J \JY

y COS. 'i = 1

tang.

sin. » =

Cet angle tp nous servira beaucoup dans la théorie des ombres. Epure (fig. C etD). — 1° On se donne en s' t' la diagonale verticale.

2° On décrit sur s' t' comme diamètre une demi-circonférence, et on la recoupe par les horizontales "ld' et lu', qui partagent s' t' en trois parties égales : cela donne les plans de niveau des sommets a' b'c' et m' n' p' du cube, de plus, cela détermine en t 'd' la longueur a du côté du cube.

3° t'd', en tournant autour de t'f comme axe, engendre un cône de révolution. 11 faut prendre la génératrice de ce cône qui fait avec le plan vertical un angle $ : c'est un problème déjà résolu (§112); à cet effet :

4° Par le point?, en plan (fig. C), menons la droite de niveau t k, faisant avec le plan vertical l'angle p. Prenons sur celte droite une longueur tic — a = l' d', et faisons tourner cette droite autour d'un axe de bout passant par t' t. Elle engendrera un second cône de révolution, qui recoupera le premier, suivant la droite ta — t' n' demandée.

5° Ayant l'arête ta, il est facile devoir que les autres arêtes te et t d, ayant même longueur dans l'espace, étant également inclinées à l'angle (p, sur le sol, et faisant entre elles, dans l'espace, le même angle (un angle droit) ; il en résulte que les trois points a, b, c, sont sur une même circonférence, et que les trois droites ta, tb, te, sont inclinées à 120° les unes sur les autres.

Les trois points a, b, c, sont donc les sommets d'un triangle équilatéral. 6° Des points a, b, c, en plan, on déduit les points a' , U , c', en élévation.

7° Ayant trois arêtes du cube, en complétant les parallélogrammes qui les ont pour côtés, on achève la représentation du cube. Remarque. — En plan (fig. C), le contour apparent ap bmen du cube forme un hexagone régulier.

§ 149. — Dodécaèdre régulier.

Pentagones réguliers groupés trois par trois autour de chaque sommet.

(a) Le solide dans l'espace (fig. 184). — Imaginons six pentagones réguliers, égaux entre eux et tous placés, les uns

sur les autres, en abedf. Faisons-les tourner, respectivement, autour des côtés ab -- bc — cd comme charnières,

jusqu'à ce que leurs arêtes viennent se recouper en al — bt — cl.... Nous formons ainsi une sorte de corbeille composée de six pentagones, dont un de base abedf, et cinq autres de faces latérales.

Cette corbeille présente des angles saillants k, k, k et des angles rentrants l, 1,1 Elle constitue la moitié du

dodécaèdre.

Fiif. 184

Cela posé, retournons cette corbeille et faisons-la pivoter d'un dixième de tour. Ses angles rentrants /, / se mettront

à plomb des angles saillants kkk. , . .. de la première, et inversement ; en les rapprochant ensuite l'une de l'autre, elles s'emboîteront exactement et le dodécaèdre sera complété.

Réalisons cette construction sur une épure.

(b) Ei'URE en plan. — 1° On se donne en abcdf (caché), sur le plan horizontal (flg. 185, A), le pentagone régulier de côté pt, et on le considère comme résultant de la superposition de six pentagones dont cinq vont être relevés.

2° On fait tourner ces cinq pentagones autour des cinq arêtes ah — bc... de manière à former la corbeille indiquée ci-dessus.

Les points rentrants /, / doivent être, à cause de la symétrie, situés sur les

bissectrices des angles a,b,c c'est-à-dire sur les rayons on — ob

D'autre part, ils sont sur les perpendiculaires telles que fl — cl abaissées sur

les charnières, ce qui les détermine.

Le point saillant k, lequel est le relèvement du sommet d, s'obtient en utilisant le point de charnière 0.

D'ailleurs, comme les points saillants k, k de la corbeille inférieure, deviennent les points rentrants de la corbeille

supérieure m npqr, kl kl , il en résulte que les points k Ikl .... sont sur une même circonférence et qu'ils sont les

sommets d'un décagone régulier inscrit dans cette circonférence.

1° Le niveau des points rentrants V V l' s'obtient en

remarquant que d! I", projection verticale de dl, doit donner en vraie grandeur le côté a du pentagone ; un arc de cercle décrit de d' comme centre, avec «. pour rayon, donnera donc le point /' par recoupement avec la ligne de rappel du point /.

