CONE ET CYLINDRE DE RÉVOLUTION. - SPHÈRE

A. SECTIONS PLANES ET PLANS TANGENTS DU CÔNE ET DU CYLINDRE DE RÉVOLUTION

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§ 217. — Préliminaires.

Nous avons déjà indiqué au chapitre IX les propriétés graphiques de ces trois surfaces. Nous allons dans ce chapitre nous occuper plus spécialement des problèmes relatifs à leurs sections planes et à leurs plans tangents.

g 218. — Théorème de Dandelin. — Section elliptique du cône.

(a) Théorème 1. — Toute section plane d'un cône de révolution est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

C'est une ellipse si le plan coupe une seule nappe du cône (fig. 301) (1).

Soit S G et S H les génératrices situées dans un même plan méridien qui sera pris perpendiculaire au plan sécant. Soit A A' la trace du plan sécant sur ce plan méridien. Décrivons les deux circonférences CD F' ^inscrite) et GFH (ex-inscrite). Soient F et F ' les points de contact avec la droite A A '. Ces points sont les foyers de l'ellipse.

En effet : si l'on considère les sphères qui ont les cercles précédents pour méridiennes, elles sont tangentes en F et en F ' au plan sécant.

Prenons en CD et en G H leurs cercles de contact avec le cône. Soit M un point quelconque de la section ; joignons MF, M F', et menons la génératrice S M du cône, laquelle recoupe en Y et W les cercles de contact C D et G H.

On a MF' = M V comme tangentes à une même sphère et MF = M W pour la même raison.

On a donc : M F + M F' = MV + MW = V W (longueur constante). Donc le lieu des points M est une ellipse.

(b) Directrices. — Si l'on prolonge le plan sécant jusqu'aux plans des cercles CD et G H, les droites d'intersection IL et I' L' sont les directrices. (La démonstration est facile à faire.) (c) Projection sur un plan perpendiculaire a l'axe. — La projection sur un plan K perpendiculaire à l'axe, et que nous prenons ici passant par le sommet, est une ellipse dont le sommet S est le foyer et dont la directrice est la droite PO, intersection du plan sécant et du plan K sur lequel on projette. (Démonstration facile à faire.)

En résumé, le grand axe A A' de l'ellipse est donné en position parla projection de l'axe du cône sur le plan sécant.

(1) Comme au ras général, si par le sommet du cône on mène un plan auxiliaire parallèle au plau sécant, ce plan ne coupe pas le cùne, si ce n'est en un point unique, qui est le sommet.

§ 219. — Problème. — Placer sur un cône donné une ellipse donnée.

Tout revient à placer sur un plan méridien (flg. 302) une droite A A ' telle que si l'on mène par cette droite un plan

perpendiculaire au méridien il donne comme section l'ellipse donnée.

Soient a et b les demi-axes de l'ellipse Ai Bi A'jB'i. On en déduit F,g- 302 facilement les foyers et la demi-distance focale IiFi == c.

Cela posé : sur la figure méridienne nous avons vu que la somme des rayons vecteurs, c'est-à-dire 2 a, était égale à la longueur G G ; mais les tangentes A G et AF sont égales, de même A ' F' et A ' D ; il en résulte que si par le point A' on mène une perpendiculaire sur l'axe, la longueur interceptée A J est égale à la distance focale 2 c.

Par conséquent, dans le triangle JA'A nous connaissons : un côté A A' = 2 a, un autre côté A J = 2 c et l'angle en J est connu.

Dès lors, pour résoudre le problème, nous opérons comme suit : 1° Au sommet on mène une droite S M perpendiculaire sur l'axe ; 2° on prend sur la génératrice S A une longueur ST — 2c ; 3' du point T, avec 2a pour rayon, on trace un arc de cercle jusqu'à la rencontre avec la droite SM. La ligne T M donne en grandeur et en direction le grand axe de la section ; 4° on déplace la droite TM parallèlement à elle-même en A A' jusqu'à ce que le point M vienne se placer en A' sur l'autre génératrice.

