CHAPITRE XV I

SECTIONS PLANES ET DÉVELOPPEMENT DES CONES ET DES CYLINDRES, DES PYRAMIDES ET DES PRISMES

A. GÉNÉRALITÉS

§ 200. — Méthodes générales (flg. 277).

On considérera le plan sécant comme un cas particulier d'un cône ou d'un cylindre.

Si on l'assimile à un cône, on prendra un quelconque de ses points pour sommet et sa trace sur le plan de base du véritable cône (ou cylindre) sera prise pour base, rectiligne.

Si on assimile le plan sécant à un cylindre, comme cela est fait sur la figure 277, on prendra comme direction des génératrices une droite quelconque A, convenablement choisie, à la surface du plan ou parallèlement à sa surface, et pour base, rectiligne, on adoptera sa trace RV sur le plan de base du cône coupé.

La première méthode porte le nom de méthode des projections coniques ou méthode perspective (1), la seconde est dite : mélhode des projections obliques ; c'est elle que nous allons expliquer avec quelques détails.

§ 201. — Méthode des projections obliques.

Soit à chercher la section d'un cône S m a n... par un plan P (flg. 277).

(a) Point courant et tangente. — Par le sommet S, on mène des plans auxiliaires convenablement choisis ; soit S Si Z un de ces plans.

Ils recoupent le plan sécant P, suivant une droite mi J et le cône suivant deux génératrices S n et S m dont les recoupements avec mi J donnent en M etN deux points courants de l'intersection cherchée.

Tangente. — Elle est l'intersection 6 M du plan sécant et du plan tangent 9 m mené suivant la génératrice S m.

Remarque I. — Les plans auxiliaires seront convenablement choisis s'ils donnent des intersections telles que mi J, très faciles à trouver et, de plus, donnant de bons recoupements graphiques. Sur le croquis (flg. 277) ces plans sont tous parallèles à une droite A contenue dans le plan sécant P, et quelconque d'ailleurs dans ce plan ; il en résulte : 1° que les traces, sur le plan de base, des plans auxiliaires passent toutes par un point fixe Si qui est le point de divergence, et 2° que les intersections auxiliaires telles que nhi sont toutes parallèles à A- Par conséquent le point mt suffit pour les trouver.

Remarque II. — Cette méthode utilisant la droite A est la méthode dite des projections obliques. En effet, Si peut être considéré comme une projection oblique de S faite en prenant A pour direction des projetantes. Le plan P est pro-

fil Nous eu donnerons une application plus loin.

Fi*. 278

jeté obliquement tout entier en ligne droite suivant sa trace R V; mi est la projection oblique de M et de N ; mi m est la projection oblique de la génératrice SM, et G m est la projection oblique de la tangente 6 M... de l'espace.

Il faut bien remarquer que, sur le plan de base H, l'intersection M ANBde l'espace se projette obliquement tout entière suivant la droite limitée ai bi ; cela tient à ce qu'elle est plane et que son plan est parallèle aux projetantes.

(b) Plans limites. — Les plans auxiliaires dont les traces Si a et Si b sont tangents à la courbe de base, sont, l'un le premier, l'autre le dernier plan utile ; ce sont les plans limites ; et les points A et B qu'ils donnent sont les points limites. En ces points les tangentes à la courbe sont précisément les droites auxiliaires A ai etB^i. (Voir théorème sur les points limites, § 185.)

(c) Cylindre (fig. 278). — La méthode est analogue; on l'applique comme il suit:

1° On choisit dans le plan une direction A quelconque mais devant donner graphiquement de bons recoupements avec les génératrices (1).

2° Par un point quelconque, S, de l'espace, on mène à la fois une parallèle à la direction A et une parallèle aux génératrices du cylindre. Ces deux droites déterminent un plan GSZ qui donne la direction des plans auxiliaires que l'on emploiera.

Le reste s'achève exactement comme pour l'intersection de deux cylindres.

Le croquis ci-contre (fig. 278) suffit à faire comprendre l'application de la méthode.

(d) Autre méthode générale ; par changement de plan vertical. — On prend un nouveau mur perpendiculaire au plan sécant; l'intersection s'y projette alors tout entière en ligne droite, et il ne reste plus qu'à trouver les points en projection horizontale, connaissant leurs projections verticales et la surface (cône ou cylindre) qui les contient. (Problème traité au chapitre XIV.)

