U. SECTIONS CIRCULAIRES

§ 211. — Sections antiparallèles dans un cône ou dans un cylindre du second degré.

Lorsqu'un cône a pour base un cercle, toutes les sections faites par des plans parallèles à cette base sont également des cercles ; mais il y a une autre direction de plans susceptibles, eux aussi, de donner des sections circulaires. Ces deux séries de plans portent le nom de sections antiparallèles. Nous allons en démontrer l'existence :

Prenons (fig. 292) le plan vertical parallèle au plan projetant horizontalement la droite SO qui joint le sommet au centre du cercle de base (1). Le

(1) Il serait inexact d'appeler cette droite l'axe du cône. Un axe implique une symétrie de tous les points de la surface par rapport à lui, ce qui n'a pas lieu pour S O — S' 0'. Eu réalité la droite S 0 — S' O' est ce que l'on nomme le diamètre des sections horizontales.

cône est de symétrie par rapport à ce plan projetant. Coupons le cône par un autre plan a' b' , perpendiculaire aussi au plan vertical, mais antiparallèle au plan de base, c'est-à-dire dirigé de telle sorte que l'angle aigu a qu'il fait avec la génératrice S' a' soit le même que l'angle aigu a que fait le plan de base a' c' avec l'autre génératrice de contour apparent vertical.

Je dis que la section faite par le plan a' b ' est aussi un cercle dans l'espace.

En effet : Considérons un point quelconque m' de la gection, et construisons son ordonnée perpendiculaire au mur. Il suffit pour cela de considérer la section horizontale f g' qui passe par ce point. C'est un cercle ; nous le rabattons en f Mi g' et l'ordonnée est égale à m ' Mi.

Or dans ce cercle on a :

m ' Mr = f m' X m ' g ' .

Mais les triangles /' m ' b' et d m ' g ' sont semblables à cause de l'égalité des angles a et a, et l'on en déduit : f'm '

Ijl ' I) '

— d'où l'on tire f m ' X m ' g ' — m ' a ' X m ' b ' — m' Mis

Fii?. 292

ce qui prouve que le lieu des points tels que m' Mi dans l'espace 'est un cercle.

Autre démonstration. — Par la droite/'' faisons passer un cercle quelconque, f d' g'c' par exemple, et traçons la corde c ' d1 suivant laquelle il est recoupé par les droites de contour apparent du cône. 11 est évident que cette corde c' d' est parallèle à a' b', car les angles inscrits d' f g' et d' c' g' sont égaux.

Considérons le cercle f d! g' comme la projection verticale d'une sphère, laquelle passe, évidemment, par le cercle horizontal f g' . Cette sphère a donc ce cercle f g' de commun avec le cône et, par conséquent, elle recoupe le même cône suivant une autre courbe plane (1) qui, par conséquent, est un cercle , puisque toutes les sections planes d'une sphère sont des cercles.

Mais le plan vertical SO est un plan de symétrie commun à la sphère et au cône, et, par conséquent, la courbe de sortie doit s'y projeter en ligne droite exactement comme la courbe d'entrée f g' le fait de son côté. Or, c' et d' sont deux points de cette courbe de sortie, donc, la droite c' d' en est la projection verticale. Ainsi le plan de houic'd' et tous les plans parallèles tels que a' b1 donnentdes sections circulaires dans le cône. Bésumé. — Quand on connaît une section circulaire dans un cône, toute sphère passant par cette section recoupe le cônè suivant un cercle antiparallèle au premier.

§ 212. — Détermination des sections circulaires dans un cône ou dans un cylindre du second degré.

Une surface du second degré ayant toujours au moins deux plans de symétrie, nous supposerons ici (ûg. 293) que l'un de ces plans est parallèle au plan vertical de projection et que le cône a pour base une ellipse horizontale a'b' — abed. A cause de la symétrie, le sommet S sera projeté horizontalement sur l'un des axes de cette ellipse (2).

Rappelons d'abord que lorsque deux surfaces du second degré ont deux plans tangents communs en deux points, elles se coupent suivant deux courbes planes.

Cela posé, prenons sur l'ellipse de base les deux points m et m, pieds des génératrices de contour apparent horizontal ; menons les normales ml et ml à l'ellipse, et du point I comme centre, avec Im pour rayon, décrivons une sphère : elle sera tangente au cône aux deux points m et m, et par conséquent, si elle le recoupe (§ 189, a), ce sera suivant deux courbes planes. Les plans de ces courbes seront perpendiculaires au mur, à cause delà symétrie.

(\) D'après ce théorème déjà énoncé : « Lorsque la courbe d'entrée est plane, la courbe de sortie est plane également, s

(2) Si le cône n'avait pas la projection horizontale de sou sommet située sur l'un des axes, le problème serait beaucoup plus difficile a résoudre. 11 faudrait d'abord chercher les plaus principaux (plans de symétrje) de la surface,. et prendre le plan vertical parallèle a l'un de ce.> plans principaux. Nous ne traiterons pas ce cas général dans ces leçons élémentaires.

En élévation, le cercle de contour apparent de la sphère et les droites de contour apparent du cône ont pour cordes communes les droites N'N' etP'P'. Ces droites sont donc les traces verticales des sections circulaires du cône.

Nota. — Ces traces se recoupent au point m', projection verticale des deux points de contact m et m.

Ces points m, m, m' sont les points doubles réels de l'intersection du cône et de la sphère.

§ 213. — Sections planes projetées circulairement.

Il peut être commode étant donné, comme à la figure précédende, un cône à base elliptique, de chercher et de prendre pour nouvelle base une section plane qui, tout en étant une ellipse dans l'espace, se projettera horizontalement suivant un cercle.

Or, considérons sur la même figure, 293, le cylindre vertical qui serait circonscrit à la sphère. Il se projette tout entier, en plan, suivant le cercle g m h m équateur de la sphère.

Mais il a, lui aussi, deux plans tangents communs en m et m avec le cône. Il le recoupe donc suivant deux courbes planes. En élévation, les plans de ces courbes ont pour traces verticales les diagonales V'V ' et W'W du quadrilatère formé par les contours apparents du cône et du cylindre. Ces plans sont perpendiculaires au mur. Ils sont donc parfaitement définis.

— Tout ce que nous venons de dire pour un cône s'applique à un cylindre à base elliptique, la fin du chapitre, une note sur les projections dites : stéréographiques.

Fin. 295 Fig. 294