est

cos. 3 Xcos. y K = ? (tg. 3 - tg. y).

Telle est l'expression cherchée. 11 y entre le rayon de courbure p de la ligne de striction en projection horizontale, l'angle y> Quu 'a tangente à cette ligne dans l'espace fait avec le plan horizontal, et l'angle S, constant, que les génératrices de la surface font aussi avec le plan horizontal.

Discussion. — 1° Ig. 3 = tg. y..

La génératrice est tangente k la ligne de striction.

Alors, K = 0. Le plan taugeul est le même eu tous les poiuts et a l'infini. La génératrice est singulière.

constant.

3° Tg. y = 0. La tangente a la ligne de striction est verticale. Cette ligne présente alors un rebroussement eu projection horizontale, avec un rayon de courbure infini ; alors K = co ; le plan tangent est le même en tous les poiuts et la génératrice est singulière.

4° o = oo. La courbe de striction présente une inflexion en projection horizontale. Son plan oscillateur est vertical. K =oo. Le plan tangent est le même en tous les poiuts et au point central. La génératrice est singulière.

§ 433. — Mêmes surfaces. — Plan tangent en un point d'une génératrice.

(a) Pôle d'une génératrice.— Soit md (fig. 536) la trace horizontale d'un •plan tangent. Elle doit passer par la trace horizontale m de la génératrice.

Fig. 53G

Epure des paramétre*

Abaissons du point c, projection d'un point, une perpendiculaire sur cette trace, et soit P le point où elle rencontre la normale a la ligne de striction. Soit 0 le centre de courbure, et p le rayon de courbure de la ligne de striction au point a. Calculons la distance 0 P = p. Nous allons montrer que celte distance "si indépendante de x.

Si nous menons cd perpendiculaire sur me, cette ligne peut être considérée comme la trace horizontale du plan de" f qui déterminerait le rectiligne du dièdre formé par le plan projetant la génératrice (c'est le plan central) et par le plan tangent au point ce'. Effectuons, comme l'indique l'épure (fig. 536), la construction conuue qui donnerait cet angle a. Nous aurons, eu appelaut z la hauteur du point ce' :

e.d = c/tg. a = c" f tg. a = z cos. 3 X tg. a.

Les deux triangles c d m et acP ont leurs côtés perpendiculaires; ils sont donc semblables et donnent

^r~p~ «ex m c x cos. p x

d'où l'on tire

cotg. p £ cos. Sx tg. a Mais d'après la formule de Chasles

tg. a

et nous avons K = p (tang. 3 — tg. y) ; par conséquent : a j, x cotg. 3 p (tg. 3 — tg. y)

pitg-B-tg.

V tg. pj

quantité indépendante de x et, par conséquent, constante pour tous les points d'une même génératrice.

Le point P se nomme le pôle de la génératrice a m. La distance OP — p se nomme le paramètre de tanijence.

\b) EpunE des paramètres (fig. 536). — Sur une horizontale on prend M N = p (rayon de courbure) ; 1° par le point M ou mène deux droites inclinées, l'une M G à l'angle p et l'autre M H k l'angle y. On a :

G H = p (tg. p - tg. y) = K 2" par le point H on mène une droite HJ inclinée à l'angle p Et l'on a : J N = p tg. y X cotg. p = p.

(c) Remarque. — Nous retrouvons ainsi, généralisés pour les surfaces à cône directeur de révolution, tous les théorèmes que nous avons démontrés dans la troisième partie (§ 330) pour les bélicoïdes réglés. Les problèmes de plans tangents et d'ombres se traiteront de la même manière en utilisant les propriétés du pôle.