Remarque. — La lre méthode des projections obliques et celle-ci ont cela de commun que, dans chacune d'elles, on amène l'intersection à avoir pour projection (oblique dans la lro, droite dans la 2e) une ligne droite.

Fig

Développement des cônes et des cylindres. — Transformée d'une courbe (fig. 279).

On développe un cône ou un cylindre en les assimilant à une pyramide ou à un prisme dont les faces seraient infiniment petites, le nombre de ces faces étant infiniment grand.

Dans le développement d'une pyramide SMNPQ, inscrite dans le cône, les angles a, i, Y» que forment les sécantes MN — NP—PQ avec les génératrices se conserveront ainsi que les longueurs de ces sécantes; cela sera toujours vrai, quelque petits que soient les côtés, et, par suite, vrai à la limite ; mais, à la limite : 1° le périmètre a + è + c du polygone MNPQ devient le périmètre de la courbe et 2° les sécantes MN, NP, PQ deviennent les tangentes à la courbe ; donc :

Théorème. — Lorsque l'on développe sur un plan un cône ou un cylindre, toute courbe tracée sur la surface donne pour transformée une courbe de même longueur et rencontrant les transformées des génératrices sous le même angle que dans l'espace (2).

On énonce plus simplement ce théorème en disant : Les longueurs et les angles se conservent après le développement.

§ 203. — Construction de la tangente à la transformée (fig. 280).

Soit à chercher la transformée de la courbe ab, et sa tangente en m. Tout revient à mesurer et ensuite à reproduire l'angle a = OmS, ou son supplément 6 m M.

(1) Dans une épure deux droites donnent un point d'iutersection d'autant plus précis que l'angle qu'elles font entre elles se rapproche plus d'un angle droit.

(2) On démonlrera que ce théorème est vrai pour toute surface développable.

On y arrive, ordinairement, en considérant soit le triangle OS m, soit, plus souvent, le triangle OtoM, dont les côtés sont : 1° Mm = \ ou la génératrice tronquée, 2° la tangente m 8 de l'espace et 3° la longueur MO, dite la sous-tangente. Les

Fig. 28i épures donneront

toujours assez simplement ces trois éléments.

§204.— Point d'inflexion de la transformée d'une section plane.

(a) Théorème.

— La transformée d'une section plane présente une inflexion au point pour lequel, dans l'espace, le plan tangent au cône est perpendiculaire au plan sécant (fig. 281).

Prenons le polyèdre dont les faces successives MA1 — ABT — BN2, vont, en devenant de plus en plus petites, former une surface développable ; et supposons que le plan sécant P soit tel que l'une des faces, T A B par exemple, du polyèdre lui soit perpendiculaire.

Développons le polyèdre : le plan S AT étant perpendiculaire à P, servira de plan projetant sur le plan P aux deux droites TA et TB. Par conséquent l'angle XAT = a formé par TA et par la projection AX est (en supposant a obtus) plus grand que l'angle a' — TA M, formé avec le côté A M.

De même, l'angle TBy sera aigu si a (1) est obtus; et par suite p sera plus petit que l'angle p' formé par TB avec le côté BN.

Donc après le développement le polygone MABN se transformera en M ' A' B' N' (fig. 282).

A la limite, si l'on passe à la courbe, la transformée sera telle que M" A" B" N", c'est-à-dire qu'elle passera d'un côté à l'autre de sa tangente ; il y aura inflexion. C.Q.F.D.

(b) Remarque. — En conséquence si, développant un cône (fig. 283) ou un cylindre, dont la base serait sur un plan de projection, on cherche la transformée de cette base A M N, les points d'inflexion seront les transformées des points de contact M et N des génératrices de contour apparent, si elles existent.

Si le sommet T du cône eût été projeté en t, dans l'intérieur de la base, il n'y aurait pas de contour apparent et, par conséquent, pas de point d'inflexion pour la transformée de la base; au contraire, pour un cylindre à base fermée, la transformée présente toujours deux points d'inflexion.

Fig. 283

(Plan horizontal de projection ,

B. ÉPURES

§ 205. — Section plane et développement d'une pyramide (flg. 284).

(a) Données. — La base de la pyramide est le quadrilatère ABCD du plan horizontal. Le sommet est SS'. Le plan sécant, PaQ', est défini par ses traces.