La trace du plan sécant demandé est la droite A A' ainsi obtenue. Remarque. — Dans une ellipse on a toujours 2 a >> 2 c. Donc l'arc de cercle T M recoupera toujours la droite S M, et, par conséquent, on peut toujours placer une ellipse donnée sur un cône donné.

| 220. — Base, sur le plan horizontal, d'un cône de révolution dont l'axe n'est pas vertical (fig. 303).

(a) Données. — Soit S Z l'axe en plan, S le sommet dont on connaît la cote de hauteur s ' s". Z est la trace de l'axe et on connaît le demi-angle au sommet a.

(b) Grand axe. — On prend en a; y un mur parallèle à l'axe. L'axe s'y projette, vraie grandeur, en s'z' , et l'on peut

tracer en s'a' et *' a" les génératrices de front faisant avec l'axe l'angle a.

Les points a ' et a ' rappelés en A et A donnent les sommets du grand axe.

(c) Foyer. — Si l'on inscrit une circonférence, o', dans le triangle a' s' a", son point de contact F ' avec la ligne de terre, rappelé en F sur le grand axe, donne le foyer. D'ailleurs le point F' et le centre o'de la circonférence inscrife sont sur la même ligne de rappel. Il suffit donc d'obtenir o ', lequel est d'une part sur l'axe du cône et d'autre part sur la bissectrice a' o' de l'angle à la base a'.

Ayant le foyer F et le centre I, on trouve l'extrémité B du petit axe en décrivant de F, comme centre, avec a pour rayon, un arc de cercle jusqu'à la rencontre avec la perpendiculaire B i B menée au milieu I du grand axe.

(d) Petit axe. — On peut trouver directement la longueur I B du petit axe. Cela revient à trouver la profondeur p B du point du cône qui est projeté verticalement en p.

A cet effet, on mène par le point p une section droite J 'P v' du cône : c'est un cercle que l'on rabat en Bi v' et son ordonnée pBi donne la profondeur cherchée. On prendra donc IB (du plan) = pBt (du rabattement).

(e) Contour apparent horizontal. — Si l'on trace, en omn, le cercle de contour apparent horizontal de la sphère, on sait

(§§ 163 et 1G9) que les génératrices de contour apparent du cône, S m et s n, doivent lui être tangentes ainsi qu'à l'ellipse de base.

Les points de contact M tt N avec la base s'obtiennent comme suit : 1° Les contacts m et n, avec la sphère se trouvant sur le grand cercle m n sont donc sur l'équateur ; dès lors, ils sont rappelés en m' sur l'élévation E'E' de l'équateur. 2° On en déduit en s' m' la projection verticale de la génératrice, qui a pour projection horizontale le contour apparent s m ou s n. 3° On prend en M' rappelé en M ou N les traces horizontales de ces génératrices.

Fis

§ 221. — Section plane projetée circulairement (fig. 304). Les données sont analogues à celles de l'épure précédente. L'axe du cône est donné, en plan, en s z. On le projette en s'z' sur un mur qui lui est parallèle.

Inscrivons dans le cône une sphère de centre o o', et considérons un cylindre vertical qui lui serait circonscrit tout le long de son équateur E'.

Ce cylindre se projette horizontalement, tout entier suivant sa base

to E (!>-.

Il recoupe le cône suivantdeux courbes planes, puisqu'ilssont tous deux circonscrits à une même sphère (§ 189) et, par raison de symétrie, ces courbes planes ont leurs plans perpendiculaires au muv xy. Elles ont donc pour projection sur ce mur les deux diagonales U ' V et P ' Q ' du quadrilatère formé par les contours apparents verticaux du cône et du cylindre.

Au lieu de chercher la base du cône sur le plan horizontal, ce qui donnerait ici une ellipse de très grande dimension, et même au lieu de chercher une section droite qui, circulaire dans l'espace, se projetterait en plan suivant une ellipse et qu'il faudrait rabattre pour s'en servir sous forme de cercle, il sera commode de considérer le cône comme ayant sa base dans l'un des plans U' V, ou P1 Q'.

