ZI

Soit a b, la droite : a (cote 5), b (cote 2). On prend pour plan horizontal le plan à la cote (2), passant par b.

L'axe du cône sera vertical. On prendra a pour son sommet. Le rayon R du cône calculé donne, à cause de la

pente — et de la hauteur 3M du point A au-dessus du point B : R = 2M . On trace, à l'échelle, le ci rcle de rayon R, et la

tangente bm est l'horizontale du plan située à la cote 3. Le plan est donc bien déterminé par ba et par b m.

§ 118. — Trouver les angles a et f , que fait un plan P, avec les plans de projection (fig. 148).

Soit P, le plan défini par ses traces. 1° Pour avoir a, angle fait avec le sol, on coupe par un plan vertical voa' , perpendiculaire sur la trace horizontale. On rabat la section en a'Vi sur le mur et a'vt y donne en a l'angle cherché.

2° Pour avoir p, angle avec le mur, on coupe par un plan debout w' ob, perpendiculaire à la trace verticale ; on rabat en b M'i, sur le mur, l'intersection obtenue et l'on a l'angle Çt.

Remarque. — l" Nous avons fait passer nos deux plans sécants par un même point O de la ligne de terre.

GÉOM. DESC. 6

Fig. 119

Fig. 150

2° Si, du point 0, on abaisse des perpendiculaires 0 J, 0 J ' sur les intersections rabattues, ces droites, tracées dans des plans perpendiculaires chacun au plan P, et dirigées perpendiculairement à l'intersection, sont elles-mêmes perpendiculaires au plan P. Elles mesurent donc la distance du point 0 au plan P ; elles sont . égales (03 = 0 J').

Le cercle OJJ' serait le contour apparent de la sphère qui aurait le point 0 pour centre et serait tangente au plan P.

§ 117. — Problème réciproque. — Construire un plan qui fasse un angle oc avec le sol et un angle p avec le mur.

On s'exercera à trouver une construction déduite de la figure 148 prise en ordre inverse. On démontrera que pour la possibilité du problème on doit avoir: a -j- p > 90°. Nous donnons plus loin (§ 120) une solution directe.

Nota. — Afin de résoudre plus facilement les problèmes qui suivent, nous étudierons d'abord la question des plans tangents communs à deux cônes.

§ 119. — Plans tangents communs à deux cônes.

Théorème. — Pour que deux cônes aient deux plans tangents communs, il faut qu'ils soient circonscrits à une même

Fig. i51 sphère, 0 (fig. 149).

En effet, aux points m et n, où les cercles de contact, ab et cd, se coupent, le plan tangent à la sphère est tangent à chacun des deux cônes.

Remarquer : 1° Que la ligne des sommets, S T, appartient aux deux plans tangents, et 2° que, si les cercles de contact, ab et cd, ne se coupaient pas, il n'y aurait pas de plan tangent commun ; mais alors la ligne des sommets serait noyée dans chacun des cônes. Nota. — Ce théorème comprend :

1° Le cas où l'un des cônes restant fixe le centre de la sphère inscrite s'éloignerait indéfiniment sur son axe : alors le second cône deviendrait parallèle au premier (fig. 150) ; on dit alors que les cônes sont homothétiques. Il suffit, dans ce cas, de mener la ligne des sommets ST et par sa trace Z, sur un plan de base, de mener des tangentes à l'une des bases ; elle est aussi tangente à l'autre.

2° Le cas où les cônes (fig. 151) ont même sommet. (La sphère inscrite se réduit alors à un point.) Dans ce cas, pour avoir les plans tangents communs, (a) on inscrit une sphère quelconque, 0, dans l'un des cônes ; (b) on lui circonscrit un cône T', parallèle, au deuxième cône, et on est ramené soit au cas de la figure 149, soit à celui de la figure 150.

§ 121). — Problème 3 (application). — Par un point mm', faire passer un plan qui fasse avec le sol un angle <x, et avec le mur un angle p.

1° mm est pris pour sommet d'un cône m'a' , d'axe m'o' vertical et d'angle à la base a.

2° Dans ce cône on inscrit une sphère o' b' ; son centre oo' , pour simplifier, est pris sur le sol, au pied de l'axe du cône.

3° Un nouveau cône T f, dont l'axe TV est debout, et situé sur le sol, est circonscrit à cette même sphère. Ce cône a pour angle à la base sur le plan vertical l'angle donné S.

4° Ces deux cônes étant circonscrits à une même sphère auront des plans tangents communs qui seront les solutions cherchées. Mais le deuxième cône T, ayant son sommet sur le sol, il suffit de mener TP tangent à la base ad, du premier cône pour avoir la trace du plan demandé. On trouve facilement, en P??, la trace verticale, tangente à la base du 2° cône

§ 121. — Même problème. — Cas général (à chercher).

Enoxck. — Far un point M, faire passer un plan qui fasse des angles donnes a et (3 avec des plans donnés P et Q.

Faire l'épure avec les données ci-dessous (fig. 153) : ' Fi 153 1° Les plans P et Q sont définis en xy et xi yi par leurs lignes de plus

grande pente.

2° Le point M est donné par sa projection horizontale m et par sa cote de hauteur, ce qui permet d'obtenir ses deux élévations m' et m'i.

Solution dans l'espace. — On considérera les deux cônes qui, ayant pour sommet commun le point M, ont leurs axes respectivement perpendiculaires aux plans donnés, et ont pour demi-angles au sommet 90° — a et 90" — p.

Dans l'un d'eux, le second par exemple, on inscrira une sphère et, à cette sphère, on circonscrira un cône auxiliaire parallèle au premier. Soit T le sommet de ce cône auxiliaire. Le plan demandé sera le plan mené par le point T, tangent à l'un quelconque des deux premiers cônes. Nota. — Pour trouver le sommet T de ce cône auxiliaire, on s'appuiera sur ce fait que : lorsqu'un cône est circonscrit à une sphère, ses contours apparents sont des droites tangentes aux cercles, contours apparents de la sphère.