PLANS TANGENTS AUX CONES ET AUX CYLINDRES A . GÉNÉRALITÉS

§ 164 — Définitions.

(a) Cone et pyramide. — Un cône (ou surface conique) est la surface engendrée par une droite, nommée génératrice assujettie : 1° à passer toujours par un point lixe, S, appelé sommet ;

2° A rencontrer toujours une courbe fixe A B C (fig. 207), plane ou gauche, nommée sa directrice. Nota. — Si au lieu d'une directrice courbe nous avons une directrice polygonale, MNP... (fig. 208), au lieu d'un cône nous aurons une pyramide.

Si la directrice (courbe ou polygonale) est plane, on lui donne ordinairement le nom de base du cône ou de la pyramide.

Le cône de révolution (fig. 209) répond au cas particulier où la base est un cercle et où le sommet est sur une perpendiculaire élevée au centre de la base.

(b) Cylindre et prisme. — Un cylindre (ou surface cylindrique) est la surface engendrée par une droite assujettie : 1° à

Fig. 207 Fig. 208 Fig. 209 Fig. 210 Fig. 211

être toujours parallèle à]une direction fixe, A , appelée la direction du cylindre (fig. 210); 2° à rencontrer toujours une courbe lixe ABC. , plane ou gauche, nommée sa directrice.

Si la directrice est polygonale, au lieu d'un cylindre on a un prisme (fig. 211).

Si la directrice est plane, elle porte le nom de base.

Remarque importante. — Un cylindre, ou un prisme, peut être considéré comme la limite d'un cône ou d'une pyramide, dont le sommet (fig. 208) s'éloignerait indéfiniment suivant une direction A - Cette remarque permet de généraliser pour le cylindre la plupart des propriétés du cône.

§ 105. — Propriétés du plan tangent au cône et au cylindre.

(a) Théorème. — Le plan tangent en un point de la surface d'un cône ou d'un cylindre est aussi tangent en tous les points de la génératrice du point de contact. On dit : qu'il est tangent tout le long de la génératrice.

Démonstration pour le cone (fig. 212). — S AB est une génératrice; A et B deux points sur cette droite. A A' est une courbe passant par le point A et tracée sur le cône. BB ' est une autre courbe passant par B.

l.liiOM. DESCR. 9

On mène une génératrice S A ' B ' voisine de S A B ; elle coupe les courbes en A' et B ' . On mène les sécantes A A' et B B' ;

elles sont évidemment dans un même plan qui est celui des deux génératrices SB et SB'.

Cela posé: si la génératrice SB' se rapproche indéfiniment de la génératrice SB, les deux sécantes A A' et BB ', sans cesser d'être toujours dans un même plan, tendent, par définition même, vers les tangentes A t et B q aux deux courbes. Ces deux tangentes sont donc dans un même plan, S A tB q.

Mais, en A, le plan tangent est défini par la génératrice SA, qui, comme ligne droite, est sa propre tangente et par la tangente At. De même en B, le plan tangent est défini par SB et par B q ; donc le plan tangent en A ést le même qu'en B. C.Q.F.D. Même démonstration pour le cylindre.

(b) Conséquences. — 1° Dans un cône, tous les plans tangents passent par le sommet ; dans un cylindre, ils sont tous parallèles à la direction des génératrices. 2° Pour mener le plan tangent en un point quelconque A, on prolongera la génératrice de ce point jusqu'à sa rencontre en B avec telle courbe que l'on voudra, qui sera tracée sur i la surface, et convenablement choisie, et la tangente B Q à cette courbe définira, avec la génératrice B A S, le plan tangent cherché.

B. REPRÉSENTATION DES CÔNES ET DES CYLINDRES ; PROBLÈMES SLR LES PLANS TANGENTS

Fig. 213

Kig. 214

Fis. US

§ 166. — Problème 1.

Par un point extérieur A, mener un plan tangent à un cône ou à un cylindre.

Solution dans l'espace. — 1° Par A, mener pour le cône (fig. 213) une droite AS passant par le sommet, ou, pour le cylindre (fig. 214), parallèle aux génératrices.

2° Prendre en a\ son intersection avec le plan d'une directrice ou base.

3° Mener les tangentes ai M et ai N, à cette base. Dès lors, le plan tangent est parfaitement défini par deux quelconques des trois droites S ai — S M et M ai.

§ 167. — Problème 2.

Parallèlement à une direction donnée, A, mener un plan tangent à un cône ou à un cylindre.

(a) Cône (fig. 215). — 1° Par le sommet S, mener S Si parallèle à la direction donnée A •

2° Prendre en Si son intersection avec le plan d'une directrice bien choisie ; et par Si mener les tangentes Si M et SrN à cette directrice ; le plan est défini par les droites S M — S Si et Si Mi. (Le problème n'est pas possible si du point Si on ne peut pas mener de tangente à la base du cône).

