DÉTERMINATION DU POINT ET DE LA DROITE

Fig. 13

hauteur»

positive. /

négative

Fig. li

§ 8. — Une seule projection (a) sur un plan horizontal ou sol est insuffisante pour déterminer un point A de

l'espace. Il faut y joindre la cote de hauteur du point. — Cette hauteur est positive, quand le point est au-dessus du plan horizontal, négative, quand il est au-dessous. En effet tout autre point, tel que B, situé sur la projetante Art, aurait la même projection, a, que A. Mais si Ton donne la hauteur aA, du point et son sens (positif ou négatif) alors un seul point A, a pour projection cotée, a.

§ 9. — Une seule projection horizontale d'une droite est insuffisante pour la déterminer dans l'espace (fig. 14). En effet toutes les droites qui ont le même plan projetant P, auront aussi la même projection a b. Mais si l'on donne les hauteurs Art, et B b, de deux de ses points, alors la droite AB est déterminée par sa projection cotée.

Fig. 15

Ai.

°s c(-eo) x

te

§ 10. — Epure en projection horizontale cotée (fig. 15). Une droite étant donnée par les projections cotées, de deux de ses points déterminer : 1° la vraie grandeur de cette

droite ; 2° sa trace sur le plan horizontal ; 3° l'angle, a, qu'elle fait avec le plan horizontal.

1er cas. — Droite ab. — Les cotes de a (-f- 15) et de b (-)- 45) sont toutes deux positives. — Ai a, Bi b, est le rabattement du trapèze formé, dans l'espace, par les deux projetantes, par la droite AB, et par sa projection a b.

Ai Bi est la vraie grandeur de AB. — H en est la trace horizontale. — oc l'angle fait avec le sol, ou plan horizontal.

2" cas. — Droite cd. — Le point C a une hauteur négative (— 20), le point D une hauteur positive ( -(- 35). — fi est la trace. — fi est l'angle. — Ci Di est la vraie grandeur. Pour l'observateur situé à l'infini, au-dessus du sol la droite est vue, de d en (3 et cachée de p en c (1).

Remarque. — 11 faut toujours joindre à une projection cotée, une échelle indiquant le rapport constant dans lequel les longueurs doivent être réduites.

1epCas

Echelle

-Èô-

Nota. — Les lignes cachées se font en ponctué

\rnerc

Les lignes vues, en trait plein, assez fort

négatit

Avant

--y — -> positif

Les vraies grandeurs rabattues, en trait mixte noir plein et assez fort.

Les lignes de construction, en pointilllé fin noir -et très fin.

ou encore en trait bleu.

ou encore en trait rouge, plein

§11. — Projection verticale cotée (fig. 16).

Une seule projection («') sur un plan vertical ou mur sera suffisante pour déterminer un

(1) Problèmes k résoudre en épures. — 1° On donne un Iriaugle par les projections cotées de ses trois sommels ABC. — Déterminer la vraie grandeur de ce triangle. — 2° Même problème, mais on supposera que l'un des sommets ait une hauteur négative. — On déterminera les traces des deux côtés qui passent par ce sommet et on en déduira la trace du plan du triangle.

point A, de l'espace, mais à la condition que l'on donne la profondeur (y) de ce point : cette profondeur est positive si A est en avant du mur, et négative s'il est en arrière.

Nota. — Les projections verticales cotées sont peu employées.

§ 12. — Double projection sur un sol et sur un mur.

Un point A de l'espace est parfaitement déterminé si l'on donne, à la fois, sa projection a, sur un sol ou plan horizontal, et

sa projection a' sur unmwr ou plan vertical. En effet, A peut se retrouver F'g- 17 Fi§- 18 dans l'espace, en menant par ses deux projections a et a' ce que nous

nommerons les deux projetantes inverses, a A etrt'A, qui se recouperont en A, dans l'espace.

Remarque I. — La projection horizontale, a, du point se nomme le V [liait, et la projection verticale, a', Yélévation du point A.

Remarque IL — L'intersection du sol et du mur [x, y) se nomme la ligne de terre.

