C. BRANCHES INFIMES DANS LES INTERSECTIONS DES CÔNES ET DES CYLINDRES

§ 195. — Différentes espèces de branches infinies.

Le point courant, M, de l'intersection de deux surfaces cylindriques ou coniques, peut s'éloigner à l'infini de deux manières.

(a) Première manière. — Les deux génératrices, qui par leur intersection donnent le point courant, tendent à devenir parallèles tout en restant à distance finie.

Cette première manière est la seule possible pour le cas de deux cônes, puisque les génératrices passent toujours par les sommets et restent, par conséquent, à distance finie.

Les branches inûnies obtenues dans ces conditions seront dites : de première espèce. Elles peuvent en outre se classer en branches hyperboliques, c'est-à-dire ayant des asymptotes (cela ne voudra pas dire que ce sont des hyperboles), et en branches paraboliques, c'est-à-dire n'ayant pas d'asymptotes (cela ne voudra pas dire que ce sont des paraboles).

[b) 2e Manière. — Une des deux génératrices courantes, que déterminent les plans auxiliaires, tend à s'éloigner tout entière à l'infini.

Cette seconde manière n'est possible que si l'une des deux surfaces est un cylindre ; encore faut-il que sa base soit une courbe à branches infinies (hyperbole, parabole ou autre).

Il peut même se faire que les deux génératrices courantes tendent toutes deux à la fois vers l'infini : alors il faut que les surfaces soient deux cylindres.

Si l'une des deux est un cône, il peut se faire, en outre, que tandis que la génératrice du cylindre tend à s'éloigner à l'infini, la génératrice correspondante du cône donnée par le même plan auxiliaire tende à lui devenir parallèle.

Ces branches inûnies de seconde espèce peuvent, elles aussi, être hyperboliques, c'est-à-dire avec asymptotes, ou paraboliques, c'est-à-dire sans asymptotes.

Nota. — Les cylindres à base hyperbolique ou parabolique ne se rencontrant presque jamais dans les applications, nous n'étudierons que très sommairement les branches infinies de seconde espèce (1).

(1) Nous ne connaissons qu'un seul exemple où l'on rencontre un cylindre hyperbolique ; c'est celui de la trompe cylindrique supportant une tour ronde. (Voir Stéréotomie, §§ 122 et 123.)

Occupons-nous donc plus spécialement des branches infinies de première espèce, c'est-à-dire de celles qui peuvent se rencontrer soit dans l'intersection de deux cônes soit dans celle d'un cône et d'un cylindre à base fermée (ellipse ou cercle).

§ 196. — Branches infinies pour deux cônes. — Il convient, quand on fait l'épure, de ne pas s'occuper tout d'abord des branches infinies ; ce n'est que si l'on voit deux génératrices courantes tendre à se rencontrer de plus en plus loin, qu'il faut s'assurer si réellement les branches infinies existent, ce qui revient à reconnaître s'il y a des génératrices parallèles et combien il y en a. A cet effet (fig. 271) :

1° On transporte l'un des cônes, le cône T par exemple, parallèlement à lui-même jusqu'à ce que son sommet T vienne coïncider, en T', avec le sommet S de l'autre cône. Dans ce mouvement T glisse sur la ligne des sommets et la nouvelle

Fig. 271

base a p y 8 est homothétique de l'ancienne base «i 8i yi Si. Le centre d'homothétie est le point de divergence K, qui a servi

KT

précisément pour trouver l'intersection ; et le rapport de similitude est -— -. Il est donc facile d'obtenir la nouvelle base a J3 y S du cône transporté.

2° Si la base transportée a^yS coupe la base fixe, M N, du cône S, comme sur la figure 271, en 4 points ai !3t yi Si (il pourait y en avoir 2 ou 3, dont un double, etc. Voir plus loin, § 197), alors les génératrices Sa — S [3 — S y — S 3 sont ce que nous nommerons des directions asymptotiques, c'est-à-dire des génératrices qui donneraient un point courant à l'infini, car elles sont parallèles à des génératrices Tai, T pi du cône T.

3" Pour trouver les asymptotes, si elles existent (par exemple celle qui répond au point à l'infini sur les génératrices Sa et Tai), on remarque que cette asymptote est la limite de la tangente au point courant, lorsque ce dernier s'éloigne à l'infini.

Gomme toute autre tangente, elle est donc l'intersection de deux plans menés tangentiellement tout le long des génératrices, savoir: le plantangentT ai 0 aucône T, lequel a pour trace la tangente ai 0, à.labase au pointa^ etle plan tangent Sa 6 au cône S. L'asymptote est donc la droite d'intersection 0 Z, parallèle, d'ailleurs, à la direction asymptotique S a.

On cherchera de même les asymptotes répondant aux trois autres directions Sp — S y et S 8.

§ 197. — Discussion.

Nous supposons que les cônes sont du second degré, c'est-à-dire que leurs bases sont des cercles, des ellipses, des hyperboles ou des paraboles.

(a) Quatre branches hyperboliques. — C'est le cas de la figure 271. Il y a quatre branches infinies ; chaque branche a

une asymptote. C'est pourquoi, par analogie avec l'hyperbole, qui, elle aussi, possède des asymptotes, on dit que les branches sont hyperboliques.