(b) Cylindre. — 1° Par un point quelconque Z, mener la droite G parallèle aux génératrices du cylindre et la droite S parallèle à la direction donnée A • Ces deux droites G et S déterminent un plan Q dont on cherche en Gi la trace sur le plan d'une directrice bien choisie. Le plan tangent cherché sera parallèle à ce plan Q.

2° Mener à la directrice des tangentes Mt — Nf parallèles à la droite Gi etc.

Nota. — Bemarquer l'analogie du problème 1 avec celui de l'ombre au flambeau, d'un cône ou d'un cylindre ; et l'analogie du problème 2 avec celui de l'ombre au soleil.

§ 168. — Contours apparents du cône et du cylindre.

C'est un cas particulier du problème 2, dans lequel la direction A serait ou perpendiculaire au sol (contour apparent horizontal) ou perpendiculaire au mur (contour apparent vertical).

Fig. 216

ft \

Fig. i 17

Fig. 218

D'ailleurs, si a b cd — a' b' c' à1 sont les projections de la directrice, plane ou gauche, d'un cône, et SS' celles du

sommet, les contours apparents s'obtiendront toujours en menant des points S et S'

des tangentes aux courbes m n p q et a'b'c'd'

Cela résulte de ce théorème démontré plus haut : « Le contour apparent d'une surface est tangent aux projections de toutes les courbes tracées sur la surface. » Or, dans le cas d'un cône, d'un cylindre et plus généralement de toute surface développable, la séparatrice de vision est toujours formée par une génératrice de la surface, puisque, si un seul point d'une génératrice a son plan tangent passant par le point de vue, comme le plan tangent est le même pour toute la génératrice, il en est de même pour tous les autres points de la même génératrice. On aura donc toujours le contour apparent d'un cône en menant, de la projection du sommet du cône, des tangentes,

S m — S n — Sp , à la projection de la directrice.

Remarques. — 1° Ce que nous venons de dire s'applique aussi bien à un contour apparent projectif que perspectif, c'est-à-dire que, si l'œil est situé à une distance iinie, la projection devenant une perspective, on aura le contour apparent d'un cône en menant, par la perspective du sommet, des tangentes à la perspective de la directrice. Cela s'applique également aux ombres, et l'on aura l'ombre portée d'un cône sur un plan en menant, par l'ombre du sommet, des droites tangentes à l'ombre de sa directrice ;

2° Si, de la projection du sommet S ou S', on ne peut pas mener de tangentes à la projection de la directrice, le cône

n'aura pas de contour apparent sur le plan de projection correspondant ;

3° Si, au point A de l'espace (fig. 217), la tangente AT est perpendiculaire au plan de projection, nous avons vu, dans ce cas, que la courbe projetée présentait en a' un rebroussement. Alors, la droite s' «'joignant le sommet au point de rebroussement, fait encore partie du contour apparent. En effet, le plan SAs'fl'est encore perpendiculaire au plan de projection et tangent au cône, puisqu'il contient la droite AT tangente à la directrice et, de plus, perpendiculaire au plan de projection. C'est donc un plan de contour apparent, et la trace s'a' est une droite du contour apparent.

Par exemple (lig. 218) : si la directrice d'un cône est un cercle A B C, dont le plan est perpendiculaire au plan de projection et projeté sur ce plan, suivant Kig. àiu une droite limitée a b, le contour ap -

parent projeté s'obtiendra en menant, par la projection du sommet, les deux droites s a et s b, aboutissant aux deux extrémités de la droite a b.

S 169. — Cône (ou cylindre) circonscrit à une sphère.

Si le cône est circonscrit à une surface, à une sphère par exemple, son contour apparent projeté s'obtiendra en menant, de la projection s de son sommet, des tangentes au contour apparent de la sphère (fig. 220).

Je dis que le contour apparent

d une sphère est toujours un cercle e f, projection du grand cercle EF dont le plan est parallèle au plan de projection.

En effet, supposons (flg. 219), pour fixer. les idées, que ce soit une projection horizontale. En un point, M, de ce grand cercle EF, qui prend alors le nom d'équateur, le plan tangent est perpendiculaire au rayon OM, qui est horizontal. Donc c'est un plan tangent vertical dit : de contour apparent horizontal ; et comme il en est de même pour tout autre point tel que N, projeté en n, E projeté en e, etc., le cercle enm est le contour apparent horizontal de la sphère.

Conséquence. — Sur une épure (fig. 229), si on se donne en S S ' la projection du sommet d'un cône, en 0 0 ' le centre d'une sphère inscrite de rayon R, on aura les contours apparents du cône en menant des points S et S' les tangentes aux cercles décrits de 0 et 0 comme centres, avec H pour rayon.

Le cône est dit de révolution : son axe est la droite S 0 — S ' 0 ' .

Nous apprendrons, plus loin (chapitre XVII), à déterminer les ellipses, projections des cercles de contact du cône et de la sphère.