CHAPITRE PREMIER

GÉNÉRALITÉS

§ L — But de la géométrie descriptive. — La géométrie descriptive a pour objet :

(a) De représenter sur une surface plane, n'ayant que deux dimensions, largeur et profondeur, les objets à trois dimen-

ons (largeur, profondeur et hauteur);

(b) De résoudre sur les dessins obtenus, tous les problèmes que l'on pourrait résoudre dans l'espace, sur les objets

eux-mêmes.

Fig. 1

Peint de vue

flambeau.

Fig. 2

§ 2. — Différents systèmes de projections.

(a) Projections coniques ou perspective (fig. 1). — 0 est la position de l'œil du spectateur, T un tableau, ordinairement plan et vertical, analogue à une vitre transparente. Les rayons visuels tels que OA, OB.... menés de l'œil aux différents points A, B... de l'objet

à représenter, recoupent en a, b le tableau. La ligne ab est

l'image perspective de la ligne AB. - Si la ligne AB au lieu d'être droite était courbe, l'ensemble des rayons visuels formerait un cône, d'où le nom de projection conique.

Analogie complète (fig. 2) du problème de la perspective et de celui des ombres au flambeau.

giîom. niisc. 1

Fis- 3

Fis. 4

(b) Projections cylindriques, se subdivisant en projections droites (fig. 3) et projections obliques ou perspective cavalière (fig. 4 et 5).

Si le spectateur s'éloigne à l'infini, ses rayons visuels tendent à devenir parallèles, et la projection conique devient une

projection cylindrique. Les rayons visuels prennent alors le nom de projetantes. Le tableau prend le nom de plan de projection.

La projection est orthogonale (on dit encore droite), si les projetantes sont perpendiculaires au plan de projection (fig.3). La projection est dite oblique, s'il en est autrement. Les projections obliques prennent souvent le nom de perspective cavalière.

On remarquera l'analogie qui existe entre les projections obliques (fig. 4) et les ombres dites au soleil (fig. 5). Nota. — Jusqu'à nouvel ordre, nous ne nous occuperons que des projections droites, auxquelles nous donnerons le nom de projection, sans ajouter le qualificatif droite.

§ 3. — Défigurations dues aux projections.

(a) Une droite est réduite, comme longueur, en projection (fig. 6). — Cela résulte de ce fait que, dans un triangle

rectangle, un côté de l'angle droit, A b, est plus petit que l'hypoténuse AB. En perspective cavalière il n'en serait pas de même : la projection oblique, cd, d'une droite pourrait être (fig. 4) plus grande que la droite elle-même CD.

(b) Il en est de même d'une surface (fig. 7) ; elle est réduite en étendue.

(c) Un angle peut être réduit ou amplifié (fig. 7). — Cela résulte de ce fait que la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits. Par conséquent, si deux des angles étaient réduits, le troisième serait forcément augmenté.

Fig. 8

§4. -• Défigurations nulles (fig. 8).

Théorème. — Toute figure plane dont le plan est parallèle au plan de projection s'y projette en vraie grandeur et parallèlement à elle-même.

En effet, la figure AB, ab est un parallélogramme, puisque les lignes Àffl et Bb sont égales et parallèles. Donc AB est égal et parallèle à ab.

De même, le triangle cde est égal au triangle CDE, comme ayant ses trois côtés égaux. Etc.

§ 5. — Défigurations complètes (fig. 9).

Théorème. — Toute figure plane dont le plan P est perpendiculaire au plan de projection s'y projette en raccourci,

suivant une ligne droite x y qui est in Fïg.u la trace de son plan sur le plan de

projection.

Cela résulte de ce théorème que :

lorsque deux plans, P et H, sont perpendiculaires l'un sur l'autre, si d'un point B, ou A, ou C, de l'un d'eux, on abaisse une perpendiculaire sur l'autre, cette droite est, tout entière, contenue dans le premier.

Généralisation au cylindre (fig. 10). — Toute figure tracée sur un cylindre dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de projection, se projette suivant une même courbe mn qui est la trace de ce cylindre sur le plan de projection.

Généralisation aux ombres (fig. 11). — Toute figure plane ABC dont le plan passe par la source de lumière (soleil ou flambeau) porte ombre sur un plan (écran), suivant une droite ai b\ ci qui est la trace de son plan sur l'écran. (Généraliser pour la perspective.)

Fig

§6. — Angle droit projeté en vraie grandeur (fig. 12).

Théorème. — Pour qu'un angle droit BAC se projette en vraie grandeur, il suffit qu'un seul de ses côtés (Â G, par exemple) soit parallèle au plan de projection H.

Démonstration (fig. 12). — Supposons le plan de projection H horizontal. 1° AC, qui est une horizontale, est perpendiculaire à A a, qui, comme projetante, est une verticale ; 2° AC, par hypothèse, est perpendiculaire à AB. Donc AC est perpendiculaire au plan P qui projette AB ; 3° ac, qui est parallèle à AC (§ 4), est donc aussi perpendiculaire au plan P et par suite à toutes les droites de ce plan, et, entre autres, à la droite ab. C.Q.F.D.

Réciproque n° 1 . — Si un angle droit se projette en vraie grandeur, un de ses côtés, au moins, est parallèle au plan de projection.

Démonstration (même figure). — Soit Q le plan AC ac qui projette AC. Supposons que AB ne soit pas horizontal, je dis alors que AC l'est.

En effet: 1° AC étant par hypothèse perpendiculaire sur AB est contenue dans un plan S (non indiqué sur la figure 12) qui serait perpendiculaire lui-même à la droite AB, et par suite, perpendiculaire aussi au plan P qui contient AB. De plus, comme AC n'est pas horizontale, ce plan S n'est pas vertical et ne saurait se confondre avec le plan 0.

2° Par hypothèse, la droite ac étant perpendiculaire sur ab, et aussi sur Aa qui est une projetante, est perpendiculaire elle-même sur le plan P : Donc le plan Q qui passe par ac est lui-même perpendiculaire sur le plan P.

3° Donc AC étant à la fois dans deux plans distincts, S et Q, qui sont perpendiculaires tous deux au plan P, est elle-même perpendiculaire à ce plan et par conséquent est parallèle à sa projection ac, qui est aussi perpendiculaire sur P, C.Q.F.D.

Réciproque n° 2.— Si un angle, ayant un de ses côtés parallèle au plan de projection, se projette suivant un angle droit, cet angle est droit dans l'espace.

La démonstration est facile. On laisse au lecteur le soin de la faire.

Nota. — Ce théorème et ses réciproques ne sont vrais qu'en projection orthogonale. Ils cessent de l'être pour la perspective et pour les projections obliques.

§ 7. — Définitions.

(a) Projections. — Projetante d'un point (Aa, fig. 3). — Plan projetant une droite (plan AB, ab, fig. 3). — Prisme projetant un polygone (fig. 7). — Cylindre projetant une courbe (fig. H).

(b) Perspective. — Hayon visuel d'un point (o A, fig. 1). — Plan perspectif d'une droite (plan ABo, fig. I). — Cône perspectif d'une courbe.

(c) Ombres. — Hayon lumineux d'un point (Fbb\ , fig. 2). — Plan d'ombre d'une droite. — Cône ou cylindre d'ombre d'une courbe.

Nota . — On devra bien remarquer l'analogie qui existe entre toutes ces définitions.