Dans le cas actuel le plan U 'V sera préférable.

§ 222. — Première application. — Prendre un point sur un cône de révolution (même figure 304).

Comme application, soit m un point de la surface en projection horizontale. Trouver sa projection verticale. Solution. — On mène en plan la génératrice s m. Sa projection recoupe en 1 la base projetée circulairement. On rappelle 1 en 1 ' sur le plan U'V; on en déduit en s'I' l'élévation de la génératrice à laquelle appartient le point. Une ligne de rappel le donne en m'i.

Il y a une seconde solution m7 2 donnée par la génératrice s2 — s/ 2' qui répond au second point d'intersection 2, 2 '.

§ 223. — Deuxième application. — Par un point, mener un plan situé à des distances données de deux points donnés (fig. 305).

(a) Données. — Le point par lequel il faut mener le plan est donné en M. On connaît sa hauteur m" m' .

Les autres points sont A et B. On donne également leurs cotes de hauteur a" a' et b" b'. Les distances auxquelles le plan doit se tenir des points A et B sont a et p.

{b) Cônes enveloi'I'es. — Si des points A et B comme centres, avec a et p pour rayons, on décrit des sphères et si l'on considère les cônes de révolution qui leur sont circonscrits et qui ont le point M pour sommet, le plan demandé sera tangent commun à ces deux cônes.

On considère la sphère B et on lui circonscrit un cône S, homothélique du cône M A. Son axe BS est parallèle à l'axe A M du premier, et son contour apparent h s est parallèle au contour k M du cône M. Le sommet S est donc déterminé, et le problème est ramené à construire au cône S un plan tangent qui passe par le point M.

(c) Exécution. — 1° On prend en # y un mur parallèle à l'axe SB du cône S. On y projette en a', b1 et m' les trois points donnés. En a 'm ' on a l'axe du cône M A et en b' s', parallèle à a'm' , l'axe du cône S.

2° On dessine en b' 2 '1 ', sur le mur xy, le contour apparent de la sphère dont le centre est B b, et le rayon p. Le cône S' a pour contour apparent vertical les tangentes S ' 1' et s ' 2 '.

3° On détermine en P' Q ' le plan d'une section projetée circulairement sur le sol, et cette section sera prise pour directrice du cône.

A" On mène la droite M S — m 's'. On prend en t' t son intersection avec le plan de base P'Q\ Du point t on mène (en plan) la tangente à la base projetée circulairement t v — t'v' et le plan tangent cherché peut, dès lors, être considéré comme déterminé par deux droites s t — s' t' et t v — t'v' .

(d) Point de contact. — La courbe de contact du cône S S' et de la sphère B b ' est projetée sur le mur suivant la corde

de contact l'2'. Elle rencontre la génératrice de contact sv — s'r' en un point dd', qui est le point de contact du plan trouvé et de la sphère.

Si l'on joint Bd, on a le rayon de la sphère et par suite la normale au plan.

Sur le cône M A la génératrice de contact serait M f parallèle à S et sur le cône M B ce serait M d.

En prenant un nouveau mur xi yi parallèle aux normales Bd ou kf et projetant deux points du plan, par exemple M en m' 1 et d en d'i par report de hauteurs on aurait la trace verticale nouvelle du plan, et en même temps une ligne de plus grande pente de ce plan.

(e) Vérifications. — 1° En cherchant en ce ' et gg ' les traces horizontales des deux droites tv et M/, la droite g c donnera la trace horizontale du plan. Elle doit être perpendiculaire aux normales Bd et kf; 2° si des projections verticales nouvelles a'i et b'\ des points A et B on trace les cercles avec a et p pour rayons, ils doivent être tangents à la ligne de plus grande pente m'\ f i.

Nota. — Si l'on proposait le problème suivant : « Mener par un point M m ' un plan qui fasse avec deux droites données MA — m'a' et MB — m'b' des angles donnés », la solution serait absolument la même.

§ 224. — Section hyperbolique du cône de révolution.