Remarque III. — Les trois coordonnées du point A sont : l°sa largeur, ou Yx du point : on la mesurera de 0 en a" , sur la ligne de terre ; 2° sa profondeur ou Yy du point : elle se mesurera soit dans l'espace de a' en A, soit, mieux encore, sur le plan, de a" en a par la distance du plan à la ligne de terre. Si y est positif, a est en avant de la ligne de terre ; si y est négatif, a est en arrière ; 3° sa hauteur, ou le z, du point (-=Aa). La hauteur se mesure, en élévation, par la distance a" a ' de l'élévation à la ligne de terre. Si le z est positif, a' est au-dessus de la ligne de terre ; si le z est négatif, a' est a.\x-desso us.

Remarque IV. — Chaque projection constituerait une épure spéciale qui pourrait être faite sur une feuille de papier distinct. On convient de les faire sur une même feuille ; ce qui revient, en réalité, à faire coïncider le plan vertical avec le plan horizontal après avoir fait tourner l'un des deux (ordinairement le mur) autour de la ligne de terre comme charnière,

épure ci-contre (fig. 18). On y voit a' et (/ sur une même ligne de rappel, a' a" a, perpendiculaire sur la ligne de terre. Les trois coordonnées du point A sont visibles : Yx (largeur) de o en a" ; Yy (profondeur) de a" en a et le z (hauteur) de a" en a'.

§ 13. — Les quatre dièdres.

1" Dièdre, t y, positif; a est en avant de la ligne de terre point A < z, positif; a' est au dessus de la ligne de terre 2° Dièdre, f y, négatif; b est en arrière de la ligne de terre point B ( z, positif; V est au dessus de la ligne de terre 3° Dièdre, r y, négatif; c est en arrière de la ligne de terre point G | z, négatif; c' est au dessous de la ligne de terre 4e Dièdre, | y, positif; d est en avant de la ligne de terre point D {z, négatif; d' est au dessous de la ligne de terre

Cette opération constitue la mise en largeur, en profondeur et en hauteur d'un point. Il faut retenir les principes suivants :

Les largeurs se comptent sur la ligne de terre.

Les profondeurs se mesurent (en grandeur et signe) sur le plan.

Les hauteurs se mesurent (en grandeur et signe) sur Yélévation.

$ 14. — Représentation de la ligne droite (fig. 21 et 21 bis).

Une droite AB,-de l'espace, sera définie par ses deux projections ab, a' b'.

En effet, si on se donne a b et a'b' en menant par ces droites les deux plans projetants inverses P (plan projetant horizontalement) etQ (plan projetant verticalement), ils se recouperont dans l'espace suivant la droite AB, et ne se recouperont que suivant cette droite.

Exception. — Si la droite est de profil (fig. 22), c'est-à-dire dans un plan P perpendiculaire à la ligne de terre, à ses deux projections, ab, a' b' ne répondent plus deux plans projetants distincts. Ils n'en font qu'un seul P; par suite Tinter-

Fig. 21 bis

Epure.

Fig.

Fig. 23

section AB dans l'espace est indéterminée. Toute autre droite CD, du même plan de profil P, aurait les mêmes projections que AB. Dans ce cas, pour lever l'indétermination, il faut se donner (fig. 23) les projections a et a', b et b' de deux points distincts.

§ 15. — Problèmes sur la ligne droite. (Epure, fig. 24). — 1° Prendre un point (a a') de hauteur donnée z (fig. lj. Puisque les hauteurs se mesurent en élévation (§§ 12 et 13), cela revient à trouver, en élévation, un pointa' qui soit à la Fig. 24 hauteur donnée z, au-dessus de la ligne terre. (Solution

évidente sur la fig. 1.) L'élévation a' une fois trouvée, on en déduit le plan, a, par une ligne de rappel.

Cas particulier. — La hauteur sera nulle (z=o) (fig. 1). Cela revient à prendre le point dont l'élévation h' est sur la ligne de terre. On en déduit H sur le plan.

Nota. — 1° Le point HA' se nomme la trace horizontale de la droite ;

2° Nous avons mis, sur le plan, la grande lettre U et non pas h, parce que c'est le point lui-même et non pas sa projection que nous avons en H. 2° Prendre un point (bb') de profondeur donnée y. Solution analogue (fig. 2).

Cas particulier. — Chercher en v'r le point de profondeur nulle (y - o). On nomme ce point v ■ r, la trace verticale (fig. 2).

3° Connaissant les traces (H et v ') d'une droite, construire les projections de la droite (fig. 3).

