E. QUESTION DE GEOMETRIE

§ 434. — Intersection (plane) d'un tore et d'une sphère bitangente (fig. 537).

Soit o o' le centre du tore et 1, en plan, le cenlre d'une sphère tangente à la fois en A au collier et en B a l'équateur du tore. En élévation le cercle de contour apparent de la sphère passe donc par les centres w' et o/ du cercle méridien du tore.

Soit p le rayon de celte sphère et soit r celui du cercle générateur du

tore.

Pour trouver l'intersection, coupons par un plan horizontal H' situé à la hauteur z au-dessus de l'équateur, et cherchons, comme à l'ordinaire, le point courant m m' de la section.

Le plan auxiliaire H' donne dans la sphère un cercle de rayon J' f == a et dans le tore un cercle de rayon J' g' = b, qui se recoupent horizontalement en m, rappelé verticalement en m.

Nous allons chercher une relation entre l'a; et le Z du point m' .

A cet effet :

1° Calculons les ravons a et b des cercles auxiliaires. Ou a :

a2 = p2 — 2$ b — p — y/r2 — bî - p2 — 2p y/ ,-2 — 28 + r2 —

et d'où

2° Calculons x en fonction de a et de b. A cet effet :

En plan, la distance ol est égale a r et, dans le triangle oml, le côté o m = b et I m = a.

Fig. 537

Eu écrivant que o I == o K + K 1 cela donne : r = \J tri — X2 + \/bi — ou en remplaçant a et b par leurs valeurs calculées ci-dessus

r = V 0-2 - 3'2 - xi + y/p2 - 2p y/ r2 - 3^

pour faire disparaître les radicaux, faisons passer le premier radical dans premier membre et élevons au carré

r2—2r\/ p8— jsi—ajB + pîsimplifiant

'■ — Xt^ 02 + j-2-

B2 = py/rs

élevant au carré

finalement

(quantité constante)

ce qui prouve que, en élévation, les points tels que m' sout sur une droite o' m' issue du point o*.

On voit de plus qu'elle est tangente eu T' au cercle méridien du tore.

En effet, - c'est la tanccnlc trigonomélrique de l'angle a que fait avec

l'équateur la droite o' ///'.

Mais on a aussi

Résumé. — La splicre et le tore se coupent suivant une courbe qui, en élévation, est projetée suivant la droite T' o' m' liitangente aux deux cercles méridiens du tore.

Cette courbe est donc plane et son plan est le plan bitangenl au tore.

De plus, c'est un cercle comme étant la section plane d'une sphère.

Remarques. — 1° 11 y a une seconde section plane o' 11' répondaut à la

valeur négative de — ■

2° Une seconde sphère bilangeute en c et eu i donnerait les mêmes points en projection verticale. Par conséquent un quelconque des deux plaus bitangcuts, T'o'm' par exemple, donne, en réalité, comme section dans le tore, deux cercles appartenant respectivement a chacune des deux sphères bitangentes.