COURBURE DES SURFACES

g 433. — Courbe indicatrice.

Soit S une surface ; 0 un point de cette surface, et X 0 Y le plan tangent en ce point, que nous prendrons pour plan horizontal (tig. 538).

Prenons pour axe des Z la normale au point 0; soit M un point voisin du point 0, et M m le Z de ce point. On pourra toujours développer la quantité 1 en fonction des coordonnées indépendantes, x et y du point M, et ordonner ce développement suivant les puissances croissantes de x et y, de la manière suivante :

(1) 7. —X + Rx+Ky + Cx^+ C'x y + C'y? + Dx3 + V'x*y + b"y2x + D' ",y?-r . ..

Remarquons que le point 0 étant sur la surface, pour Z = 0. on a : X = 0 et y = 0, ce qui entraîne A = 0.

Mais le plan X Y est tangent en 0, et. par suite, la section faite dans la surface par le plan ZX est une courbe tangente a l'axe des x.

Faisons i/ = 0. et prenons la limite du rapport , qui sera le coeffi-

eient angulaire de la tangente à l'origine au point 0 de la section faite par le

plan Z X ; nous devrons avoir : lim. — = 0, pour x = 0, */ = 0 et 7. = 0,

ce qui conduit k B = ().

On aura de même en écrivant que l'axe des y est tangent à la surface :

L'équation de la surface est donc :

(2) Z = Cx** + C'xy + C'y* + Dx* + h'x*y + D'y^x + D"'y* + ...

Pour une valeur particulière de Z, celte équation sera celle de la section Fig. 538

faite dans la surface par un plan parallèle au plan tangent et passant à une distance Z de ce plan.

Si nous supposons que x cl y sont des infiniment petits du premier ordre,

la section précédente devient la section faite par un plan infiniment voisin du plan tangent, et prend le nom d'indicatrice infinitésimale de la surface au point 0.

Z est infiniment petit du deuxième ordre ; les quantités x-y — x y- . . . sont du troisième ordre, et, par conséquent, si nous les négligeons en présence des infiniment petits du deuxième ordre qui entrent dans l'équation cette dernière devient :

Z = Cxi + C'xy + C'y".

("est l'équation d'une conique, de dimensions infiniment petites, rapportée k son centre.

Au lieu de la quantité infiniment petite, Z, prenons une quantité finie, K ; l'équation deviendra :

C x- ■+- C'xy + ('■" y- = K.

Elle représente une courbe semblable a l'indicatrice infinitésimale, et que nous nommerons indicatrice finie de la surface au point 0

Il en existe une infinité toutes semblables entre elles. Nous verrons plus loin celle qu'il est le plus commode de choisir.

Fig. 539 Fig. Î40

Faisons une rotation des axes 0 X et 0 Y, et rapportons la courbe précédente à ses axes ; son équation deviendra de la forme :

A x2 + 15 yî = K.

On suppose les coefficients A et B positifs.

Celle de l'indicatrice infinitésimale eût été : A xi ± Bi/2 — Z.

Le signe +, du coefficient B, répond au cas où les deux sections AB et C D, faites par les plans x Z et y Z qui passent par les axes de l'indicatrice, sont toutes deux d'un même côté du plan tangent. Dans ce cas, l'indicatrice est une ellipse.

Le signe — répond au cas où la section faite par le plan X Z, étant du côté des Z positifs, la section faite par le plan Z y serait du coté des Z négatifs On dit, dans ce cas, que la surface est à courbures opposées. — L'indicatrice est une hyperbole (fig. 540).

Les deux sectious normales, Z X et Z Y, qui passent par les axes de l'indicatrice, se nomment les sections normales principales.

GKOM. DESCR. 33

§ 43ti. — Variation de la courbure.

(a) Théorème — Les rayons de courbures des sections normales faites en un point d'une surface, sont proportionnels aux carrés des rayons de l'indicatrice.

Soit ZOO (même fig. S38) une section normale, et y // la ligne suivant laquelle le plan de cette section coupe le plan de l'indicatrice. Nous avons dit que l'indicatrice était la section faite par un plan H, infiniment voisin du plan tangent.

En négligeant les infiniment petits du troisième ordre, le point g de l'indicatrice peut être considéré comme appartenant a la surface.

Le rayon de courbure p, de la courbe 0 D, a pour expression :

TTfi h~7fî 9 ~ 277" ~2~T ' 11 est donc proportionnel au carré du rayon hg de l'indicatrice. C.Q.F.D.