(b) Deux branches hyperboliques et une branche parabolique. — La base M (fig. 272), transportée en Mr, recoupe la base fixe en deux points Si Ti, mais lui est, en outre, tangente en a,. (Les deux points ai et pi de la figure 271 se sont réunis en un seul, 04, sur la figure 272.)

Aux génératrices asymptotiques yi S — S\ S, obtenues par recoupement, répondent des branches infinies, avec asymptotes, comme tout à

Fig. 272 Fin-. 273 l'heure ; mais à la

branche infinie donnée par la génératrice tangentielle , ai'S, il n'y a pas d'asymptote, car le plan tangent, ai 61, au cône S, au point ai est, par raison d'homothétie, parallèle au plan tangent en a au cône T.

On dit que cette branche est parabolique.

(c) Deux branches hyperboliques. — Si (fig. 273) la base M du cône T, transportée en Mi, recoupe en deux points seulement, a et |3, la base N du cône S, alors il n'y a plus que deux directions asymptotiques, S a — S (3, et deux branches infinies, avec asymptotes.

{d) Une ou deux branches paraboliques. — Si la base transportée Mi, au lieu de couper en deux points, aetp, la base fixe, lui était tangente, alors les deux branches infinies se réduiraient à une seule, sans asymptote, comme pour le cas (b) .

Il pourrait même y avoir deux branches paraboliques, si la base transportée, Mi, était bi- tangente à la base fixe N (fig. 27-4). —

(e) Remarque. — Théoriquement, il est indifférent de transporter un cône plutôt que l'autre. Pratiquement, on transportera celui des deux cônes dont la transformation homothétique de la base sera la plus facile à obtenir. Si, comme cela se présente (fig. 272 et 273), un des cônes T M est à base circulaire, c'est évidemment celui-là que l'on transportera ; il suffira d'avoir, par homothétie, le centre et un point de la nouvelle base Mi, pour pouvoir tracer au compas cette nouvelle base.

§ l'J<S. — Branches infinies de l'intersection d'un cône et d'un cylindre à base fermée (fig. 275). \ Les génératrices du cylindre étant toutes parallèles entre elles, on reconnaîtra leur parallélisme avec une génératrice du cône en menant par le sotnmet S, de ce dernier, 'rine droite S K parallèle au cylindre. Le pied K,de cette droite, lequel estle point de divergence, doit tomber sur la base du cône.

Un plan auxiliaire courant tel que K 01 P Ji donne dans le cylindre deux génératrices J Ji et 001 et dans le cône deux génératrices dont l'une, Sp, variera chaque fois, mais dont l'autre est toujours la droite S K.

Sur la génératrice Sp, on aura deux points courants 0 et J, tandis que la génératrice S K étant parallèle aux droites 001 et, JJi, les rencontrera en deux points à l'infini.

Ainsi donc, toute une courbe est rejetée à l'infini ; nous la considérerons comme courbe de sortie, et celle que nous obtiendrons peut être considérée, dans son ensemble, comme une courbe d'entrée.

Aura-t-elle des branches infinies ? Pour qu'il en soit ainsi, il faut que le point courant, tel que J, puisse s'éloigner à l'infini. Il faut donc que la génératrice courante, S J, du cône, puisse devenir parallèle au cylindre, c'est-à-dire puisse, à un moment donné, se confondre avec SK. Mais alors le point Ji sera confondu avec K. la trace du plan courant, K Ji, sera devenue la tangente KO à la base du cône ; il faut donc que cette trace tangentielle K6 soit comprise dans les traces utiles, autrement dit coupe en-<p et 0 la base du cylindre.

Fis. 27-:

Nota — 1° Si la tangente K 0 à la base du cône ne rencontrait pas la ba^e du cylindre, il n'y aurait pas de branches infinies.

2" En passant de plus-l'infini, du côté de f, à moins -l'infini du côté de h, la courbe passe d'un côté à l'autre de son " asymptote.

Le lecteur fera bien d'éludier le cas où le point K serait, en outre, dans l'intérieur de la base du Cylindre.

. S 199. — Cône ayant avec un autre cône ou avec un cylindre une génératrice commune (fig. 276).

Prenons deux cônes. Dans ce cas, le cône T a son sonamet sur le cône S et réciproquement. La génératrice commune STK fait partie de l'intersection. Le point de divergence K est le pied de la génératrice commune.

Fipr. 276

Il y aura forcément, ainsi que nous allons le faire voir, d'autres branches infinies que la génératrice STK. On les obtiendra, comme il a été dit au § IDG, par le transport de l'un des cônes (le cône S, par exemple); et comme le point K est le centre d'homothétie pour la base transportée, cette dernière, après transport, passera toujours par K. Donc, coupant déjà la base fixe en K, elle la recoupera en t ou 3 autres points.

Remarque. — La courbe m T c S passera par les deux sommets S et T. En effet : lorsque le plan auxiliaire courant tel quexKy prendra la position K-y' tangente au cône T et sécante au cône S, suivant la génératrice S 7', les génératrices courantes telles que Sa; et T?/ seront devenues S 7' et TK, lesquelles se coupent en S : la tangente y est la génératrice S du cône coupé (théorème sur le point-limite). De même : lorsque le plan auxiliaire est tangent, en K6, au cône S, il donne comme point le sommet T, avec tangente T 0. Ainsi les

deux sommets T et ? appartiennent à l'intersection et ils jouent le rôle de points-limites.

Fig. 276 bis