Toute section plane d'un cône de révolution est une hyperbole si le plan sécant rencontre les deux nappes du cône (fig. 306) (1). La démonstration se fait comme pour l'ellipse.

0 et Or sont deux sphères inscrites dans le cône et tangentes en F et F' au plan sécant. Pour un point quelconque M de la section on a :

MF = MW comme tangentes à une sphère et MF' = MVpour la même raison. Par conséquent, MF' — MF = M Y — MW = GD ou G H, quantité constante : ce qui est la propriété caractéristique d'un point de l'hyperbole.

(1) Le plan auxiliaire mené par le sommet parallèlement au plan sécant, recoupe le cône suivant deux génératrices qui donnent les directions asymploliques (§ 215. fig. 295).

Gomme pour l'ellipse : 1° Les directrices 1 L et I' L' sont les intersections du plan sécant et des plans des courbes de contact G D et G H des sphères et du cône.

2° La longueur A A' est égale à 2 a, longueur de l'axe transverse, et si l'on abaisse A' J perpendiculaire sur l'axe,

cette droite intercepte sur la génératrice une longueur A J égale à la distance focale 2 c.

Fig. 307

Fig. 306

On sait que dans l'hyperbole c est plus grand que a.

3° Si on projette la courbe sur un plan Z perpendiculaire à l'axe et passant par le sommet, la projection est une hyperbole dont le point S est le foyer et dont la directrice P Q est l'intersection du plan sécant et du plan Z.

§ 225. — Placer une hyperbole donnée sur un cône donné (fig. 307).

(a) Construction. — 1° On mène S M perpendiculaire sur l'axe. 2° On prend sur la génératrice une longueur S T = 2c.

" " 3° Du point T comme centre

avec 2 a pour rayon, on décrit un arc de cercle qui recoupe en M la droite S M. 4° On transporte parallèlement TM en A A', ce qui donne la trace du plan sécant.

(b) Discussion. — Le problème sera possible si l'on aTM>TN; TN étant la perpendiculaire abaissée du point T sur la droite S M.

Soit p (fig. 308), l'angle formé par l'axe transverse de l'hyperbole et par son asymptote, et soit a le demi-angle au sommet du cône (fig. 307).

On a (fig. 307) : TN = S T. Gos. a = 2 c. Cos. a et TM = 2 a. On doit avoir :

TM > TN, c'est-à-dire : 2a > 2c Cos. a, ou-> Cos. a.

Mais dans l'hyperbole (fig. 308), on a

c = o D, et-

Cos. (3.

Il faut donc, pour la possibilité du problème, que l'on ait : Cos. (5 > Cos. a, c'est-à-dire : p < a.

En résumé : Il faut que l'angle formé par les asymptotes de l'hyperbole soit plus petit que l'angle formé par les deux génératrices d'un même méridien.

§ 226. — Section parabolique (fig. 309).

Toute section plane d'un cône de révolution est une parabole, si le plan sécant est parallèle à un plan tangent.

Soit A P la trace du plan sécant sur le plan méridien qui lui est perpendiculaire. On a AP, parallèle à la génératrice méridienne SB.

On inscrit, comme dans les autres cas, la sphère O, tangente au plan sécant; soit F le point de contact, et C E, le cercle de contact. On prend en D N l'intersec-

Fig. 309

tion du plan de contact et du plan sécant, et l'on démontre que F est le foyer, tandis que D N est la directrice de la parabole.

En effet : soit M un point quelconque de la section, et MB, le parallèle qui le contient. Joignons MF, c'est une tangente à la sphère, elle est égale à la portion de génératrice M G et, par conséquent, égale aussi à BG.

Abaissons M N perpendiculaire sur la directrice. La ligne M N est parallèle et égale à PD, et comme PD, par hypothèse, est parallèle à CB, on a donc :

MN = PD = BC = MF. Donc:

MN = MF, ce qui est la propriété caractéristique d'un point de la parabole.

