E. REPRÉSENTATION DES SURFACES

[Point 3èViî£~-~J

S 161. — Contour apparent perspectif.

Par le point de vue (fig. 202) menons à la surface S une série de plans tangents; leurs traces aa', bb', ce', sur le tableau V, auront pour enveloppe une courbe ab c qui se nomme le contour apparent perspectif de la surface. Le lieu de points de contact ABC, de ces plans tangents avec la surface, est le contour apparent dans l'espace ; ou bien encore la séparatrice de vision. Ces plans tangents ont pour enveloppe dans l'espace, un cône ayant pour sommet le point de vue, et pour directrice la courbe A B C ou la courbe abc. Ce cône est le cône de contour apparent ou bien encore le cône perspectif de la surface.

La séparatrice de vision ABC sépare la surface en deux zones. Celle qui est du côté du spectateur et qui contient un point tel que M, projeté en m, est vue, tandis que l'autre, qui contient un point tel que celui qui se projette en n, est cachée.

Fig. 203

Fig. SOS

§ 16-2. — Généralisation aux ombres et aux projections droites ou obliques.

(a) Ombres au flambeau. — Si le point de vue devient un (lambeau (fig. 205) et si le tableau devient ce que l'on nomme un écran, alors la courbe de séparation ABC... devient la séparatrice d'ombre. La zone du point M est la zone éclairée et celle du

point N est la zone d'ombre propre ; enlin le contour apparent projeté abc... devient Y ombre portée par la surface S sur l'écran.

(b) Ombres au soleil. — Si le llambeau s'éloigne à l'infini dans une direction donnée, S (fig. 204), le cône d'ombre devient un cylindre d'ombre, circonscrit à la surface. La courbe abc est l'ombre portée par la surface sur l'écran, ou bien encore la projection oblique ou perspective cavalière de la surface.

(c) Projections droites ou ombres zénithales. — Si le llambeau ou si le point de vue s'éloignent à l'infini suivant une direction (fig. 203), perpendiculaire au tableau, on obtient soit un éclairement par lumière zénithale, soit une projection droite.

Cette dernière est celle qui est employée en géométrie descriptive. Le spectateur est supposé à l'infini en avant du plan vertical s'il s'agit d'une élévation, ou à l'infini au-dessus du sol s'il s'agit d'une projection horizontale. Toutes ces généralisations sont faciles à comprendre.

S 163. — Théorèmes sur les contours apparents.

Théorème (a). — Le contour apparent d'une surface à génératrices est l'enveloppe des projections {droites, obliques, perspective ou ombres) de ses génératrices (fig. 202).

Fig. 200

En effet, soit MC une génératrice ; elle rencontre en C la séparatrice de vision. Sa tangente CT en G est contenue

dans le plan tangent à la surface, lequel a pour trace au tableau c' et, et passe par le point de vue. Donc T G a pour perspective c t, tangente au contour apparent a b c. Mais c t perspective de la tangente à la courbe M G est aussi tangente a me perspective de M G : donc cm et a b c sont deux courbes tangentes. G. Q. F. D.

Exception (fig. 200). — Si en C, où elle rencontre la séparatrice, la courbe a pour tangente le rayon visuel SC, on a vu (§ 153) cpie, en ce point G, la projection, c, présente un rebroussenient et que la tangente, c t, est la trace du plan osculateur à la courbe au point C. (Généraliser pour les ombres.)

Tiiéohème (b). — Le contour apparent d'une surface enveloppe d'une surface mobile est l'enveloppe des contours apparents de la surface mobile (fig. 202). — En effet, considérons la caractéristique qui passe par le point G pris sur la séparatrice. Soit C D cette caractéristique : elle est aussi une courbe de la surface enveloppée ; et le plan tangent en G à l'enveloppe est aussi tangent en C à l'enveloppée. Il est donc un plan de contour apparent pour les deux surfaces, puisqu'il passe par le point de vue; donc sa trace au tableau, c' et, est tangente aussi bien au contour apparent de l'enveloppe qu'à celui de l'enveloppée. C. Q. F. D.