NOMBRE

des faces

i — de droit.

3 par 3.

2 droits.

Tétraèdre.

' 4 par 4.

- de 1 droit.

Octaèdre.

îi par .ï.

— id.

Icosaèdre.

6 par 6.

4 droits.

(Impossible).

1 droit. '

3 par 3.

3 droits.

Hexaèdre ou cube.

4 par 4.

4 droits.

(Impossible).

3 par 3.

— droit.

Dodécaèdre.

Fijr. 173

KM

§ 143. — Tétraèdre régulier.

Triangles équilatéraux combinés trois par trois sur chaque sommet (fig. 173).

1° On construit, en abc, le triangle équilatéral sur le plan horizontal. On s'est donné le côté (a).

2° On remarque, "ce qui est vrai pour tous les polyèdres réguliers, que le centre du polyèdre étant équidistant de tous les sommets, se projette, sur une face quelconque, au centre de cette face. (Résulte du théorème sur les obliques égales s'écartant également du pied de la perpendiculaire.) Ici, le quatrième sommet s s' sera projeté, en plan, en s', centre du

triangle abc, et en élévation sur la verticale s" s'.

3° es ayant été pris de front, sera projetée verticalement en vraie grandeur : On aura donc le point s' en décrivant, de c comme centre, avec la longueur a du côté, pour rayon, un arc de cercle.

Vérification. — On doit avoir :

Fie. 171

(hauteur du triangle équilatéral).

De cette projection simple, on peut passer à une autre projection quelconque par trois déplacements. On voit en X\ y\, une projection sur un autre mur.

La figure 174 donne le développement du tétraèdre régulier. On fera bien, ainsi que pour tous les autres polyèdres réguliers, de le découper dans une feuille de carton et de construire ainsi le polyèdre solide.

Fier. 175

Fig. 177

§ 144. — Octaèdre régulier.

Triangles équilatéraux combinés quatre par quatre sur chaque sommet.

(a) Figure dans l'espace (fig. 175).

1° On construit d'abord un carré ABCD, ayant a pour côté.

2° Sur ce carré, comme base, on forme une pyramide régulière ayant aussi a pour arête : S AB C D ; on prend aussi la symétrique T, ABCD.

On remarquera que tout plan diagonal, ASGT, ou DSBT, reproduit ce même carré. Une diagonale quelconque S T, ou A C, ou D B, est égale à a y/ 2.

{b) Epure (fig. 170). — 1° On prendra le carré ABCD, dans une position horizontale, a bed — a'b'c'-d'.

2° Par le centre o o ' on mènera une verticale et on portera, de part et d'autre du plan du carré, deux longueurs o' s' et

o' t' égales à la moitié de la diagonale du carré, c'est-à-dire à 1/2 de a V^-- Le plan et l'élévation de l'octaèdre se déterminent ensuite facilement. La figure 177 donne le développement d'un octaèdre régulier.

Fig. 178

S Ho. — Octaèdre projeté sur le plan d'une de ses faces (fig. 178).

On commence par construire en abc la face équilatérale ; cela fait :

1° Le centre du solide se projettera en o, au centre du triangle équilatéral à b c (caché). (Voir Remarque du § 143).

2° (Plan). Joignant oa — o b — oc et prenant en m, », p, les points symétriques, par rapport au point o, nous aurons les trois autres sommets, puisque o est un centre de symétrie.

3° (Elévation). Pour avoir p1, m' et ri, nous remarquerons que m' c' est, en vraie

grandeur, la projection de l'apothème (a-

ce qui explique l'arc de cercle a' m'.

Fig. 17!)

40 Vérifications. — On doit avoir: a' »î' = aetc'// = «yâ, car c'est, en vraie grandeur, la projection verticale de la diagonale de l'octaèdre.

Remarque. — Le contour apparent a hcmbp de l'octaèdre, en projection horizontale, est un hexagone régulier. »

§ 146. — Icosaèdre.

Triangles équilatéraux combinés cinq par cinq sur chaque sommet. (a) Construction du solide. — 1° Dans un plan de niveau quelconque Hi, construire un pentagone régulier a b cdf — a' b' c' d' f ayant le côté a donné. 2° Construire une pyramide régulière de sommet S', ayant ce pentagone pour base et ses arêtes égales aussi au côté

donné, a. L'arc de cercle ayant a pour rayon et le point a' pour centre donne s\ sur la ligne de rappel du point S.

Soit X, la hauteur de cette pyramide.

3° En plan, par raison de symétrie autour du centre projeté en O, en prenant en m,n,p,q,r, les symétriques des points a. b. c, d, f, nous aurons les sommets d'une autre pyramide de sommet 1 1', qui formera une autre pointe de Yicosaèdre.

En plan, ces sommets mnpqr, forment avec les premiers les sommets d'un même décagone régulier.

