D. PROBLÈMES DIVERS SUR LES PLANS TANGENTS AUX CÔNES ET AUX CYLINDRES

1° Problèmes indéterminés.

§ 17 i. — Mener à un cône ou à un cylindre une tangente passant par un point donné, ou parallèle à une direction donnée.

On mène à la surface un plan tangent passant par le point donné ou parallèle à la direction donnée (§ 171 et 172), et toute droite de ce plan répond à la question.

Application. — Par un point donné ou parallèlement à une droite donnée, mener une droite tangente à deux cônes, oit à deux cylindres, ou à un cylindre et à un cône.

Solution. — On construit les deux plans tangents qui répondent, séparément, à chacune des deux conditions à remplir, et leur intersection constitue la droite demandée.

Nous avons déjà résolu ce problème dans la première partie, au § 139 : « Trouver une droite passant par un point donné et située à des distances données de deux droites données. »

2° Problèmes exigeant des conditions spéciales.

§ 175. — Mener à un cône ou à un cylindre un plan tangent passant par une droite donnée.

(a) Cône. — Si la droite passe par le sommet, nous avons donné la solution au § 16C> (fig. 213).

Si elle ne passe pas par le sommet; en menant le plan qui contient cette droite et le sommet, ce plan doit être tangent. On conçoit que cette condition ne sera réalisée que tout à fait exceptionnellement.

(b) Cylindre. — Si la droite est parallèle aux génératrices, nous avons donné la solution au § 160 (fig. 214).

Si elle ne l'est pas, il faut qu'en menant par cette droite un plan parallèle aux génératrices le plan soit tangent. Cela sera exceptionnel.

g i7G. — Mener à un cône ou à un cylindre un plan tangent parallèle à un plan donné.

Discussion tout à fait analogue.

§ 177. — Mener à un cône ou à un cylindre une normale parallèle à une direction donnée.

On mènerait à la surface un plan tangent parallèle à un autre plan qui serait lui-même perpendiculaire à la normale demandée. Et, s'il y a une solution, ce qui sera exceptionnel, toutes les droites menées perpendiculairement à ce plan tangent aux divers points de la génératrice de contact répondront à la question.

§ 178. — Mener un plan tangent commun à deux surfaces du genre cylindre ou cône.

(a) Deux cônes. — On suppose que les sommets ne coïncident pas :

On joint les sommets S et T par une droite. Par cette ligne on mène les plans tangents à l'un des cônes, et il devra y en avoir au moins un qui soit tangent à l'autre. Cela n'arrivera qu'exceptionnellement.

Graphiquement, pour le reconnaître, on prendra la base des deux surfaces sur un même plan K (fig. 229). On cherchera en K la trace de la ligne des sommets sur ce plan, et Fi 82g si, par ce pointK, on mène une tangente K m à l'une des

bases, elle doit être aussi tangente à l'autre.

Si les cônes sont de révolution, nous avons indiqué dans la première partie (§ 119) que pour qu'ils aient deux plans tangents communs, il suffit que ces cônes remplissent une des trois conditions suivantes:

Avoir le même somme t ;

Etre homothétiques ;

Etre circonscrits à une même sphère.

Dans chaque cas, néanmoins, le problème est sujet à discussion.

[b) Un cône et un cylindre. — En menant par le sommet du cône une parallèle aux génératrices du cylindre, et menant par cette droite un plan tangent à l'une des deux surfaces, il doit être aussi tangent à l'autre. Cela n'aura lieu qu'exceptionnellement.

Si les surfaces sont de révolution, la condition de possibilité pour qu'il y ait deux plans tangents communs se ramène à les avoir tangentes à une même sphère.

(c) Deux cylindres. — En menant par un point deux droites respectivement parallèles à chacun des cylindres, on détermine un plan, lequel, transporté parallèlement à lui-même de manière être à tangent à l'une des deux surfaces, doit être, également, langent à l'autre.

