C. CONSTRUCTION DE PLANS TANGENTS AUX CORPS RONDS

§ 100. — Plan tangent à un cône par un point extérieur M.

(a) Solution dans l'espace (fig. 128). — 1° Par le point M on mène un plan P dit de section droite (il vaudrait mieux dire : de section circulaire). Il est perpendiculaire sur l'axe. 2° Du point M on mène les tangentes Ma et Mb au cercle de section. 3° Les droites Sa et Sb sont les génératrices de contact et les plans tangents, solutions de la question, sont définis par Sa, et M ou par Sb et M.

(b) Ei'ure (fig. 129). — Données. — On se donne l'axe SZ du cône en projection horizontale seulement. Le sommet S est défini par sa cote de hauteur (ici de 23 millimètres) ; de

plus, le point Z est la trace horizontale de l'axe. On connaît en outre le demi-angle au sommet (a = 31°) du cône.

GEOM. DESC. î)

Le point M est donné par sa projection horizontale m et par sa cote de hauteur (27 millimètres).

Solution. — 1° On prend un mur xy parallèle à l'axe sur lequel ce dernier se projette en S'Z' en vraie grandeur, ainsi que l'angle au sommet a accusé par la génératrice de front, S'rf'.

2° Par le point donné mm', on mène un plan debout m'd'o' perpendiculaire sur l'axe ; il recoupe le cône suivant un cercle dont l'élévation est la droite, limitée, d'o'c'.

3° On rabat ce cercle sur le plan de front W, qui contient l'axe et avec lui le point m' en Mi obtenu en reportant de m' enMi la profondeur, e = mz, du point, relative à ce plan de front W.

4° On mène les tangentes Mi Ai (ou Mi Bi ) à ce cercle rabattu, puis on relève le point de contact Ai en'</', rappelé en a par report de la profondeur relative Ai a' — 5.

La génératrice de contact est Sa (pu S b) parfaitement définie et le plan tangent est également défini par la droite Sa — S'a' d'une part et par le point m, voire même parla droite ma — m'a', projection de la tangente Mi Ai après le relèvement.

§ 101. — Plan tangent au cône, mené parallèlement à une direction donnée A-

Solution dans l'espace (fig. 130). — 1° Choisir en P un plan de base circulaire, c'est-à-dire un plan P perpendiculaire

sur l'axe et cou-

Fig. 130

Fig. 131

pant le cône suivant un cercle.

2° Parle sommet S, mener une droite S a, parallèleàA , et prendre en a, son intersection avec le plan de base.

3° Mener en

am — an les tangentes à la base. Les génératrices de contact sont S m — Sn, et les plans tangents sont a S m et a S n. Nota. — L'épure sera faite dans une leçon suivante, à propos des problèmes sur les angles.

§ 102. — Plan tangent à un cylindre par un point extérieur M.

Solution dans l'espace (fig. 131). — 1° Parle point M mener un plan perpendiculaire à l'axe du cylindre; 2° déterminer le cercle ainsi obtenu ; 3° lui mener du point M, deux tangentes M a et M b.

Les génératrices de contact sont a A et bB passant par les contacts a et b, et les plans tangents sont ou bien M a A ou bien M bB. La solution est donc analogue à celle donnée pour le cône.

Nota. — L'épure sera faite plus tard.

§ 103. — Plan tangent à un cylindre, parallèlement à une direction donnée A-

Solution dans l'espace (fig. 132). — Par un point quelconque A, on mène : 1° Une parallèle AD à la direction A et 2° une parallèle A G à l'axe. Le plan de ces droites coupe le plan de base circulaire suivant une direction GD. 3° On mène à la base deux tangentes mn etm'n' parallèles à cette direction GD, et les génératrices de contact sont Mm et M'n'. Les plans tangents sont M mn et M' m' n'.

Nota. — L'épure sera faite plus tard.

§ 101. — Plan tangent à une sphère.

1° Par un point de la surface. — Mener deux tangentes à deux cercles quelconques de la surface passant par le point. On choisira de préférence un cercle de front et un cercle de niveau. Le plan sera déterminé par ces deux tangentes.

2° Parallèlement à un plan donne . — Mener le rayon perpendiculaire au plan donné; prendre son intersection avec la sphère, c'est-à-dire y porter une longueur égale à R ; et par le point ainsi obtenu mener un plan parallèle au plan donné.

Nota. — On engage le lecteur à faire toutes les épures dont les solutions dans l'espace sont indiquées ci-dessus (§§ 101, 102, 103, 104). On prendra les données analogues à celles de la figure 129.