D. BRANCHES INFINIES

§ 214. — Généralités.

Le point courant M, de l'intersection peut s'éloigner à l'infini de deux manières ; ou bien :

lre Manière. — La génératrice du cône ou du cylindre qui le donne tend à devenir parallèle au plan de section ; ou bien :

2e Manière. — Elle tend à s'éloigner tout entière à l'infini.

Nota. — La première manière ne peut s'appliquer pour le cylindre, car si une seule génératrice était parallèle au plan sécant, toutes le seraient et la section se composerait de deux génératrices.

Pour le cône, la deuxième manière peut, seule, exister, car toutes les génératrices passant par le sommet, qui est à distance finie, aucune d'elles ne peut s'éloigner tout entière à l'infini.

§ 215. — Branches infinies dans le cône (à base du deuxième degré). On reconnaît la nature de la section de la manière suivante :

Par le sommet du cône S, on mène un plan auxiliaire P' parallèle au plan sécant. Trois cas peuvent se présenter pour ce plan P ' :

1er Cas. — Le plan P ' (ûg. 294) ne coupe pas le cône ; il n'y a pas de génératrices parallèles au plan P ; par suite, pas de points à l'infini. La section est une ellipse.

2e Cas.— Le plan P ' coupele cône, suivant deux génératrices (fig. 293), SA etSX', dites directions asymptotiques. Ces génératrices rencontrent le plan sécant à l'infini. Il y a deux branches infinies. La section est une hyperbole.

Asymptotes. — C'est la tangente au point à l'infini. On mène les plans tangents A Z et A 'Z ', le long des génératrices A et À'; et les intersections ZO et Z'O avec le plan sécant, sont les asymptotes.

Remarque. — 1° Le point 0, croisement des asymptotes, est le centre de la courbe. 2° La bissectrice des asymptotes serait l'axe ; donc, la bissectrice de l'angle À SX' donnerait, dans Y espace, la direction de l'axe.

3e Cas (fig. 296.) — Le plan P ' est tangent au cône le long d'une génératrice S Xi qui peut être considérée comme la réunion, en une seule, des deux génératrices SX — SX' du deuxième cas. Il y a deux branches infinies; mais les asymptotes sont rejetées elles-mêmes à l'infini : la section est mie parabole.

Remarque. — La bissectrice de l'angle des deux directions SX — SX' se confond avec la droite unique Si X (fig. 296). Donc, dans le cas de la parabole la génératrice de contact du plan auxiliaire P' donne la direction (mais non pas la position) de l'axe.

§ 215 bis. — Epure de la section hyperbolique.

(«) Enoncé. — Un cône (ûg. 297) a pour base un cercle de centre 0 dans le plan horizontal. La projection du sommet

est S. On connaît sa hauteur h.

Un plan sécant a pour trace horizontale P a. On Fig. 297 connaît l'angle 8 qu'il fait avec le sol. Reconnaître si

la section est une hyperbole, et, dans ce cas, déterminer les asymptotes, l'axe et le sommet de la projection horizontale.

(b) Nature de la section. — On prend un mura;?/ perpendiculaire au plan sécant. Ce plan s'y accuse par sa ligne de plus grande pente aQ', faisant avec xy l'angle 3.

Par le sommet ss' on mène un plan P' parallèle au plan P. Sa trace horizontale P'a' coupe la base du cône en deux points Ai et A2. Il y a donc des asymptotes et les génératrices s Ai et SA2 sont les directions asymptotiques.

(c) Asymptotes. — On mène aux points Xi et A2 les tangentes à la base ; Xi Zi et XgZ2. Elles recoupent en Zi et Z2 la trace du plan sécant. Les asymptotes sont les droites Zil et Z2I parallèles aux directions asymptotiques.

{d) Axe et sommet. — On a en m ou en n un point de la courbe, par conséquent l'hyperbole est définie par ses asymptotes et un point. Elle est donc complètement déterminée et la géométrie donne le moyen d'avoir son axe et son sommet. Cherchons-les cependant par une méthode purement descriptive.

lro Méthode. — La bissectrice H de l'angle des asymptotes donne l'axe. Trouver le sommet h revient donc à trouver l'intersection de cette droite (laquelle est dans le plan sécant) avec le cône.

A cet effet, par le sommet du cône, on mène une parallèle s f à l'axe : elle est située dans le plan P ' et sa trace est f, située sur P 'a', de même que la trace de l'axe, est t, située sur Poe. On joint ft, ce qui donne la trace d'un plan auxiliaire mené par l'axe 1 1 et par le sommet du cône.

Cette trace recoupe en d la base du cône; on mène la génératrice ds, et le point k où elle rencontre l'axe t 1 est le sommet.

Ie Méthode. — Trouver le point k revient à chercher le point de la section pour lequel la tangente est, en projection horizontale, perpendiculaire à la droite t \ (voir § 209).

On mène, par le sommet, la droite sic, perpendiculaire à la direction de l'axe. Cette droite, dans l'espace, étant parallèle au plan P, est donc comprise dans le plan P ' . Par conséquent sa trace se trouve en w, sur la trace P ' .

Par ic, on mène la tangente à la base wd, et la génératrice de contact du plan tangent au cône mené par sw, est la droite sd. C'est sur elle que doit se trouver le sommet, et aussi sur l'intersection du plan langent sied et du plan sécant P. On prend en u l'intersection de leurs deux traces, et comme l'intersection de ces deux plans est parallèle à s w, on mène en u k cette parallèle, ce qui donne du même coup le sommet k et la tangente au sommet.

fiota. — Il y a une seconde solution donnant le deuxième sommet H.

Fig. 293

§ 216. — Epure de la section parabolique.

