I. — Recherche du point le plus haut ou le plus bas

On peut trouver ces points lorsque les bases des deux surfaces (conique ou cylindrique) sont homolhétiques et, particulièrement, lorsqu'elles sont circulaires. En effet (fig. 276 bis), par le point de divergence K menons une trace auxiliaire K co passant par le centre de similitude w (direct ou inverse) : nous

obtenons les quatre génératrices Ta et TA dans le premier cône, Sot et Sn dans le second, donnant 4 points d'intersection. Prenons parmi eux les deux points M et N, qui répondent aux points bomologucs des bases, savoir : M, répondant aux homologues b et tn, et N, répondant à n et a. Les traces des plans tangents en b et m sont parallèles ; par conséquent, eu M, la tangente a l'intersection est aussi parallèle a ces traces, et, par conséquent, est horizontale dans l'espace. C'est ce qui caractérise un point le plus haut ou le plus bas. Même raisonnement pour le point N.

H. — Ligne de vérification des points doubles apparents des intersections (même figure 276 bis).

Ce qui caractérise un point double apparent de l'intersection (en projection horizontale par exemple), c'est qu'une projetante (ici, une verticale) rencontrera l'intersection en deux points; autrement dit, c'est qu'une même verticale aura ses deux extrémités situées à la fois sur chacune des deux surfaces. Rappelons d'abord qu'une verticale :-e projette horizontalement en un point.

Imaginons que nous sachions construire le lieu des points milieux de toutes les verticales interceptées dans la première surface, et aussi le lieu des milieux des verticales interceptées dans la seconde surface. La ligne d'intersection de ces deux lieux contiendra le milieu de la verticale commune interceptée et, en projeclion horizontale, les points doubles apparents devront se projeter sur cette ligne d'intersection, qui sera donc une ligne de vérification des points doubles.

Or, dans les cônes, dans les cylindres, et, plus généralement, dans toutes les surfaces du second degré, sphère, ellipsoïde, hyperboloïde, etc., la surface lieu des milieux des verticales interceptées est un plan, et mîme c'est le plan qui contient les lignes de contour apparent horizontal.

Par conséquent, on obtiendra la ligne de vérification des points doubles en cherchant la droile d'intersection des plans de contour apparent. Sur la figure 276 bis, le plan de contour apparent du cône T est le plan T a fi ; sur le cône S c'est le plan S y 3. Leurs traces sont a fi et •( S. On en cherche l'intersection eu considérant ces plans comme des cônes de sommet T et S.

T ~ ( i'ibf.-tfenea)

Une trace auxiliaire Kg f donne un point de L'interjection en v. La ligne des points doubles est 1 1 droite 0 v . Nota. — On voit que cette construction ne donne pas les poinls doubles ; elle permet seulement d'en vérifier la position. Le lecteur fera bien de vérifier par cette méthode, la position des points doubles des diverses intersections trouvées aux épures précédentes. Il cherchera a démontrer pourquoi, sur l'épure de l'intersection d'un cône et d'un cylindre (fig. 259), les points doubles, \l et [jl, de l'élévation, sont situés sur l'horizontale m' m' dont la hauteur est prise en m' sur la projection auxiliaire (fig. C).

EXERCICES

1. — On donne deux cônes ayant pour base le même cercle dans le plan horizontal. L'un a son sommet dans le plan vertical, l'autre sur une perpendiculaire élevée parle centre de base sur le plan horizontal.

Intersection des deux cônes. (On doit trouver une courbe plane.)

2. — On donne un cône ayant pour base un cercle sur le plan horizontal et pour sommet un point quelconque donné. On donne un autre cône ayant pour base dans le plan horizontal un cercle passant par la trace horizontale d'une génératrice donnée du premier cône et pour sommet un point situé sur cette même génératrice.

Intersection dos deux cônes. (Il y aura des branches infinies.)

3. — On donne deux cônes qui ont pour base commune un cercle situé dans un plan passant par la ligne de terre et par un point donné, qui est précisément le centre du cercle. Le cercle est tangent à la ligne de terre.

Les deux cônes ont leur sommet, l'un dans le plan horizontal, l'autre dans le plan vertical. Intersection des deux cônes.

4. — Un cône de révolution a son axe perpendiculaire au plan vertical. Soit sp la projection horizontale de cet axe, 5 étant le sommet et p la trace verticale de l'axe.

On donne un cylindre de révolution dont l'axe est vertical et rencontre l'axe du cône. La base de ce cylindre est le cercle décrit sur sp comme diamètre.

Intersection des deux surfaces.

5. — On donne un cône et un cylindre de révolution ; le cône a son axe vertical, et sa base est un cercle dans le plan horizontal. L'axe du cylindre est la génératrice du cône parallèle au plan vertical.

Intersection du cône et du cylindre. Branches infinies.

6. — On donne un cylindre dont la base est un cercle situé dans le plan horizontal. On donne une génératrice de ce cylindre.

On considère un cône dont le cercle de base, situé dans le plan vertical, a pour centre la trace verticale de la génératrice du cylindre ; le. sommet du cône est la trace horizontale de la même génératrice. Trouver l'intersection du cône et du cylindre.

7. — On donne un cône dont la base est dans un plan perpendiculaire au plan vertical. Soit Pala trace horizontale de ce plan. On donne, en outre, le centre o o ' du cercle de base et on sait que ce cercle est tangent à la trace a P.

Le sommet S de ce cône est donné ; il est situé dans le plan horizontal sur une parallèle à la ligne de terre menée par le point o.

On donne encore un cylindre droit dont la base est un cercle tracé sur le plan vertical et ayant pour centre le point o' , projection verticale du centre du cercle de base du cône. Trouver l'intersection des deux surfaces.