En élévation, il faut obtenir m'u' p'ij'r', ou, ce qui revient au même, construire la distance jjl qui sépare le plan des points a b' c' d' f de celui des points m'n'p'. Nous donnerons deux méthodes :

1er Tracé : c' m! est aussi l'apothème

( a ^ ) du triangle équilatéral de côté a,

/ Rayon du cercle ' circonscrit au

pentaoone de

coté o£

c's , et un arc de cercle dont ' et les rayons c ' s' donne m '

donc : d m' -

le centre est C et les rayons c par recoupement avec la ligne de rappel du point m.

2° Tracé : On remarque que a ' m ' est aussi, en vraie grandeur, une diagonale du solide : donc, a' m' = s't', ce qui servira pour construire un icosaèdre, connaissant sa diagonale.

(b) Calcul des hauteurs 1 et ^ : 1° On a en élévation a' i' — H, rayon du cercle circonscrit au pentagone de ctité a, et a' s — a, côlé de ce pentagone. Donc, i\s ' ou À = côté du décagone régulier = c m, du plan. (Voir plus loin à Nota).

2° Dans l'espace, le triangle rectangle M d D, a pour base, sur le plan, m d, côté du décagone. Son hypoténuse mD = a, côté de l'icosaèdre, et, par conséquent, du pentagone. Donc : la hauteur \x = R, rayon du cercle circonscrit au pentagone de côté a.

Nota : Ces propriétés résultent du théorème de géométrie plane, suivant : « Dans un cercle, le carré du rayon est égal à la différence des carrés du côté du pentagone et du côté du décagone inscrits dans ce cercle. »

§ 147. — Problème. — Construire un icosaèdre régulier, connaissant la longueur, h, de sa diagonale. Il résulte de ce qui précède que la hauteur totale, h, de l'icosaèdre régulier s'obtient (flg. 179) en ajoutant au rayon H du cercle circonscrit au pentagone qui aurait a pour rayon, deux fois le côté du décagone inscrit dans le même cercle.

Or on sait que l'expression du côté du décagone régulier en fonction du rayon est — (y/"5~

On aura donc :

A = H + 2T(\/5 -i) = Rv/5"

Fie. 181

1 V, perpendiculaire sur s't'. La longueur t'Y donne R.

En effet, on a : Tv5 = Tï X ï s',

Par conséquent, si l'on se donne la hauteur s't' (flg. 180), on en déduira R et ensuite la projection de l'icosaèdre de la manière suivante :

1° On partage s't' en cinq parties égales aux points 1 2 3 4.

2° On décrit sur s't' comme diamètre une demi - circonférence, et on mène

c'est-à-dire :

R-,donc t'Y = R.

3° De part et d'autre, du point o ' , milieu de la droite s't' , on porte, en o 'i' et o 'j ', la moitié de la longueur R qui vient d'être trouvée ; ce qui donne les niveaux des points a'b'c'd ' f et m 'n'p ' q 'r ' de la figure 177.

D'ailleurs, ayant le rayon du cercle circonscrit au pentagone régulier de côté a, la construction de l'icosaèdre se fera comme au paragraphe précédent.

f.a figure 181 donne le développement d'un icosaèdre régulier.

S 148. — Le cube, ou hexaèdre régulier.

Carrés groupés trois par trois autour de chaque sommet. — Il est inutile d'indiquer la manière dont on obtient la projection d'un cube reposant par sa base sur le plan horizontal. Nous résoudrons le problème suivant : ' Problème. — Projeter un cube placé de telle sorte, que l'une de ses diagonales étant verticale, une de ses arêtes fasse avec le plan vertical un angle donné, p.

Dans un cube (fig. 182, perspective), MSTU, la diagonale TS du solide est la diagonale d'un rectangle T M S, dont un côté, T M, est égal au côté, a, du cube, et dont l'autre côté, M S, est la diagonale du carré qui aurait a pour côté. On a donc : M S - a \J~% et T S = a ^"3",

et, de plus,

Fig. 1S2

c'est-à-dire :

Cela posé, étudions à part (fig. 183, A) ce rectangle diagonal. Supposons que la donnée du problème soit la longueur, L, de la diagonale du cube. Trouver le côté, a, du cube, c'est donc résoudre le problème suivant :

Fig. 183

n'iV

-L-j-Aî--- -

! ' ji

« Construire un triangle rectangle, connaissant

sa diagonale Si Ti, et le rapport (— ) des carrés

de ses côtés. »

On sait que les segments t\ wi et ui si de l'hypoténuse sont proportionnels aux carrés des côtés.

On devra donc avoir ^ = — .

Par conséquent, on partagera ,«i ti en trois parties égales et par le point de division, m, on mènera une perpendiculaire U\ <h sur l'hypoténuse. Le côté du cube est ti di = a.

Si la donnée était le côté a du cube, alors on

construirait (fig. 183, B), en MTN le carré

ayant oc pour côté ; et en MTS le rectangle qui, ayant pour premier côté a, aurait pour second côté M S, la diagonale du carré précédent.

La diagonale S T de ce rectangle serait aussi la diagonale, L, du cube.

Remarque. — Si l'on appelle cp l'angle aigu du demi-rectangle diagonal, on a: