C. ÉPURES RELATIVES AUX PLANS TANGENTS

Fig. 221

§ 170. — Problème i.

Prendre un point à la surface d'un cône ou d'un cylindre, et par ce point mener un plan tangent à la surface.

(a) Cône (flg. 221). — Le cône a pour base un cercle a b — a! b1 dans le plan horizontal. Son sommet est s s1.

4° On se donne, à priori, en m, la projection horizontale du point. Trouver sa projection verticale.

Solution. — On mène la génératrice s m du point. 11 y a deux génératrices du cône qui ont cette ligne pour projection horizontale. L'une a son pied en NN' etl'autre en MM' sur la base. On en déduit, en élévation, deux génératrices distinctes s' N' et s' M' qui, toutes deux, ont pour plan s m. Au point m, en plan, répondent donc deux points m1 et n' en élévation.

Remarque. — Ce problème est le même que le suivant : « Trouver l'intersection du cône avec une droite verticale qui aurait son pied en m. »

2° On se donne, à priori, le point, en p', sur l'élévation.

Solution. — On mène en élévation la génératrice slp'P', à laquelle répondent deux génératrices s P et s Q en plan ; à

l'élévation, p', répondent donc' deux points p et q en plan.

Analogie avec le problème : « Trouver l'intersection du cône avec une droite de bout, ayant pour trace verticale p'. » 3° Plan tangent au point </ q- (Voir §§ 105 et 100.) Solution. — 0, est le pied de la génératrice du point q. On mène la tangente Q8 au cercle de base, et le plan tangent est défini par les deux droites Q 0 et Q s.

Nota. — Sur l'épure nous l'avons en outre défini par une ligne de plus grande pente % s'i, obtenue en prénant un nouveau mur %y yi perpendiculaire sur Q8 et en reportant en s'i la hauteur du sommet s'.

(b) Cylindke (flg. 222). — Il a pour base le cercle ab — a'b' situé dans le plan vertical ; sa direction est S S ' .

II est limité par un plan de front, c d — c' d' qui donne comme section un cercle c d — c' d' , égal au cercle de base, et dont le centre est obtenu en z z', par la rencontre de l'axe o z — o' z' du cylindre et du plan de front de la seconde base.

Fig.

1° On se donne, à priori, le point m' en élévation. On mène la génératrice m'M'W à laquelle répondent deux droites <m plan, savoir : M m et N n ; à l'élévation m'n' répondent donc deux points distincts, m et n en plan.

2° Plan tangent au point m m'. Il est défini par la tangente M' \J à la base, au pied M', de la génératrice sur le mur.

Pour avoir un point t de la trace horizontale, on mène la ligne de front m t — m't', qui passe par le point m m', et on en cherche la trace au sol.

Nota. — Sur l'épure le plan tangent M fi' 0.... est en outre défini par une ligne de plus grande pente 0 m't.

3° On résoudra le même problème en se donnant, à priori, le point en plan.

Fig. 223

§ 171. — Problème 2. — Par un point extérieur, m m', mener un plan langent à un cône ou à un cylindre. (a) Cône. — Nous supposerons (fig. 223) que le point extérieur est un flambeau FF'. Le cône a pour base le cercle

a b — a' b1 situé sur le sol. Son sommet est le point s s'. Réalisons sur l'épure la solution indiquée dans l'espace (fig. 213, § 160).

Nous menons la droite F s — F' s' : c'est le rayon lumineux du sommet. Nous cherchons sa trace horizontale S'i Si : c'est l'ombre portée du sommet sur le sol. Nous menons les tangentes à la base, si m et Si Wt ; ce qui donne Y ombre portée du cône sur le sol : elle est réelle depuis la base jusqu'aux points a et [3, où elle rencontre la ligne de terre. Au-delà, de a p en si elle n'existerait que si le plan vertical était une vitre transparente sans épaisseur. Les droites £ n et i« sont les traces horizontales des plans tangents demandés.

Cherchons la trace verticale du rayon lumineux du sommet; cela nous donne en s'z l'ombre portée du sommet sur le mur et en joignant s' 2 a et «'2 p, nous avons les traces verticales des plans tangents, c'est-à-dire l'ombre portée du cône sur le mur.

Enfin, joignant les points de tangence mm' et nn' au sommet $$', nous avons les génératrices de contact. Elles forment la séparatrice d'ombre du cône.

Remarque. — Les deux ombres portées du cône sur le mur et sur le sol se rencontrent en a et fi sur la ligne de terre. Ces points se nomment les points de pliure de l'ombre portée, parce que, en effet, l'ombre

portée s'y replie d'un plan surTautre.

{b) Cylindre. — Sa base (fig.

224) est un cercle sur le mur. Sa direction, donnée par son axe, est oz — o' z' . Le flambeau est le point FF'. Appliquons la solution donnée plus haut (fig. 214).

Par le flambeau FF' nous menons la droite 88' parallèle au cylindre. Nous cherchons en 8' sa trace ^ au mur, c'est-à-dire la trace sur le

plan de base du cylindre. Nous menons les tangentes 8' m! et 3' n ' à la base ; prolongées en n' (5 et m'y., elles donnent les traces verticales des plans tangents, c'est-à-dire l'o'mbre portée par le cylindre sur le mur. Les traces horizontales |3 u et a t s'obtiennent en menant en F ' u ' et F ' V des lignes de fronttdes plans tangents et cherchant en u et t leurs traces au sol.

Fig. 224

Enfin les génératrices m1 p' — mp eln' q' — n q, des points de contact, constituent la séparatrice d'ombre du cylindre.

Remarque. — Si le point FF' au lieu d'être un flambeau eût été un point de vue , alors, au lieu de séparatrices d'ombres on aurait eu, des séparatrices de vision et au lieu d'ombres portées on aurait eu des contours apparents par rapport aux plans de projection.

Les portions du mur ou du sol qui sont couvertes de bacbures sur nos épures eussent été cachées par le cône ou par le cylindre pour un spectateur qui aurait placé son œil au point FF'.

§ 172. — Problème 3. — Mener à un cône un plan tangent parallèle à une direction donnée A A ' (fig'- 225). — C'est le problème de l'ombre au soleil.

Voir la solution dans l'espace au § 107. (a) Données. — Le sommet du cône est en s s'. La base est un cercle de centre oo' et de diamètre c d tracé dans un plan de bout PP' Q'. On obtient facilement en a b et c d les axes de l'ellipse, projection du cercle. En élévation le cercle se projette suivant la droite a'b' égale, en longueur, à son diamètre (§ 74).

{!>) Contour apparent horizontal. — On l'aurait en menant du point s deux tangentes s' f et s' g à l'ellipse projection de la base (§ 168). Mais pour plus d'exactitude on se servira du cercle rabattu, comme nous allons le dire.

Trouver le contour apparent horizontal, revient (§ 108) à lui mener des plans tangents perpendiculaires au sol, c'est-àdire parallèles à une direction verticale.

A cet effet, nous menons en s' n' une verticale. Nous prenons en c' s son intersection avec le plan de base P. Nous rabattons ce plan de base autour de l'horizontale du centre o 0 — o' comme charnière, s s' vient en <4 a2, et du point a 2 nous menons les tangentes telles que zofz au cercle rabattu . Enfin nous relevons en f en nous servant du point de charnière S.

La direction des rayons lumineux est A A'- Nous menons par le sommet le rayon lumineux s Si — i'S 'i. Nous cherchons en Si S -'i sa trace sur le plan de base P ; c'est l'ombre portée du sommet sur ce plan. Nous menons les tangentes Si m et Si n à l'ellipse de base et, pour plus de précision, nous faisons, comme tout à l'heure, enS2w2etS2ft un rabatte-

ment.

Dès lors, nous avons en n S1 m l'ombre portée du cône sur son plan de base, et en s m ratrices de contact, c'est-à-dire les séparatrices d'ombre.

s' m' et s n — s 'n ' les géné-

S 173. — Problème 3 bis.

Mener à un cylindre un plan tangent parallèle à une direction donnée A A '•

La solution dans l'espace a été donnée au § 107 (fig. 215). {a) Remarques préliminaires. — Nous pourrions faire l'épure en supposant comme pour la précédente, que la directrice est une courbe située dans un plan quelconque.

Mais, afin de varier les cas, nous supposerons, dans l'épure, que la directrice est une courbe gauche quelconque, donnée par ses deux projections.

Soit ABC, cette directrice gauche dans l'espace (fig. 220), A«B&... les génératrices du cylindre.

On peut opérer de plusieurs manières :

Première solution. — Si le problème a rapport aux ombres, et si l'oit

demande de trouver l'ombre portée par le cylindre sur un plan, le plan horizontal, par exemple, on cherchera en Ai Bi Ci . . . l'ombre portée par la directrice sur ce plan.

On cherchera également en a Ai l'ombre portée par une génératrice du cylindre sur le même plan, et, en menant à la courbe d'ombre At Bi Ci une tangente M i m parallèle à a Ai, on aura l'ombre portée par le cylindre. En remontant du point de tangence Mi au point M de l'espace, on aura en M m la génératrice de contact.

Deuxième solution. — On aurait pu chercher en a m b c la trace du cylindre sur le plan horizontal et mener à cette

courbe la tangente m M, paral- F's' ns Fis- 227 lèle à Ai a. Dans tous les cas, il

est nécessaire de construire une courbe d'intersection d'un cylindre par un plan.

Troisième solution. — Dans certains cas, il sera plus simple de prendre comme directrice plane du cylindre, son intersection par un plan Q parallèle à la droite donnée R; et, comme un pareil plan est indéterminé, on le prendra, de plus, perpendiculaire à l'un des plans de projection, car, dans ce cas, l'intersection avec le cylindre sera plus facile à trouver.

Soit ABC (flg. 227) la directrice gauche, abc l'intersection du cylindre par le plan Q, parallèle à l'un des plans projetant la droite R.

En menant à cette courbe deux tangentes ch et dk parallèles à R, on aura les traces, sur le plan Q, des plans tangents demandés, et en B il et Ce les génératrices de contact. Nous ferons l'épure dans ce cas.

{b) Epure. — On a en abc..., a' b' c' . . . (lig. 228), les deux projections de la courbe gauche directrice du cylindre. La droite à laquelle le plan tangent doit être parallèle est donnée en R R

On coupe le cylindre par un plan PaQ' perpendiculaire au plan vertical, et parallèle à la droite donnée. Sa trace verticale Q' est parallèle à R' et sa trace horizontale est perpendiculaire à la ligne de terre. Ce plan se projette tout entier suivant sa trace verticale Q'. On a donc immédiatement son intersection avec autant de génératrices que l'on veut du cylindre, en a'i — b'i — c'i. . ., etc., ramenés horizontalement en ai — bi — ci sur les génératrices en projection horizontale.

En joignant par un trait continu les points a\ — h — - C\ , on a la courbe d'intersection en projection

horizontale.

On remarquera qu'elle doit être tangente aux génératrices de contour apparent a a\ et bbi .

On mène à cette courbe des tangentes m l\ et ni\ qi parallèles à R, et l'on a en n\ n et nu m, projetées verticalement en n'\ n' et m'i m', les génératrices de contact des plans tangents demandés.

Nota. — Nous étudierons dans un chapitre spécial (chap. XVII) le cône, le cylindre de révolution ainsi que la sphère.