A. ANGLES DES DROITES

Prendre le plan des deux droites qui sont supposées se couper ;

2° Rabattre ce plan horizontalement ou de front. [b) Epure (fig. 133). — (Sa — S'a') et (S6 — S'ô') sont les deux droites.

On prend en a 'b ' — a b une horizontale du plan des deux droites. Elle servira de charnière.

, On rabat S en Si (voir Rabattements, § 50), et l'on obtient

en «Si b l'angle demandé.

Cas particulier (à chercher). — Une des droites est de niveau : alors c'est elle-même qui sera prise comme charnière.

§ 106. — Problème 1. — Par un point A, mener une droite qui en rencontre une autre, SB, sous un angle donné a.

(a) Solution dans l'espace. — 1° Prendre le plan de S B et du point A ;

2° Le rabattre de niveau ou de front et, dans cette position, résoudre le problème comme on le ferait en géométrie plane ;

3° Relever la droite trouvée.

(b) Epure (flg. 134). — 1° Par aa' , mener une horizontale, a'b' — a b, du plan ;

2° La prendre pour charnière et rabattre en Si un point quelconque .s\s' ' de la droite sb — s'b' (voir Rabattements) ;

3° 6 Si est la droite bs — b '.s- ' rabattue ; le point a n'a pas bougé comme étant sur la charnière ;

4° On mène a Ni faisant avec b Si l'angle a donné ;

5° On relève Ni en n sur bs, puis en n' sur b's' .

La solution est la droite (an — a' n').

Application (à chercher]. — Parla même méthode : Abaisser d'un point une perpendiculaire sur une droite et déterminer sa grandeur, c'est-à-dire trouver la distance d'un point à une droite.

§ 107. — Problème 2. — Trouver une droite située dans un plan, P, passant par un point S de ce plan et faisant un angle donné a avec une droite donnée SA, située hors du plan.

Solution dans l'espace (flg. 135)

1° SA étant la

Fig. 135

Fis:. 136

droite donnée, toutes les droites qui font avec elle l'angle a sont les génératrices d'un cône, ayant SA pour axe, le point S pour sommet et a pour angle générateur. On construira ce cône.

2° On prendra son intersection avec le plan, ce qui reviendra à prendre les points M et N où un cercle quelconque de base du cône coupe le plan. C'est le problème connu : Intersection d'un plan et d'une circonférence, § 86.

(b) Epure. — La feuille représente le plan horizontal (fig. 136).

1° Le plan est donné par sa trace P R et par le point S S ' dont la hauteur (&) est connue ; 2° La droite est donnée par sa projection horizontale S b. S est à une hauteur connue e , et b est supposé être la trace de la droite (hauteur nulle) ;

3° On prend pour mur le plan xy projetant horizontalement sb ; on a en S 'b, par reports de hauteurs, l'élévation de SB, et l'on remarquera que S' R est la trace verticale du plan P;

4° Le cône a pour axe S' b et pour génératrices de front S' g' ou s' d' (non tracé), faisant l'angle a avec S' b ;

5° La base du cône sera dans le plan debout g'f'f et perpendiculaire sur l'axe. Le cercle

de base aura pour diamètre a' g'. (Soit Q ce plan.)

6° On prend l'intersection du plan Q et du plan P. Les traces horizontales se coupent en f, et les traces verticales en d' d. L'intersection est f d — a' d' ;

7° On rabat sur le mur xy le cercle en a' Mi g' et la droite f d en Fi d'. On a pris 0 Fi = Qf, et d' est un point de charnière;

8° Fi d' recoupe le cercle en Mi et Ni relevés sur l'intersection fd, d'abord en m' et n', rappelés ensuite en m et n.

Les solutions sont donc les droites s m et s n bien déterminées; car on connaît les hauteurs de s, de m et de n, qu'il n'y a qu'à prendre sur l'élévation xy.