{b) Epure. — On applique la méthode des projections obliques. On considère le plan sécant comme un cylindre dont les génératrices seraient parallèles à la direction S 8'. Nous avons pris la direction SB' parallèle aux lignes de front du plan

(1) En supposant B suffisamment près de A, si « est obtus (3 est aigu.

Fig. 2S4

sécant ; mais on aurait pu la prendre toute autre. Ainsi, sur l'épure de la figure 286, nous prendrons pour direction auxiliaire celle des horizontales du plan sécant.

Le point de divergence, que nous pourrions aussi appeler la projection oblique du sommet, est le point Si S'i. On

mène les traces auxiliaires Si A, Si B, etc. Elles recoupent en

ai b\ c\ , la trace Pa du plan

sécant, et l'on peut considérer ces points ai b\ cidi.... comme les projections obliques des points cherchés, a a' — b b' , de l'intersection. En remontant par des projetantes inverses, ai a — b\ b, on obtient enabcd — a'b'c'd' ...

l'intersection.

(c) DÉVELOPPEMENT. — Be- CDERCUE DES VRAIES GRANDEURS. —

Nous avons vu (§ 202) que l'opération du développement d'un cône revenait à rechercher les vraies grandeurs d'une série de triangles, dont les côtés sont formés par les génératrices et dont les bases sont constituées par les cordes des arcs de la courbe, ou des courbes, à développer. Les arcs doivent être pris assez petits pour que les cordes aient, très sensiblement, les mêmes longueurs qu'eux.

Le développement d'un cône ne sera donc, sauf dans des cas particuliers, qu'approximatif. Celui d'une pyramide est tout à fait exact.

(fig. 28i, M) les vraies grandeurs des arêtes, soit dans leur entier de S en A, en B, en C , soit

dans leur partie de S en a, en b, en c.

A cet effet, de s" en A'2, B'2, C'2 , on a porté

(fig. M) les grandeurs SA, SB, prises sur le plan (fig. N) et joignant S'X'i — S' B'2, on a ainsi les grandeurs des arêtes totales. Pour avoir les segments répondant aux points a, 6, c, de l'intersection, il suffit, par les points a'b'c' de l'élévation (fig. P), de mener des horizontales jusqu'aux droites précédentes. On obient ainsi en S' 02 — S'fe les grandeurs des segments.

(d) Transformées des polygones (lîg. 285). — Cela fait, d'un point quelconque S", on trace quatre cercles dont les rayons S" A" — S" B", sont les grandeurs des arêtes totales, prises sur la figure 284 — M.

Mettant une pointe de compas en C" avec une ouverture égale à C B du plan (fig. 285, N), on trace un arc de cercle q i recoupe en B3 le cercle B" et donne le développement du sommet B de la base.

Nous allons chercher

Fig. 285

On aura les autres sommets de la même façon : ainsi on a : B3 A3 = AB ; A3 D3 = AD, etc. On a ainsi en C" B3 A3 D3 C3 le développement du polygone de base.

En portant sur les arêtes développées les longueurs SV — S" 63 - S"<73, etc prises en S'ca — S'fl'i, etc sur la

figure M, on aura le développement de la section.

11 sera bon de s'exercer à découper dans une feuille de carton le développement que nous venons d'obtenir. Afin de faciliter la pliure du carton, on l'entame avec un canif, sur la moitié de son épaisseur, par un trait donné sur les arêtes, et en repliant ensuite la feuille on donne naissance au solide dans l'espace (1). Pour que le solide puisse être fermé à ses extrémités, il faut y joindre les vraies grandeurs de la base A3 B4 Ci D3 et de la section «3 bi c4 d* .

Nous pourrions obtenir cette dernière par un rabattement : mais dans le cas actuel il sera au moins aussi simple de chercher en A3 S" C5 la vraie grandeur du plan diagonal, ce qui donnera en a3 Cs la grandeur de la diagonale a c de la section et permettra de construire le quadrilatère de section à l'aide de deux triangles 03 d d3 et a3 a bi (fig. 283).

Fi g. 28fi

Fifr. 2S7

§ 20G. — Section droite et développement d'un prisme (fig. 286).

