B. ANGLES DES DROITES ET DES PLANS

1 il

S 110. — Angle d'une droite et d'un plan (fig. 140).

C'est l'angle a, que la droite fait avec sa projection sur le plan. Au lieu de le mesurer directement, on mène au plan une normale AN par un point quelconque de la droite et on mesure l'angle NAB, qui est le complément de l'angle demandé. (Faire l'épure).

Angle a et p d'une droite avec les plans de projection (fig. 141).

1° Angle a qu'elle fait avec le sol. — On considère le plan \ ,S ubb' qui projette la droite horizontalement et on le rabat, soit sur

^B le sol, en Bi b a, soit sur le mur, par une rotation, en b' A-i b.

Dans les deux cas, cela donne l'angle a.

2° Angle ,8, qu'elle fait avec le mur. — On rabat, soit sur le mur, en A'i b' a', soit sur le sol, en «B* a', le plan aa'b' projetant la droite verticalement.

§ 112. — Problème inverse. — Par un point SS', mener une droite qui fasse des angles donnés, a, avec le sol et p avec le mur (flg. 142).

(o) Solution dans l'espace. — Elle est tout à fait analogue, à celle du § 109, mais elle conduit à une épure plus simple. Le lieu géométrique des droites qui, passant par le point S, font l'angle a avec le plan horizontal est un cône de révolution dont le sommet est S, et dont l'axe est vertical. On construira ce premier cône. Son angle à la base sera l'angle a.

De même, le lieu des droites qui, passant par S, font un angle (i avec le plan vertical est un autre cône de sommet S, d'axe debout et d'angle à la base p sur le plan vertical.

On construira ce deuxième cône et l'on prendra son intersection avec le premier.

(b) Epure (flg. 142). — 1° sa — s'a' est une droite de front, fai- -2/ saut, avec le sol, un angle a. On la fait tourner autour de la verticale du point S, et elle engendre le premier cône dont la base sera le cercle anm sur le sol.

2° Sft — S'ô' est une droite de niveau faisant avec le mur l'angle p. On la fait tourner autour de la ligne debout qui passe par le sommet, et elle engendre le second cône.

3° On prend sur la génératrice de niveau de ce deuxième cône une longueur se — A, égale à la longueur S'a' de la génératrice du premier cône. Le point ce', en tournant, engendre un cercle qui étant sur une même sphère (de rayon \) que le point a a! doit, s'il y a une solution, recouper le cercle anm.

Or le cercle engendré par ce' est de front et est projeté horizontalement suivant la droite cmn : Donc les points cherchés sont mm' et n'n' situés à la rencontre delà droite et du cercle, et la droite demandée est (S/h. — S'»i') ou (Su — S'?»').

(c) Discussion. — Pour qu'il y ait une solution, il faut que la droite nmc recoupe la circonférence anm. Il faut, pour cela, que la distance S/- du point S à cette droite soit plus petite que le rayon de la circonférence.

Le triangle S/c donne: S/- — A Sin. (î. Sur le plan vertical, le triangle S'a'/"' donne, pour le rayon du cercle: a'f = X Cos. a.

On doit donc avoir :

1 Sin. p < À Cos. a,

ou en remplaçant Cos. x par Sin. (^ a), et supprimant le facteur commun A :

Sin. (3 < Sin. (-J — a), ce qui entraîne, car (3 et (— ■ — %) sont chacun plus petits qu'un droit:

r? < — «, ou

11 faut, pour que le problème soit possible, que la somme des angles % et |3 soit plus petite qu'un angle droit. Ce problème n'est qu'un ca*s particulier du suivant.

§ 113. — Problème. — Par un point S, mener une droite qui fasse un angle donné a avec un premier plan A, . et un angle p, avec un second plan B.

Même solution et même épure que pour le problème du § 109 (flg. 139). — On prendra deux cônes d'axes respectivement perpendiculaires aux plans A et B, et ayant pour sommet commun le point S. Le premier cône aura pour angle à la base, a, c'est-à-dire pour angle générateur au sommet, 90° — a. Le second aura pour angle générateur 90° — <i.

La droite demandée sera l'une des génératrices d'intersection des deux cônes (On devra faire l'épure).

Fig. 143