D. CLASSIFICATION DES SURFACES, PLAN TANGENT

§ 156. — (a) Surfaces réglées.

On désigne ainsi les surfaces qui sont susceptibles d'être engendrées par le mouvement d'une ligne droite. Elles se subdivisent en :

(a') Surfaces déveloitables. — Pouvant s'appliquer sur un plan, sans déchirure ni duplicature. Exemple : Cône, cylindre et surfaces enveloppes de plans mobiles (a") Surfaces gauches. — Ne pouvant pas s'appliquer sur un plan.

(b) Surfaces quelconques. — Ce sont celles qui ne sont pas susceptibles d'être engendrées par une droite. Parmi ces surfaces nous étudierons surtout les surfaces de révolution et les surfaces héiicoïdes.

§ 157. — Existence et propriétés du plan tangent.

Tuéorème. — Dans toute surface continue les tangentes à toutes les courbes tracées sur la surface et passant par un de ses points M, sont dans un même plan, qui est dit : plan langent à la surface en ce point.

En effet : soient deux courbes M A et M B, tracées par le point M : leurs deux Fis- 197 tangentes, Ma, Mb, définissent un plan T; je dis que la tangente Me, à toute

autre courbe M C, est dans le même plan T.

Pour le démontrer j'imagine un cylindre Z, qui contiendrait la courbe C. Je le déplace parallèlement à lui-même et il recoupe la surface suivant une autre courbe AB. Les trois sécantes M A — M B et AB, sont dans un même plan. Je ramène le cylindre Z à sa première position, et par le même chemin, inverse de celui suivi pour en sortir. La courbe AB redevient évidemment la courbe C ; les trois sécantes (toujours dans un même plan), MA, MB et AB deviennent les trois tangentes aux trois courbes A, B et C. Donc ces trois tangentes sont dans un même plan. C. Q. F. D.

Nota. — 1° Deux courbes, A et B, suffisent donc, par leurs deux tangentes, pour déterminer le plan tangent.

2° Si la surface est réglée, la génératrice rectiligne, étant à elle-même sa propre tangente, sera contenue dans le plan tangent.

S 158. — Normale.

On nomme ainsi la perpendiculaire élevée au plan tangent, par son point de contact. Il n'y a donc qu'une seule normale.

S 159. — Surface enveloppe d'une surface mobile.

Une surface A (de ligure invariable, ou de ligure variant suivant une loi déterminée), se déplace d'un mouvement continu . Dans deux positions voisines A et A', la surface mobile A recoupe la surface voisine A' suivant une ligne Z. Si A ' se rapproche indéfiniment de A, l'intersection Z tend vers une position limite déterminée, a. Cette courbe limite, a, se nomme la caractéristique de la surface mobile, A.

Gela posé : on nomme surface enveloppe, S, de la surface mobile A, le lien des caractéristiques successives de A. On dit que A est la surface enveloppée, tandis que S est la surface enveloppe.

Tuéorème. — Une surface enveloppe, S, est tangente à son enveloppée, A, en tous les points de la caractéristique a; on dit alors que S est circonscrite à A, tout le long de la caractéristique a, ou bien encore que A est inscrite dans S, suivant la courbe a.

Nota. — La démonstration rigoureuse de ce théorème ne peut se faire que par l'analyse ; nous n'essaierons donc pas de la donner ici.

Fig. 198

8 160. — Exemples de surfaces enveloppes.

(a) Cone de révolution (fig. 198). — Une sphère, de rayon variable, a son centre qui se déplace le long d'une droite S X, qui sera l'axe du cône. Son rayon OM varie, mais reste toujours proportionnel à la. distance, OS, du centre à un point

fixe, S, pris sur l'axe. Cette sphère mobile a pour enveloppe un cône de révolution, dont l'axe est la droite S X, et dont le sommet est le point S.

(b) Cylindre de révolution. — Si le rayon de la sphère précédente reste constant (fig. 199), la surface enveloppe est un cylindre.

(c) Tore. — Une sphère, de rayon constant, a son centre qui se déplace sur une circonférence. Cette sphère mobile a pour enveloppe une surface de révolution connue sous le nom de tore.

(d) Surfaces-canaux. — Le cylindre et le tore sont des cas particuliers de ce que l'on nomme une surface-canal, ainsi délinie :

Toute sphère mobile, de rayon constant, dont le centre se déplace sur une courbe quelconque, plane ou gauche, a pour enveloppe une surface-canal. Soit

oo'o"o" (fig1. 200), la courbe trajectoire du centre. On sait que lorsque deux

sphères égales se coupent, le cercle d'intersection a son plan perpendiculaire à la ligne des centres et passant au milieu de cette ligne. Considérons donc deux sphères voisines, o et o' , et supposons que o' se rapproebe indéfiniment de o : à la limite, la sécante oo' devient la tangente o t, au point o. Par conséquent, dans une surface-canal, la caractéristique mn (ou mn', ou m" n") est un grand cercle de la sphère mobile, dont le plan

est perpendiculaire à la tangente à la trajectoire du

Fi-. 201

Fig. 200

centre.

Nous étudierons plus loin la surface-canal connue sous le nom de serpentin. Elle est l'enveloppe d'une sphère, de rayon constant, dont le centre se déplace sur une hélice. Les colonnes torses employées en architecture et en ébénisterie sont une variété du serpentin.

[é] Surfaces DÉvELOPPABLEs(fig. 201). — Une surface développable est la surface enveloppe d'un plan mobile.

Considérons un plan mobile dans différentes positions voisines : 1 —2—3 — 4 — 5. Le plan n° 1 coupe le plan n°2 suivant une droite ad. Le plan n° 2 coupe le plan n° 3 suivant une droite cf, etc. Il est facile de comprendre que si nous considérons la surface polyédrique formée par ces plans, elle pourra se développer et s'appliquer sur un plan, sans se déchirer ni sans se replier sur elle-même.

En effet : pour faire ce développement, on laissera, par exemple, le plan n° I en place ; puis on fera tourner toute la surface autour de ad, comme charnière, jusqu'à ce que la face n° 2 vienne s'appliquer sur le plan n° I ; alors, ce sera la seconde intersection c f qui sera prise comme charnière, et ainsi de suite.

Quelque rapprochés que soient les plans, cette opération pourra toujours se faire ; elle sera donc encore exécutable à la limite, lorsque les plans seront infiniment voisins.

Mais, alors, les droites d'intersection ab — cd — ef, etc., deviennent, à la limite, les caractéristiques, c'est-à-dire les génératries de la surface. Donc :

Théorème 1. — Toute surface, enveloppe d'un plan mobile, est développable, et, de plus, est réglée.

Mais nous avons admis (§ 159) que l'enveloppe (ici, la développable) était tangente à son enveloppée (ici, le plan) tout le long de la caractéristique (ici, la génératrice rectiligne). Donc :

Théorème 2. — Une surface développable a le même plan tangent tout le long d'une même génératrice.