(a) Données. — Le prisme a pour base le pentagone ABC DE du plan horizontal. Les génératrices sont données en direction par A A'-

Le plan sécant est défini par sa trace horizontale P Q et par l'angle a qu'il fait avec le sol, ce qui permet, sur un mur xi, de le représenter par sa ligne de plus grande pente.

(b) Ei-ure. — Comme ici le plan sécant est un plan de section droite, nous avons pris sa trace horizontale PQ per-

pendiculaire aux génératrices du prisme. Le mura^ xj\ a été pris parallèle à ces arêtes; on y a cherché en A'i b\ — D'i b'i, par reports de hauteurs, les projections des arêtes (elles y seront en vraie grandeur), et la ligne de plus grande pente du plan sécant, P Q' est perpendiculaire aux nouvelles élévations des arêtes.

Dès lors sur l'élévation (fig. P), l'intersection se projette tout entière en ligne droite aux points a' 1 b' 1 c \ d' \ e'\. Des lignes de rappel donnent ces points en abcde (fig. N) et en a 'b 'c 'd'e' (fig. M). •

(c) Vraie grandeur de la section droite. — Elle est obtenue en A2B2C2... (fig. B) par un rabattement sur le plan vertical xi y\. On remarquera qu'il a suffi, pour l'avoir, de porter sur les perpendiculaires à

la trace P Q' les profondeurs relatives des points a b c Pour gagner de la place on a pris les profondeurs relativement à un plan de front Z d D qui passerait par l'arête d D.

(d) Développement (fig. 287). — La section droite se développe suivant une droite

a" b" c "e On

prouvera ce fait en remarquant que puisque les angles

se conservent dans le développement, les arêtes qui sont parallèles dans l'espace, et font entre elles des angles nuls, feront

(I ) 11 uc faut pas considérer ces développements comme un simple jeu. Dans la coupe des pierres ou en fait constamment.

encore des angles nuls après développement ; elles seront donc parallèles. Les côtés de la section droite leur étant perpendiculaires, avant comme après, se mettront donc dans le prolongement les uns des autres.

Les lignes a" b" — b" c" de la section droite développée sont prises égales aux côtés de la figure R (fig. 286).

Enfin les longueurs des arêtes a" A3 — b" B3 sont prises sur la figure 286 — P, en a\ A'i — b'\ B '1

(e) Remarque. — On voit combien le mur auxiliaire xi yi pris parallèle aux arêtes a été avantageux, puisqu'il permet, d'une part, d'avoir la section droite projetée en ligne droite et dans une position très facile cà rabattre et, d'autre part, d'avoir immédiatement les arêtes en vraie grandeur (1).

§ 207. — Section plane et développement d'un cône (fig. 288).

Nous serons très bref, car il y a la plus grande analogie entre cette épure et celle de la section plane d'une pyramide ; mais, tandis que sur la première (fig. 284 et 283) nous joignions par des droites les points obtenus, dans celle que nous exécutons nous les joindrons par des courbes aussi continues que possible.

De plus, nous mettons en présence les deux métbodes, celle des projections obliques (fig. B) et celle par changement de mur (§ 201, d), fig. C.

(c) Point courant. — La direction des projetantes obliques est SK — S' K', parallèle aux horizontales du plan sécant. Le point de divergence est K ' sur le plan vertical.

Pour obtenir un point courant on mène une trace verticale auxiliaire, K' p. La trace horizontale du plan auxiliaire est p B B'i, parallèle à RRï Ce plan auxiliaire donne dans le cône une génératrice B bs et dans le plan sécant une horizontale P'i b' — ?i b. Leur recoupement donne le point courant b.

(b) Tangente. — La trace du plan tangent est B 6. La tangente est 0 b — 8' b '.

(c) Deuxième méthode. — Diamètres conjugués de la section. — Le cône est à base circulaire. La section est une des trois coniques, ellipse, hyperbole, parabole. Ici c'est une ellipse (sera démontré plus loin).

La seconde méthode (fig. C) donne facilement deux diamètres conjugués.

En effet : Sur l'élévation (fig. C) la section est projetée tout entière suivant la droite limitée m'i n'i. Un point courant b ' 1 s'obtient facilement en résolvant ce problème connu : « Un point de la surface d'un cône étant défini par sa projection verticale b'\, trouver sa projection horizontale b » (§ 170).