2° Le niveau des points saillants k' k' s'obtient aussi

par arc de cercle, en remarquant que b' k' est, en vraie grandeur, l'apothème du pentagone régulier, et, par suite, est égale à b' d'.

3° La base supérieure m'n'p'.... est symétrique de

la base inférieure a' b' c' d' En plan, cette base m np tj r

a été obtenue en faisant pivoter de 1/10 de tour la base inférieure autour du point o.

(d) Remarques. — 1° En élévation, les points a' V k' sont en ligne droite, car ce sont les projections du sommet d'un pentagone a b l kl, dont le plan est de bout. 11 en est de même des points /' k' m' n'.

2° En plan, la droite ap et la droite a l sont, toutes deux, inclinées à 1/10 de quatre angles droits sur la ligne de terre. Donc, le triangle pal est isocèle, et l'on a : a p = a l. Par conséquent, le rayon R de la circonférence circonscrite au grand décagone de contour apparent horizontal du solide s'obtient en augmentant le rayon r, de la circonférence circonscrite au pentagone de face, du côté du décagone régulier inscrit dans cette dernière circonférence.

3° La hauteur des points rentrants, l'V V . . . est égale à r. !/' En effet : Dans le triangle d' l' l", on a :

'•l''e d' r=côté du décagone inscrit dans la circonférence abcdf.

ITT— côté du pentagone id. id. id.

Donc /" = r,rayondecettecirconférence(voir§146,nota).

4° Le côté Ik du décagone inscrit dans la grande circonférence de rayon R est égal au rayon, r, de la petite circonférence.

En effet, soit, y, ce côté, et x, le côté du décagone inscrit dans la petite circonférence. Nous avons vu que l'on avait : (1) R = r -f- x : Mais on sait que x s'obtient en partageant r en moyenne extrême raison ; ce qui veut dire que l'on a :

(-) x — "77 {V 5 — 1)' et, par conséquent,

(3) 11 = »* + x = — (y/ 5~ + 1), d'autre part :

(*) V — 77 (V 5 — 1), par conséquent, en substituant a R sa valeur tirée de (3), il vient :

5° La hauteur des points saillants k' k' k1 est égale à H.

En effet, dans le triangle rectangle k' /'£'(!), en élévation, l'hypoténuse k' est la projection du côté du polyèdre, lequel côté est de front. On a donc i' /' = x, côté du pentagone inscrit dans la circonférence de rayon r.

D'autre part, V ï — kl du plan, = r, d'après ce qui précède (4°). Donc, la hauteur V k' est égale au côté du décagone inscrit dans la petite circonférence, c'est-à-dire à (R — r), ce qui suffit à démontrer la proposition.

La figure 180 donne la moitié du développement d'un dodécaèdre régulier. Une figure identique soudée à la première, suivant la ligne Ik, achèverait le développement complet.

sujet d'épuke (Ecole des Reaux-Arts, 1880.) Dodécaèdre régulier et prisme (Feuille demi-grand-aigle).

(a) On donne un plan défini par ses traces P a Q'. La trace horizontale fait un angle de 00° avec la ligne de terre et la trace horizontale un angle de 40".

(b) Un dodécaèdre régulier a son côté, a, égal à 50 millimètres et il repose par une de ses faces sur le plan P xQ> . Pour achever de le déterminer, on se donne l'angle, S, que l'un des côtés de cette face de base fait, dans l'espace, avec la trace horizontale du plan (o = 40°).

(c) Un prisme a pour section droite un carré de 70 millimètres de côté. Aucun des côtés de ce carré de section droite ne sera parallèle à l'un des plans de projection.

Ses arêtes sont de front et font avec le plan horizontal un angle y (y = 45°).

Son axe rencontre la verticale du centre du dodécaèdre en un point situé à 8 millimètres au-dessus de ce centre. On demande : 1° De déterminer l'intersection des deux solides et de représenter le dodécaèdre seul, le prisme étant enlevé ;

2° De donner, découpés sur deux feuilles de bristol séparées, les développements de chaque solide, de telle sorte (lu'en repliant ces développements on puisse reconstituer le double solide dans l'espace.

Nota. — L'intersection ne peut être trouvée qu'après lecture des chapitres XV, XVI et XVII.

On recommande d'employer la méthode des projections obliques. Les projetantes obliques seront parallèles aux arêtes du prisme.

(1) Ce Irianglo, en élévation, est indiqué par la lettre N.

Fig. 18fi