Si les cylindres sont de révolution, il suffira qu'ils soient tangents à une même sphère ou que leurs génératrices soient parallèles.

3° Problèmes déterminés.

5; 179. — Mener à deux surfaces, cylindrique ou conique, des plans tangents parallèles entre eux.

(n) Deux cônes : S et T. — On transporte un des deux cônes, T, parallèlement à lui-même (flg. 230), de telle sorte que son sommet T coïncide avec le sommet S de l'autre. Soit T', le cône ainsi transporté. Les cônes S et T' sont alors dans les

conditions voulues pour avoir des plans tangents communs. On construit ces plans et il ne reste plus qu'à les transporter parallèlement, par un mouvement inverse, jusqu'à ce qu'ils soient aussi tangents au cône T.

(b) Un cône S et un cylindre C. — Par le sommet du cône on mène une parallèle au cylindre G (ce qui revient à transporter successivement toutes les génératrices du cylindre au point S); par cette droite on mène des plans tangents au cône ; et il ne reste plus qu'à les transporter parallèlement à eux-mêmes, tangentiellement au cylindre.

(c) Deux cylindres : G et D. — Par un point quelconque M, on mène des parallèles à chacun des cylindres (ce qui revient à transporter en ce point toutes les génératrices de chacune des deux surfaces).

Elles déterminent un plan P, qu'il suffit ensuite de transporter tangentiellement sur chaque cylindre.

Fis. 231

S 180. — Application. — Mener à deux surfaces, cylindrique ou conique, une normale commune.

(a) Solution dans l'espace (fig. 230). — 1° On leur mène deux plans tangents parallèles, comme il vient d'être indiqué.

2° On détermine les génératrices de contact S M et TN. 3° On mène en P Q la perpendiculaire commune à ces deux droites. Cette perpendiculaire est la normale demandée. Exécutons ces constructions sur une épure.

(b) Epure (fig. 231). — Pour le cas d'un cône et d'un cylindre :

Le cône est quelconque ; son sommet est ss'; sa base est un cercle de centre o o' tracé dans le plan vertical.

Le cylindre est de révolution. Son axe est la droite de niveau z u — z' u' . On se donne son rayon II, et la hauteur de l'axe.

On mène la droite st — s' t', parallèle au cylindre; on en cherche la trace verticale 1 1' , et par ce point menant une tangente t'ri à la base du cône, cela détermine un plan tangent au cône, qui, transporté parallèment, pourra être aussi tangent au cylindre.

En aî2 y2 on prend un nouveau mur perpendiculaire au cylindre, et par suite, aussi, au plan tangent qui vient d'être trouvé. [>e cylindre s'y projette en entier suivant son cercle de base z i f'\ . On reporte en s'i n'{ les hauteurs des deux points s s ' et n n ' de la génératrice de contact du cône, et cette droite s'i n'i est la trace verticale du plan tangent sur le nouveau mur. En menant au cercle de base du cylindre une tangente /"'î u'i parallèle à s'\ n'i, on aura le plan tangent au cylindre, et en f'\ projetée horizontalement en fg, puis sur l'ancien mur en fg' , la génératrice de contact du cylindre.

Il ne reste plus qu'à trouver la perpendiculaire commune aux deux droites sn — s'n' et fg —f'g'- (Voir lre partie, § 134, fig. 169.)

r.ÉOM. DESCH. 10

Sur le mur x{ yi elle s'obtient, àpriori, en fi k'i en menant de f'U pied de la génératrice du cylindre, la perpendiculaire sur s'i n't, génératrice du cône. On rappelle k\ en k sur le plan, et on la trace, horizontalement, en kh, parallèle à x\ y\. Enfin on rappelle les points h et k en h' et k1 sur l'ancienne élévation.

La normale commune est la droite h k — h' k' .

Vérification. — En élévation, sur le mur x y, elle doit être perpendiculaire à la trace verticale n't' du plan tangent

au cône.