Nota. — Sur le croquis, la deuxième solution, Sw, n'est pas tracée ; on devra la chercher.

§ 108. — Problème 3. — Trouver une droite située dans un plan P, passant par un point S de ce plan, et faisant un angle donné p, avec un autre plan donné Q.

Même solution que problème 2. Seulement l'axe du cône sera perpendiculaire au second plan 0 ; l'angle à la base sera l'angle p, et par suite l'angle au sommet sera 90° — p = a.

Résolvons le problème dans le cas usuel où le plan donné Q est le plan horizontal.

Epure (fig. 137). — Le plan est défini par ses traces. Le point donné estZS' situé sur le plan. On abaisse S'Z\ perpendiculaire sur le sol, et on prend cette ligne comme axe d'un cône de révolution dont l'angle à la base sur le plan horizontal

sera l'angle donné a. (Si — S' t') est la génératrice de front de ce cône. Sa base sur le fig- 137 plan horizontal est le cercle de rayon Z b, qui recoupe en a et b la trace horizontale du

plan. Les deux solutions sont les droites (Sa — S' a!) et (S b — S' b').

Nota. — Pour qu'il y ait deux solutions, l'angle donné a doit être plus petit que l'angle p des lignes de plus grande pente du plan. Si a = p, le cercle tab sera tangent en K à la trace du plan ; il n'y aura qu'une seule solution qui sera la ligne de plus grande pente ZK.

§ 109. — Problème 4. — Mener une droite qui en rencontre deux autres (non dans un même plan) sous des angles donnés % et p.

(a) Chercher d'abord sa direction A • C'est un problème nouveau.

(b) La mettre ensuite en place. Problème déjà traité (§ 90) ; nous ne le résoudrons pas.

Fi g. 13S

Fis. 130

S ' Cân e

Problème (a). — Solution dans l'espace (fig. 138). — 1° Par un points quelconque, mener SA — SB parallèle aux deux droites données;

2° Les prendre pour axes de cônes, ayant l'un a, l'autre (3, de demi-angle au sommet ;

3° Chercher les génératrices S«i — Sn d'intersection de ces deux cônes; ce qui nécessite ce qui suit : (1°) prendre sur

les génératrices deux points G et K, qui soient à une même distance X, quelconque d'ailleurs, du sommet; (2°) faire décrire à ces points leurs cercles respectifs ; ces cercles serontsurunemême sphère de centre S et de rayon X et, par conséquent, si le problème est possible, ils se recouperont en m et n. On se souvient (§ 87) qu'il suffit de considérer un seul des deux cercles et ses recoupements m et n avec l'intersection mn des plans des deux cercles.

Epure (fig. 139). — Sn et S b sont les projections horizontales des droites. Le point S est choisi sur le sol (hauteur nulle).

1° Le plan projetant Sa est rabattu et donne en Sa' la droite de front (ce plan Sa servira de premier mur, xy).

De même 2° le plan projetant Sb, pris comme deuxième mur xi yi donne après rabattement l'élévation de Sb, en Sb'i (de front). Les droites sont donc définies chacune de leur côté.

3° Le premier cône d'axe Sa', d'angle au sommet «, a pour génératrice principale Sa', faisant avec Sa' l'angle a.

4° Le deuxième cône a pour génératrice SK'i. faisant avec S b'i le second angle donné |î. Sur chaque génératrice on prend une même longueur quelconque S//' = SK 'i = X ; et on considère les cercles respectivement décrits par les points g' et K'i . Leurs plans sont P et Q .

o° On prend l'intersection cd — c' d' des plans P et Q, ce qui nécessite un plan horizontal auxiliaire à une hauteur h (§ 79).

0° On rabat un des plans (P) sur le mur xy : ce qui donne la circonférence Mi Ni d'une part et la droite Ci Di de l'autre.

7° On prend en Mi et Ni les intersections ; on relève en m et n, sur la ligne cd. Les solutions sont les droites S m et Sn.