(b) Corollaire. — Les sections normales principales sont celles qui ont un rayon de courbure maximum ou minimum. Les rayons de courbure de ces deux sections se nomment les rayons de courbure principaux ; nous les désignerons par les lettres R et R'.

(1) Ax'2 — Hy2 = Z.

Fig. 541

Soit A B, CD (fig. 541), la courbe qu'elle repreésnte. Un plan normal, qui aurait 0 M pour trace, rencontre la courbe en M, ce qui veut dire que la section qu'il donnerait dans la surface serait située par rapport au plan tangent du côté des Z positifs.

Son rayon de courbure serait proportionnel au carré de 0 M.

Un plan ayant pour trace 0 N, ne rencontre pas l'indicatrice, et par suite ne coupe pas la surface du coté des/, positifs. Mais, si nous chaugeous dans l'équation (1) Z eu — Z, ce qui revieul à étudier la surface de l'autre côté de sou plan tangent, l'équation devient :

(2) Aa;ï — By* =Z — •

Elle représente l'hyperbole E F G H, conjuguée de la précédente. Elle est coupée par toutes les traces, telles que 0 N, qui ne rencontraient pas la précédente hyperbole. Nous pouvons donc dire que l'indicatrice, pour une surface à courbures opposées, est représentée par les deux hyperboles conjuguées, A B et G H/ ayant les mêmes asymptotes 0 T et 0 S.

§ 437. — Indicatrices finies.

ta) Equation générale. — L'indicatrice infinitésimale sera remplacée, cn'dessin, par une indicatrice finie qui lui sera semblable, et dont l'équation rapportée a ses axes, sera :

, h — - — — : l (si c'est une ellipse).

et ■ — — — = + 1 (si c'est une hvperbole).

ai b2 —

Le signe -+- du second membre, dans le cas de l'hyperbole, répond à la section faite par un plan infiniment voisin, situé d'un côté du plan tangent, et le signe — à une section faite de l'autre côté.

Soient R et R' les rayons de courbure principaux. Ces rayons sont proportionnels aux carrés des demi-axes de l'indicatrice infinitésimale et aussi a ceux de l'indicatrice finie, qui lui est semblable. On aura donc, en désignant par K, un coefficient arbitraire :

f/2 - K R, et 62 = K R', et l'équation d'une indicatrice finie, sera :

#2 y2 oc* y% ^

K R ' + KR' = ' 0U Yn KR7 - ' De la valeur du coefficient K, dépendront les dimensions de l'indicatrice

finie.

Dans uue même épure, si en un même point 0 plusieurs surfaces différentes ont le même plan tangeut et si l'on veut, à l'aide d'indicatrices finies, étudier les particularités de l'intersection de ces surfaces aux environs du point 0, il faudra donner, pour toutes les surfaces, une même valeur au coefficient de proportionnalité K.

(b) Inmcatiuce'finie la plus simple. — Parmi toutes les indicatrices finies d'une même surface en un point, il en est une qui est plus simple a construire que les autres, c'est celle qui aurait pour un de ses deux demiaxes le rayon de courbure de la section principale correspondante.

Faisons a = I!, ou eu déduit K = R, et b = \j R 1'.'. 11 existe donc uue indicatrice finie ayant pour un de ses demi-axes l'un des rayons principaux de courbure, et, pour autre demi-axe, une moyenne proportionnelle cuire les deux rayons principaux. C'est cclle-la dont nous nous servirons ordinairement dans nos épures, à moins d'indications contraires.

Remarquons que si l'on convient de donner le signe -+- au rayon de courbure d'une section principale, quaud sou centre do courbure est d'un côté du plan tangent, et le signe — , quand il est de l'autre côté, l'équation d'une indicatrice finie sera toujours :

xi v2

K R ' + K R' Celle de l'indicatrice la plus simple sera :

~W + RÎV = l"

§ 438. — Formule d'Euler.

Cette formule donne l'expression du rayon de courbure d'une section Monnaie quelconque, en fonction des rayons de courbure des sections principales. Nous allons l'établir.

Rappelons une formule connue des courbes du second degré à centre (fig. 542] :

Soit t «■ — = 1, l'équation d'uue ellipse ou d'une hvperbole râpai — 62

Fig. 542

portée a ses axes. Soit M un point quelconque de cette courbe ; 031 = 1 le rayon de ce point, x et y ses coordonnées, a l'angle formé par 0 M avec le grand axe.

Un a : x = l, cos. a, el y = l, sin. a.

