B. PLANS TANGENTS AUX. TROIS SURFACES

Fig. 126

§ 93. — Plan tangent à la sphère (fig. 126).

Définition. — C'est le plan mené par un point M, de la sphère, et perpendiculaire au rayon. Propriétés. — Ce plan contient les tangentes (telle que MT) à tous les cercles (tels que MN) qui passeraient par le point M sur la sphère.

En effet : soit MT l'intersection du plan tangent et du plan du petit cercle MN. 1° M T, du plan tangent, est perpendiculaire à OM par suite de la définition. 2° Oï est perpendiculaire au plan du petit cercle. Donc :

3° En vertu du théorème des trois perpendiculaires, Mî est perpendiculaire sur MT et par suite MT est la tangente au petit cercle. C.Q.F.D.

§ 9G. — Plan tangent au cône (fig. 123).

Définition. — C'est le plan T, qui passant parla génératrice SC, contient aussi la tangente CD au cercle de base.

Propriétés. — Si l'on joint 0 C, cette droite, comme rayon du cercle de base, est perpendiculaire sur la tangente. D'après le théorème des trois perpendiculaires, il en est de même de SG. Donc: 1° la tangente CD, à la base, est perpendiculaire au plan méridien SOC, et 2° le plan tangent T, qui la contient, est aussi perpendiculaire à ce plan méridien.

Remarques. — 1° Le plan tangent T fait avec l'axe du cône l'angle afdemi-angle au sommet du cône) et avec son plan de base, le complément (90° — a) de cet angle.

2° Si l'on considérait un autre parallèle JK, du cône, et le point K de ce parallèle situé sur la même génératrice que le point C de la base, on démontrerait exactement de la même façon que la tangente à ce parallèle au point K, est perpendiculaire aussi au plan méridien SCO ; elle est donc contenue, elle aussi, dans le plan tangent au point C.

Donc le plan tangent en C, est aussi tangent en K, d'où l'on déduit ce théorème :

Théorème. — Le plan tangent à un cône est tangent tout le long de la génératrice du point de contact.

§ 97. — Cône considéré comme « enveloppe » de plans.

Une surface est une enveloppe de pions lorsqu'elle a tous ces plans pour plans tangents. En conséquence :

1° Tous les plans qui, passant par un point fixe S, font avec une droite fixe, SO,un angle a, ont pour enveloppe un

cône d'angle a, de sommet S et d'axe SO (fig. 123) ;

2° Tous les plans qui, passant par un point fixe S, font un angle constant (90° — a) avec un plan fixe, ont pour

enveloppe un cône dont l'axe est la perpendiculaire au plan menée par S, et dont l'angle au sommet est a. L'angle à la

base est 90° — a (fig. 123) ;

3° Tous les plans qui, passant par un point fixe, S, sont à une distance constante 8 d'un point fixe I (fig. 124), ont pour enveloppe un cône dont le sommet serait S, et qui serait lui-même circonscrit à une sphère de centre I et de rayon S.

§ 98. — Plan tangent au cylindre.

Définition. — C'est le plan P, qui passant par une génératrice AB, contiendrait la tangente BT à la base (fig. 127).

Propriétés. — 1° Il contient la tangente AP à toute autre base ; par conséquent il est tangent en tous les points A, G, B delà génératrice.

2° Il est parallèle à l'axe, et situé à une distance 8 de cet axe qui est constante et égale à B, rayon du cylindre.

3° Une droite quelconque GK du plan tangent a pour plus courte distance entre elle et l'axe le rayon IG, du point de contact G.

Fig. 127

§ 99. — Cylindre défini comme enveloppe de plans.

1° Tous les plans qui tout en restant parallèles à une droite, en restent à une distance, 5, constante, ont pour enveloppe un cylindre dont, l'axe est la droite donnée et dont le rayon est 3.

2° Toutes les droites de l'espace dont la plus courte distance à une droite fixe OZ est toujours égale à 8 sont groupées sur les plans tangents d'un cylindre d'axe OZ, et de rayon 8.

Cette propriété sera utilisée plus loin dans les problèmes sur les distances.