Les points m'i et ri' \ qui appartiennent aux génératrices SM et S N de contour apparent de la projection verticale C, sont les points le plus haut et le plus bas. Les tangentes y sont donc horizontales, c'est-à-dire sur la projection horizontale, en m et w, parallèles à la trace horizontale R R'i du plan sécant. Il en résulte que la droite mn est un diamètre de l'ellipse ; que le point milieu 0 est le centre de la courbe et que le diamètre conjugué de mn est p q parallèle à la trace R R'j. Les points;? et q se projettent tous deux (fig. C) en //1 q'i au milieu de la droite m'irii. On les obtient ensuite comme tout autre point. Des reports de hauteurs donnent en m' n' et en p' q' (fig. B), les projections verticales de ces deux diamètres conjugués, ce qui suffit pour tracer l'ellipse.

(d) Rabattement de la section. — La section est rabattue (fig. C) en mi r?2 p-z q-2 sur le mur vertical auxiliaire X\ yi. Ce rabattement s'obtient par reports de profondeurs. On a : m'i m'2 = mm", b'\ B2 = b b", etc., et pour la tangente B2 62 on a pris R'i 02 = \V y 0.

§ 208. — Développement du cône (même figure 288 — D, E).

{a) Préparation du développement. — La base du cône a été divisée aux points ABCD , en douze parties égales.

Et, à cause de la symétrie, due à ce que cette base est un cercle, on a réparti les points symétriquement par rapport au plan vertical SI A, qui contient l'axe du cône. Les points situés d'un côté ont reçu les lettres B C D... . Ceux situés de l'autre sont désignés par B C D (qu'il faut lire moins B, moins C ).

Par ces points on a mené les génératrices et on a pris en a,b,c,d etb,c,d les intersections avec le plan

sécant.

{b) Recherche des vraies grandeurs (fig. D). — Comme pour la pyramide, et exactement de la même façon (§ 205 — c), on a cherché les vraies grandeurs en S ' A" — S' B" , des génératrices entières, et en S' abc bc cl celles des génératrices tronquées par le plan sécant.

Remarques. — 1° Pour éviter de la confusion, nous avons porté sur l'échelle horizontale a les longueurs projetées répondant aux points négatifs de la section, et, en dessous, sur l'échelle °, celles des points positifs.

(I) Nous trouverons dans la charpente et dans la coupe des pierres (voir Stéréotomie) de nombreux exemples de sections planes et de développements de prismes et de cylindres. La méthode employée pour résoudre ces problèmes sera presque toujours celle que nous venons d'indiquer.

GÉOM. DGSCIl. 14

Il est bien entendu que l'on a : Q A", — ûB", etc. (fig. D) = SA, — SB, etc. (flg. A), et a g", — a f", etc. (fig. D) =

S S?, etc. (fig. A).

2° Sur la figure D, nous avons joint les points abc par une courbe. C'est ce que nous nommerons une ligne de

continuité. Elle ne représente rien par elle-même. Seulement sa continuité nous donne des probabilités sur l'exactitude de nos opérations. Si quelque point échappait à la continuité, il faudrait le vérifier, car il y aurait bien des chances pour qu'il fût inexact.

(c) Transformées des sections. — On cherche d'abord en A3B3G3 — B3 G3 la transformée de la base, comme

pour la pyramide.

Seulement, ici, les points s'obtiennent rapidement, parce que les arcs de cercle AB — BG étant égaux, c'est la même

ouverture de compas qui permet de passer du cercle S3G3 au cercle S3F3, et ainsi de suite.

Les points A3 &3 C3 de la transformée delà section s'obtiennent en portant sur les génératrices développées les

longueurs segmentées prises, au compas, sur la figure D.

On joint ensuite tous les points par une courbe continue.

(d) Tangentes. — Cherchons les tangentes aux points B3 et £3 des transformées.

Nous avons vu (§ 203, fig. 280) que cela revenait à construire, en vraie grandeur, en S3B363 et S3&363, les triangles de l'espace dont les projections horizontales sont (fig. A)SB0 et SftO.

Considérons le premier, SB6. Sa base, B 0, ou sous-tangente, est, en vraie grandeur, sur le plan horizontal. Un de ses côtés, SB, de l'espace, a été trouvé en grandeur (fig. D) ; c'est la génératrice S3Bj(fig. E). Il reste à trouver le troisième côté S 6 ; c'est ce qui a été fait sur l'épure des vraies grandeurs (fig. D) en prenant Q (T égal à SO de la figure A. Le reste de la construction n'a pas besoin d'être expliqué.