Or

Trace vert1.6

Fig. 3

Xs' ta"

Fig. 25

le ;

TT

(1 ) Droite verticale ( Perpendiculaire au plan horizontal.)

(2) Droite debout ^ ( Perpendiculaire j au plan vertical)

(3) Droite de niveau. (Parallèle au plan horizontal. N'a pas de trace horizontale.)

(4) Droite de front. (Parallèle au mur. N'a pas de trace verticale.)

(o) Droite fronto-horizontale. (Parallèle à xy.) (6) Droite quelconque. (V oir fig. 24.)

§ 1(>. — Droites dans des positions particulières et usuelles (fig. 25).

Sa projection horizontale a b est réduite à un point.

Sa projection verticale a1 b' est perpendiculaire à xy.

Sa projection verticale est réduite à

un point c ' d' .

Sa projection horizontale est perpendiculaire à xy, c'est cd.

En élévation, vf\ elle est parallèle hxy. En plan, v f, elle est quelconque ; mais projetée vraie grandeur. fiestVangle qu'elle fait avec le plan vertical ou mur.

En plan, gïï, elle est parallèle à xy. En élévation, g' h' , elle est quelconque ; mais projetée vraie grandeur, a est l'angle qu'elle fait avec le sol, ou plan horizontal.

En plan et en élévation elle est parallèle à xy. Elle est en vraie grandeur sur les deux projections. Elle n'a pas de traces.

En plan.rH, quelconque. En élévation, v'h', quelconquè. N'est en vraie grandeur sur aucune projection. Ni le plan, ni l'élévation ne donnent les angles a et (3, qu'elle fait avec les plans de projection.

§ 17. — Droites parallèles.

Théorème. — Si deux droites sont parallèles, leurs projections sont parallèles. Cela résulte de ce fait que les intersections

Fig. 26

de deux plans parallèles par un troisième, sont parallèles (fig. 26). Les deux plans parallèles sont les plans projetant chacune des droites. Ils sont parallèles comme contenant, d'une part, deux droites AB et CD parallèles par hypothèse, et, d'autre pari , des projetantes également parallèles, puisque nous supposons les projections cylindriques. On généralisera pour les projections obliques et pour les ombres au soleil. Mais le fait n'a plus lieu dans la perspective ou dans les ombres au flambeau, parce qu'alors les projetantes ne sont pas parallèles entre elles.

Théorème réciproque. — Si deux droites ont leurs deux projections de même nom respectivement parallèles, elles sont parallèles dans l'espace.

En effet (fig. 26) : soit ab parallèle à cd, en plan. Si on mène les plans projetants inverses P et Q ils sont parallèles pour la même raison que ci-dessus: Donc 1° AB et CD sont dans deux plans parallèles, ce qui ne serait pas sufûsant pour démontrer le théorème ; mais si, de plus, les deux élévations a'b' et c'd' sont parallèles, alors les plans projetant verticalement P' et Q ', sont aussi parallèles et les droites AB, CD, de l'espace, sont parallèles comme intersections de quatre plans parallèles deux à deux.

Généralisation. — Si deux droites ont leurs projections, sur un seul plan, parallèles ainsi que leurs ombres au soleil, elles sont parallèles dans l'espace.

Fig. 27

d.id

S 18. — Reconnaître si deux droites de profil sont parallèles (fig. v27 . Emploi des projections obliques.

1° On choisit arbitrairement en RR' la direction de rayons lumineux parallèles entre eux — 2° On cherche en ai bi et c\ di les ombres portées des droites 'ab, a'b') et {cd, c'd') sur le sol, ce qui revient à chercher en ai bi ci et di les traces horizontales des rayons lumineux (§ 15). On constate que les ombres ai bi et ci di ne sont pas parallèles, donc il en est de même des droites AB et CD dans l'espace.

§ 19. — Droites concourantes (fig. 28). Les projections horizontales A et B se rencontrent en m. Les deux projections verticales se rencontrent en m'. Les deux points m et m' doivent être sur une même ligne de rappel.

£ 20. — Droites orthogonales (fig. 29). Dans le cas seulement où l'une d'elles est de front ou de niveau, l'angle droit qu'elles forment est en vraie grandeur, en élévation, ou en plan.

Sur la figure 29, la droite A est de front; comme l'angle est droit en élévation, on en conclut qu'il est également droit dans l'espace. (§ 6. Béciproque n° 2.)