Ecrivons que le point M est sur la courbe, ce qui donnera :

/2,pos.2 a , Ï2,sin.2 a

, sin.2 a.

= .COS.* a *r -rr

Cela posé, revenons k la surface et a son indicatrice. Nous avons vu que le rayon de courbure d'une section normale, qui aurait la ligne 0 M pour trace de son plan sur celui de l'indicatrice, est proportionnel au carré du rayon 0 M de cette indicatrice, que cette dernière soit infinitésimale ou qu'elle soit finie.

Désignons par p le rayon de courbure de la section normale qui aurai! 0 M pour trace ; par RetR'les rayons de courbure principaux, c.'est-a-dirc des sections normales ayant les axes 0 A et 0 B pour traces.

Les quantités p, R et R' seront proportionnelles aux quantités 1%, a* et

/>2, et en substituant dans l'expression (1 ) qui est homogène, il vient :

(=>\ — = — ,cos.2 a + —, sin.2 a.

W - r - Il

Telle est la formule d'Euler.

Si Ton veut faire entrer dans cette expression les courbures au lieu des rayons de courbure, on sait que si nous désignons les courbures par les lettres c, C et C, ou a :

. . (• • C' = — ce qui donne •

= C, ros.2 a -+-

C',sin.2 a.

§ 439 — Courbure moyenne (fig. 342).

Prenons deux sections normales a angle droit l'une sur l'autre, ayant pour traces sur l'indicatrice les droites perpendiculaires entre elles 0 M et ON. Soient o et a' les ravons de courbure correspondants, ou aura :

Il 1 j

— ,= cos 2 a + — , sin.2 a (l'indicatrice étant

a II R'

une ellipse].

— -- = — , sin.2 a -h -— , cos. 2 x, o' I! R

ajoutant :

(4) cou rbures (5)

— -+- — ; = — .4. . — . ou, en introduisant les a p' Il + R"

c + C' = C + C d'où ce théorème :

La somme des courbures de deux sections normales a angle droit, l'une sur l'autre, est constante et égale à la somme des courbures principales.

La quaulité — - — se nomme courbure moyenne de la surface au point 0.

Ombilics. — Il peut se présenter, dans le cas où R et R' sont de même signe, des points pour lesquels 11 et R' sont égaux.

Dans ce cas, l'indicatrice est un cercle ; toutes les sections normales y ont le même rayon de courbure. Ces points se nomment des ombilics.

§ 440. — Intersection d'une surface à courbures opposées par son plan tangent.

[a) Théorème. — Dans une surface a courbures opposées, les asymptotes

Fig. 543

de l'indicatrice sont les tangentes de la courbe d'iulerseclion de la surface par sou plan tangent (fig. 543).

Eu effet, soit BOA la courbe d'intersection de la surface par snn plan langent, et O A une sécante passant par le point O (fig. 543).

La courbe de section normale mon A, qui aurait OA pour trace, serait tangente en O au plan tangent, et le recouperait en A.

A la limite, si O A devient la tangente eu O, à la courbe B.O A, la section normale précédente aura, en O, trois poiuts réunis en un seul ; elle présentera donc une inflexion et son rayon de courbure sera infini.

Mais pour que le rayon de courbure soit infini, il faut que le rayon de l'indicatrice le soit également, c'est-à-dire soit une asymptote. C. Q. F. D.

(b) Conséquences. — Dans le paraboloide cl dans l'hyperboloide, les génératrices de système différent qui passent par un même point sont les asymptotes de l'indicatrice de ce point.

§ 441. — Courbure des sections obliques.

(a) Théorème de Meusnier. — Une courbe quelconque tracée par un point O, sur une surface, a pour rayon de courbure la projection sur son plan oscillateur du rayon de courbure de la section normale qui passe par la tangente en O à la courbe considérée.

En effet (figure 544), soit Q le plan oscillateur d'une courbe MN; P le plan normal passant par la tangente O T ; O N' la section normale faite par ce dernier plan, el a l'angle de ces deux plaus. Prenons sur la tangente commune

Fig. 54 4

aux deux courbes une longueur ob infiniment petite, et élevons dans les deux plans P et Q des perpendiculaires k cette tangente jusqu'à la reucoutre en N et N' avec les deux courbes.

Soit a le rayon de courbure de la section normale ON' et pi celui de la courbe donnée ON, ou aura :

ob'- ob'c — et ai = et par suite :

pi bX

? bïa

Mais, k la limite, la droite N N" est une droite du plan tangent, el par suite est perpendiculaire sur 6N'.