8. — Deux cônes reposent, par leurs bases, l'un sur le plan horizontal, l'autre sur le plan vertical ; de plus, le sommet de chaque cône est sur la base de l'autre cône. Trouver l'intersection des deux cônes. (Les bases sont circulaires.)

9. — On donne un cône de révolution dont l'axe est parallèle au plan vertical ; l'angle du cône est égal au complément de l'angle que fait l'axe avec le plan horizontal.

On donne ensuite un cylindre droit circulaire reposant, par sa base, sur le plan horizontal. Trouver l'intersection des deux surfaces. Y a-t-il des branches infinies, — déterminer les asymptotes.

10. — On donne un cylindre qui a pour base un cercle sur le plan horizontal. On donne la direction des génératrices. On donne un cône ayant pour base un cercle sur le plan vertical et ayant son sommet sur une parallèle aux génératrices du cylindre mené par un point de ce cercle. Trouver l'intersection de ces deux surfaces. A-t-elle des branches infinies ?

11. — On donne un cône dont la base est un cercle situé dans le plan vertical, et dont le sommet est sur une perpendiculaire au plan vertical mené par le centre.

On donne un cylindre ayant pour base un cercle tangent extérieurement au cercle de base du cône. Les génératrices du cylindre sont parallèles à la génératrice du cône parallèle au plan horizontal. Trouver l'intersection des deux surfaces.

12. — Un cylindre de révolution a son axe parallèle au plan vertical ; un cône a pour base un cercle sur le plan horizontal et pour sommet un point de l'axe du cylindre. Intersection des deux surfaces.

GÉOM. DESCH. 1.1

13. — On donne un cône dont l'axe est parallèle au plan vertical ; l'angle du cône est égal au complément de l'angle que fait la projection verticale de l'axe avec la ligne de terre.

On donne un cylindre ayant pour base, dans le plan vertical, un cercle dont le centre est la projection verticale du sommet du cône; les génératrices de ce cylindre sont perpendiculaires au plan vertical. Construire l'intersection du cône et du cylindre.

14. — On donne un triangle équilatéral ABC. Le côté AC tourne autour de BC, et, après, BC tourne aussi autour de AB. On demande l'intersection des deux cônes ainsi engendrés, et les branches infinies. Construction d'un point et de la

tangente en ce point. (On supposera que le plan du triangle est horizontal.)

15. — On donne deux cônes ayant pour traces deux cercles tangents intérieurement et une génératrice commune. Trouver leur intersection. Est-elle plane ?

Les cônes sont-ils homothétiques ? Y a-t-il des branches infinies?

16. — Un cône et un cylindre ont une génératrice commune et un plan tangent commun. Trouver l'intersection. La courbe est-elle plane ?

Y a-t-il pénétration d'une surface dans l'autre? Trouver le point sur la génératrice commune.

17. — On a un cercle situé dans un plan de profil et tangent au plan vertical. Ce cercle est la directrice d'un cône dont le sommet est dans le plan horizontal. Trouver son intersection avec un second cône dont le sommet est quelconque et dont la directrice est un cercle tracé dans le plan vertical.

18. — On donne une circonférence dans le plan horizontal; elle est la projection d'une sphère tangente au plan horizontal. On donne deux points dans le plan vertical. L'un est le sommet d'un cône circonscrit à Ta sphère ; l'autre est le sommet d'un cône ayant pour base la circonférence, projection de la sphère.

On demande l'intersection des deux surfaces.

19. — On donne un cône dont le sommet est dans le plan horizontal et dont la directrice est un cercle situé dans le plan vertical.

Trouver l'intersection de ce cône avec un cylindre dont la section droite est un cercle tangent au plan horizontal et projeté en entier sur ce plan suivant une ligne droite.

20. — On donne un cercle dont le plan est parallèle au plan horizontal ; et un point sur le plan horizontal. Ce point est le sommet d'un cône ayant pour base le cercle donné.

On donne un second point dans le plan vertical. Il est le sommet d'un cône ayant pour base, sur le plan horizontal, la projection du cercle donné.

Trouver l'intersection des deux cônes et le solide commun.

21. — 1° On donne, sur le plan horizontal, une droite limitée A B. A est le sommet d'un cône de révolution tangent au plan horizontal le long de AB. Sa base passe par le point B et le rayon de cette base est le 1 /3 de AB. Représenter ce cône;

2° On donne un cercle sur le plan vertical ; il sert de base à un cylindre dont les génératrices sont horizontales et inclinées à 45° sur la ligne de terre.

On demande l'intersection des deux surfaces. Représenter le cône entaillé par le cylindre.

22. — On donne, dans le plan horizontal, une circonférence 0 qui sert de base à un cône dont le sommet est sur le plan vertical.

Dans le plan horizontal, on donne une droite limitée p q, projection d'un cercle tangent au plan horizontal et servant de base à un cylindre parallèle à la ligne de terre. Intersection des deux surfaces.

23. — On donne, dans le plan vertical, deux circonférences concentriques l'une à l'autre, et, dans le plan horizontal, un point. Ce point est le sommet d'un cône ayant la petite circonférence pour base. La grande circonférence est la section droite d'un cylindre.

Trouver l'intersection des deux surfaces.

24. — On donne, dans un plan incliné à 30°, deux ellipses par leurs projections horizontales. Ce sont les bases de deux cônes dont les sommets sont dans le plan horizontal.

Déterminer leur intersection.

25. — On donne, dans le plan horizontal, deux cercles tangents intérieurement en a. Le plus petit des deux cercles •est la base d'un cylindre droit.

L'autre est la base d'un cône oblique dont le sommet est projeté horizontalement au point a. Trouver l'intersection des deux surfaces.

Dire à priori de quoi se compose l'intersection.