(a) Enoncé. — On donne un cône à base circulaire. Son sommet est projeté en S. On donne en PQ la trace d'un plan sécant, et l'on demande de choisir ce plan de telle sorte que la section qu'il donne dans le cône soit une parabole, dont on déterminera l'axe, le sommet et le foyer en projection horizontale. (b) Détermination du plan. — Si l'on mène en P ' Q ' , à la base du cône, une tangente parallèle à P Q, le plan défini par

P ' Q ' et par le sommet S, dans l'espace, donne la direction du plan PQ. Ce dernier est donc parfaitement déterminé.

(d) Sommet. — Le sommet s'obtient comme pour l'épure précédente (2° méthode). On mène S 0 perpendiculaire à la direction de l'axe. On prend son intersection ô avec la trace P'Q' du plan auxiliaire. On mène la tangente Oa, et on en déduit en a S la génératrice sur laquelle se trouvera le sommet. D'autre part il est aussi sur la droite b A, parallèle à S 0, laquelle est l'intersection du plan sécant P Q et du plan tangent S a 6.

(e) Foyer. — On sait que le lieu des projections du foyer sur les diverses tangentes à la parallèle est la tangente au sommet \b. Or, le contour apparent Sd du cône est nécessairement tangent à la parabole. Par conséquent, si du point g ou S d rencontre A b on élève une perpendiculaire à Sd, elle recoupera l'axe au foyer cherché.

Projections stéréographiques. — Une des applications les plus intéressantes des sections antiparallèles du cône est faite, en cosmographie, pour la projection dite : stéréographique.

Soit E A B (tig. 299) la sphère terrestre, E le plan de son équateur. On prend en S le pôle et on projette un cercle quelconque AB de la sphère, sur l'équateur en ab, à l'aido d'un cône dont le sommet serait en S. Je dis que la projection conique ab du cercle A B est également un cercle.

En effet, si l'on prend un mur perpendiculaire à l'équaleur et aussi au plan A B, on obtient une projection telle que M'. Sur ce mur le cercle A B est projeté en ligne droite suivant A'B' et la courbe a b suivant une droite a' b'. Or, A' B' et a'V sonl antiparallèles. En effet, l'angle A'B'S' a pour mesure la moitié de l'arc A'E' + E'S' compris entre ses c )tes. L'angle E' a' S' a pour mesure la demi-somme des arcs E' A' et S' E". Or, l'arc E" S' est égal à l'arc E' S', donc les angles sonl égaux, et les sections sont antiparallèles. Comme A'B' est un cercle, il en esl donc de même de a' b\

Par conséquent, en projection stéréographique; les cercles apparaissent suivant des cercles, ce qui est très important au point de vue de la construction des cartes ; les méridiens et les parallèles de la sphère terrestre seront représentés par des circonférences.

Je dis eu outre que les angles se conservent, ce qui veut dire que si par un point m m' (fig. 300) de la sphère et dans le plan tangent, P, a cette sphère, en ce point ou mène deux droites m a — m' a' et mb — m' b', ces droites font, dans l'espace, le même angle que leurs projections stéréographiques m\ a et ml b.

L'Epure ci-contre (fig. 300) permet de faire la démonstration immédiate. Le plan tangent P est supposé perpendiculaire au plan vertical, ce qui n'ôte rien à la généralité de la démonstration.

Pour avoir l'angle a mb en vraie grandeur, on pourrait le rabattre sur l'équateur autour de a b comme charnière. Or, le triangle m'b'm'l est isocèle, car l'angle en m' a pour mesure la moitié de l'arc S' m' et l'angle en m'i a pour mesure la moitié de l'arc E' S' plus la moitié de l'arc m' E" ; ce qui fait le même total.

Par conséquent les lignes b' m' et b'm'i sont égales, et dans le rabattement le point m m' viendra tomber sur sa projection stéréographique ml.

Donc l'angle ami b, en projection stéréographique, donne en vraie grandeur l'angle de l'espace amb. C. Q. F. D.

Il résulte de la que si deux courbes tracées sur la sphère se rencontrent sous un certain angle, leurs projections stéréographiques se coupent sous le même angle. Il en résulte aussi que si l'on prend, dans une région suffisamment restreinte de la sphère, une figure quelconque, elle sa projettera stéréographiquemeut semblable a elle-même.

EXERCICES

1. — On donne, dans le plan horizontal, un triangle ABC, qui est la base d'un tétraèdre dont le sommet est sur la verticale du point A à une distance de ce point égale à 1/2 BC. On considère un cône inscrit dans ce tétraèdre, et on demande de trouver son intersection par un plan passant par B C et incliné à 30° sur le plan horizontal.

Construire un point et la tangente en ce point. Point le plus haut.

2. — Dans un plan perpendiculaire au plan vertical, on a un cercle tangent à la trace horizontale du plan et dont le rayon est égal à la distance du point de contact à la ligne de terre.

Ce cercle est la directrice d'un cylindre perpendiculaire au plan donné.

Construire le développement de la portion de ce cylindre comprise entre le cercle donné et un plan quelconque défini par ses traces.

3. — Trouver la section droite d'un cylindre dont la base se trouve dans un plan défini par ses traces, et est rabattue, suivant un cercle, sur le plan horizontal.

Les génératrices de ce cylindre sont parallèles à une droite du plan vertical.

4. — On donne les projections d'une droite et un cercle dans le plan horizontal.

Trouver la section droite d'un cylindre ayant pour trace horizontale le cercle donné, et pour axe une parallèle à la droite donnée ;

Tangente à celte section parallèle à une droite donnée. — Développement.

GKOM. DESCR. 13