{e) Points d'inflexion' de la base. — Nous avons vu (§ 204, fig. 283) qu'ils répondaient aux points de contact 8 et \ des génératrices de contour apparent horizontal.

On voit que y tombe entre D et E, et, comme les longueurs se conservent dans le développement, il suffit de prendre la longueur Ey (fig. A) et de la reporter (fig. E) de E3 en y3 pour avoir le point d'inflexion.

La tangente y3 s s'obtient en reconstituant en y3 cSz le triangle rectangle qui, sur la figure A, a pour base S y, pour hypoténuse la génératrice du point y et pour hauteur la hauteur du sommet.

Or, la génératrice est (fig. E)S3 y3. Si donc sur S3 y3 on décrit une demi-circonférence et si, du point y3 comme centre avec S y (de la figure A) pour rayon, on décrit un arc de cercle <s, la tangente développée sera <r Y3-

Vérification. — En joignant S '3 a, cette droite doit être égale à la hauteur du cône.

(f) Points d'inflexion de la section. — Ils répondent aux points 1 et 2 (fig. C), pour lesquels (voir § 204) le plan tangent au cône est perpendiculaire au plan sécant.

Pour les obtenir, on mène par le sommet une droite S cp — S ' 1 cp ' 1 perpendiculaire au plan sécant.

On prend en 9 (rabatue en <p2) son intersection avec le plan sécant, et les deux tangentes 1 «p et 2 tp menées à la courbe de section donnent, par leurs contacts, les points 1 et 2 qui deviendront les points d'inflexion de la transformée (fig. E).

On les rapporte sur la transformée «3 ta C3 comme on a rapporté les points S et x, et on cherche les tangentes,

comme pour le point 63.

§ 209. — Points répondant à des tangentes déterminées.

On sait que les deux projections de la courbe (fig. 288) doivent être tangentes aux mêmes lignes de rappel. Ces points de tangence sont les points le plus à droite ou le plus à gauche. En réalité, la tangente y a une direction déterminée, perpendiculaire à la ligne de terre.

Trouver directement ces points, c'est donc résoudre un cas particulier du problème suivant.

(a) Problème N° 1. — Trouver directement le point de la section pour lequel la tangente est parallèle à une direction donnée.

Solution (fig. 289). — Soit A la direction en projection horizontale : 1° on cherche en A sur l'élévation, la droite du plan sécant qui a pour projection horizontale A ; 2° on mène au cône un plan tangent dh ou dk, parallèle à cette direction A A ', ce qui a nécessité de mener par le sommet S S ' une droite Sd—S'd' parallèle à A A ' ; 3° le point cherché m est à la fois sur la génératrice de contact dh (ou dk) et sur l'intersection mi m (ou m n) du plan sécant et du plan tangent.

Nota. — Cette intersection mi m ou ni n est parallèle à A et de plus c'est la tangente au point cherché.

[b] Tangentes de profil. — Si l'on veut le point g ou /"situé le plus à droite ou le plus à gauche, c'est-à-dire pour lequel la tangente est de profil, on opère comme suit:

1° On mène en a'b' — a b une droite de profil du plan. Nous aurons soin, si cela est possible, de prendre le point a' au même niveau que le sommet S ' . 2° Par S S ' on construit une droite parallèle à a b — a'b' et on cherche en p sa trace horizontale. 11 suffit évidemment, puisque S' est à la même hauteur que o', de prendre S p —ab. 3° Par le point pon mène les tangentes p p et p l à la base ; et les points cherchés g et f s'en déduisent comme ci-dessus.

(c) Problème 2. — Si l'on voulait trouver le point pour lequel la tangente passerait, en plan, Fie- 289 par un point donné v, on opérerait ainsi :

1° On chercherait en v ' la projection verticale du point v du plan. 2° Par ce point on mènerait un plan tangent au cône. 3° On chercherait d'une part la génératrice de contact de ce plan et, d'autre part, son intersection avec le plan sécant. Le point cherché serait à l'intersection de ces deux droites.

§ 210. — Section plane et développement d'un cylindre (fig. 290).

