C. ANGLES DES PLANS

Douzième Leçon. ^-f § ll i. — Angle de deux plans.

(a) Nous traiterons d'abord le cas particulier où l'intersection ab — a' b' (fig. 143) des deux plans est de front. Pour définir chacun des deux plans, il suffit de donner leurs traces horizontales «0 et «R. Les traces verticales sont inutiles.

On coupe par un plan S, perpendiculaire sur l'intersection ab — a'b', et par suite perpendiculaire aussi au mur. Ce plan coupe l'intersection en un point p'p, et il recoupe les traces en m et n; par conséquent les deux côtés du rectiligne du dièdre des deux plans sont projetés, sur le sol, enpm etpn.

Pour avoir ce rectiligne en vraie grandeur, on le rabat en wîPi n sur le sol, en prenant mn pour charnière, et i pour centre de rotation du point pp'.

Nota. — On voit qu'il était inutile de chercher la projection horizontale p, et qu'il suffisait de rabattre directement en Pi le sommet du rectiligne en mesurant, en Sp' sur l'élévation, le rayon de rotation, î Pi de ce point.

Remarque. — On voit qu'il suffit de connaître les traces, P et Q, des deux plans, la projection a b de leur intersection et l'angle y que cette droite fait avec le sol, ou bien encore la cote de hauteur b" b' d'un de ses points.

(b) Cas général (fig. 144). — Nous supposons les plans R et Q définis par leurs traces.

1° On cherche leur intersection a 6, en projection horizontale seulement.

2° Prenant un nouveau mur x\ yi , parallèle à ab (pour plus de simplicité, on prend le plan projetant horizontalement l'intersection). On cherche en ab'i , par \ report de hauteur, la nouvelle élévation de l'intersection,

et on est ramené au cas précédent.

On voit en mSp'i le plan du rectiligne ; lequel est perpendiculaire sur ab — a' b'. Le sommet du rectiligne est p't rabattu en Pi , et le rectiligne est obtenu en vraie grandeur en m Pi n.

Question annexe. — Mener le plan bissecteur du dièdre des deux plans.

On mène en Pi V la bissectrice du rectiligne trouvé en rabattement, etles tracesduplan demandé sonta VTetTft'.

Nota. — Ce problème annexe est un cas particulier du suivant.

§115. - Problème 1 (même figure 144). - Par une droite (ab - a'b') d'un plan (R) faire passer un autre plan (Q) qui fasse avec lui un angle donné a.

Solution. — Commencer l'épure comme si, le problème étant résolu, on voulait trouver l'angle a. En conséquence, mener le plan m S, perpendiculaire sur a' b' ; en déduire par rabattement en mPi , un des côtés du rectiligne du dièdre. L'autre côté, inconnu, Pi n sera tracé à la condition de faire un angle a avec Pi m; ce qui déterminera le point n et, par suite, la trace cnQ du deuxième plan demandé.

Nota. — Ce problème est lui-même un cas particulier du suivant.

Fig 14C>

§ 11G. — Problème 2. — Par une droite S A. située hors d'un plan R, faire passer un plan Q, incliné d'un angle -j. sur le premier.

(a) Solution dans l'espace (fig. 145). — 1" d'un point S quelconque de la droite. SA, abaisser une perpendiculaire SO sur le plan, et la prendre pour axe d'un cône d'angle à la base a.

2° Mener à ce cône un plan tangent par la droite S A ; il suffit, pour cela, du point A où la droite perce le plan, do mener une tangente A M à la base circulaire du cône sur le plan R. Le plan demandé est défini par les droites S A, A M et SM. Il y aune deuxième solution SAN répondant à la deuxième tangente AN.

Nota. — Il peut ne pas y avoir de solution si le point A tombe dans le cercle de base, c'est-à-dire si % est <S (anglr de SA et du plan).

(b) Epure. — Données (fig. 140). — 1° La droite est donnée par son plan projetant S d, et par l'angle y = dÇlTd qu'elle fait avec le sol.

2° Le plan est donné par sa trace RR et par son angle s, avec le sol. Dès lors on prendra un mur xy, passant par S, trace

horizontale de la droite etperpendiculaireau plan donné.

Solution.

— 1° Du point S quelconque (ici, trace de la droite), on abaisse la normaleSo — So' sur le plan, lequel est défini

graphiquement par sa ligne de plus grande pente (ici, R I î i ). o o ' est le pied de cette normale sur le plan. 2° On la prend pour axe d'un cône, S t' , d'angle à la base a.

3" On prend en Sd', par report de la hauteur d'un point d de la droite, l'élévation de cette dernière sur le mur xy, et on en déduit le point a' a, où elle perce le plan Ri R.

4° On rabat, sur le mur xy, le cercle de base et le point au' , ce dernier en A2 . On mène la tangente A2 Ma et 5° On relève Mg en m', puis en m, par un report de profondeur.

Les trois droites a m — m S et, comme complément, a S, déterminent le plan demandé.

Nota. — On cherchera la deuxième solution, répondant à l'autre tangente que l'on pourrait mener du point A» au cercle rabattu.

Echelle

§117. — Même problème. — Cas usuel où le plan donné est horizontal (fig. 147). Nous le résoudrons en projections cotées.

Enoncé. — Par la droite cotée a b, mener un plan de pente