(a) Données. — Le cylindre a pour base un cercle de centre O tracé dans le plan horizontal. Une quelconque de ses génératrices sera déterminée par sa projection horizontale et par l'angle qu'elle fait avec le sol. En prenant un mur x y qui leur sera parallèle, elles s'y projetteront en vraie grandeur.

Le plan sécant a pour trace horizontale y xi et l'on connaît l'angle S qu'il fait avec le sol. On peut donc prendre en Xi yi un nouveau mur perpendiculaire au plan sécant et sur lequel la section se projettera en entier suivant une droite limitée g'i e'i.

Enfin, comme pour le développement nous aurons besoin d'avoir une section droite, nous définirons en p k s '2 un plan de section droite ; et sur le premier mur x y, la section droite sera tout entière projetée suivant la droite limitée a' c' .

(6) Intersections. — Chacune d'elles s'obtient exactement comme celle du prisme (voir fig. 286.) Seulement les points seront réunis par une courbe continue au lieu de l'être par une ligne brisée.

(c) Diamètres conjugués. — Si l'on prend sur la base quatre points tels que A, B, C et D situés aux extrémités de deux diamètres conjugués de cette base, c'est-à-dire, puisque c'est un cercle, situés aux extrémités de deux diamètres à angle droit, les points a, b, c et d des sections, situés sur les génératrices correspondantes, détermineront, eux aussi, des diamètres conjugués des ellipses de section.

Nous avons choisi pour la section droite les quatre points A, B, C et D, dont deux, A et B, sont sur les génératrices de contour apparent vertical de l'élévation C. Pour la section quelconque, nous avons pris les quatre points E, F, G et H, dont deux, E et G, répondent au contour apparent de la seconde élévation A.

Il se trouve, ici, que ces quatre points divisent le cercle de base en parties à peu près égales, ce qui nous dispensera, comme pour l'épure précédente (fig. 288), de faire une division spéciale en vue du développement.

(d) Développement. — La section droite a été rabbattue en a' b'%c' d'2 (fig. G) sur le mur x y, et on reporte (fig. 291)

en C2/2 bi q% les longueurs de ses arcs sur une droite indéfinie qui sera la transformée de cette section droite.

De part et d'autre on porte, sur des perpendiculaires à cette ligne, des longueurs telles que c% Ci — f% Fi . . . . . et de l'autre côté 02 c ' — f% /", etc., prises sur l'épure précédente (fig. 290 — G). Joignant tous ces points par des lignes continues, on a les transformées de la base et de la section.

(e) Points d'inflexion. — 1° Pour la base, ce sont les deux points de contour apparent horizontal B et D, dont les transformées sont Bi et Di. Pour y avoir la tangente, il suffit de reproduire sur le développement l'angle fait par la tangente à la base en B et par la génératrice. C'est pourquoi on a pris ^2 (fig- 291) zz V n (fig. 290 — C), et la tangente est la droite 1:2 Bi.

Fig. 290

Vingt-deuxième Leçon.

ig.2Ul

(inPlex^ior.)

Infteccwn

2° Les points d'inflexion «p ' et W de la transformée de la section s'obtiennent en cherchant les points tels que cp pour lesquels le plan tangent au cylindre est perpendiculaire au plan sécant.

A cet effet: par un point quelconque, ii', de l'axe (fig. 290), on mène une perpendiculaire w — ''if'i au plan sécant; on cherche sa trace horizontale v et, joignant à la trace o de l'axe, on a en ov la trace d'un plan qu'il suffit de déplacer tangentiellement en * et W pour avoir les génératrices <ï>cp":p sur lesquelles seront les points cherchés.

Une fois obtenus, on les reporte sur le développement en utilisant le théorème relatif à la conservation des longueurs.

3° Pour avoir la tangente, on prolonge la tangente * u à la base jusqu'à un plan de front quelconque (par exemple, celui de Taxe) ; on mène la parallèle aux génératrices, un — «V*?', ce qui donne en a a' un point de la tangente à la courbe au point -f, et enc'c'z, par intersection avec le plan de section droite, un point de la tangente à la section droite. Elle est rabattue, vraie grandeur, en epa </2 (fig. 200, C). Dès lors, on reporte (fig. 291) cette grandeur rabattue en 92 «2 sur la section droite développée, et du côté voulu ; on prend la perpendiculaire aza' égale à la longueur a '2 3' do la figure 290 — G, et la tangente est obtenue en a >' (fig. 291).