Nota. — La projection de la parabole sur un plan Z passant par le sommet et parallèle à l'axe est une parabole dont le foyer est le sommet du cône S, et dont la directrice est l'intersection QB du plan Z et du plan sécant.

Fig. 310

Fig. 311

§ 227. — Placer une parabole donnée sur un cône de révolution donné (fig. 310).

1° Sur la génératrice SB, on prend S Y = p(p désigne le paramètre de la parabole, c'est-à-dire la distance de son foyer à son sommet).

2° On mène ST perpendiculaire à l'axe et par le point V, la droite VT perpendiculaire sur la génératrice. 3° On déplace le triangle rectangle S TV parallèlement à l'autre génératrice SA, jusqu'à ce que son sommet T vienne

en 0 sur l'axe. Sa base A P donne la trace d'un plan qui recoupera le cône suivant la parabole donnée.

Nota. — Le problème est toujours possible, car la ligne V Tétant perpendiculaire à la ligne SV, rencontrera toujours ST, qui est une oblique à S V.

§ 228. — Section cylindrique.

La section d'un cylindre de révolution par un plan (fig. 311) est toujours une ellipse. On le démontre comme pour le cône en inscrivant deux sphères 0 et 0', tangentes, toutes deux, au plan sécant.

On a pour tous les points :

MF = M N, et M F = M P. Donc :

MF-f MF = NP = Constante. C.Q.F.D.

Les directrices sont les intersections IL et 1' L' du plan sécant et des plans de contact des sphères inscrites.

Lorsque le cylindre a son axe oblique au plan do projection, on obtient, comme pour le cône, une section projetée circulairement, en inscrivant une sphère et en considérant un second cylindre circonscrit à cette sphère, mais dont les génératrices sont perpendiculaires au plan de projection. L'intersection des deux cylindres est plane ; c'est une ellipse projetée suivant le cercle de base du second cylindre. L'emploi de cette ligne comme courbe de base du cylindre peut être commode.

Pour donner une idée de la manière dont on traite les questions de plans tangents aux cylindres de révolution, nous résoudrons le problème suivant, dont l'énoncé a déjà été donné plus haut (lrc partie, § 139), et nous traiterons des questions d'ombres.

§ 229. — Problème. — Par un point M, mener une droite passant à des distances données, a et p, de deux droites données, A et B (fig. 312).

(a) Données. — Le point est M ; on le suppose dans le plan horizontal. La première droite a pour projection horizontale AD. Son plan projetant, pris comme premier mur xy, a été rabattu, et avec lui, la droite en A D '.

De même, la seconde droite est BC, rabattue avec son plan projetant, xi yi, en B C

(b) Solution dans l'espace. — 1° On considère chacune des droites comme axes de cylindres de révolution, dont les

Fis. 312

rayons R et Ri sont égaux aux distances données ; 2° par le point M, on mène un plan tangent à chacun des cylindres ; 3° on cherche l'intersection de ces plans, ce qui donne la droite demandée.

(c) Epure. — AD' et BC/sont les axes des cylindres. 1° Par le point M, on mène en MDï' etenMCp'i des plans

perpendiculaires à ces axes, et qui les recoupent en a' et p'i , centres des cercles de section droite des cylindres.

2° On rabat ces plans sur le plan horizontal, et avec eux, en ai R et jîi Ri les cercles dont les rayons R et Ri sont égaux aux distances données.

3° Du point M, qui n'a pas bougé, on mène les tangentes M fi et M g\, et l'on relève les points de contact en f f et en g g 't. Les plans tangents sont déterminés par le point M et par les génératrices de contact f q et g n.

D'ailleurs, si l'on relève en a f et (3 g les rayons des points de contact, cela donne des normales aux plans tangents, et les horizontales de ces plans leur seront perpendiculaires.

4° On cherche l'intersection des

plans tangents. A cet effet, on coupe par un plan auxiliaire Z ou Zi horizontal, que nous avons pris à la hauteur du point ff. Dans le premier plan tangent, il donne l'horizontale fk, perpendiculaire sur a/1, et dans le second, la droite h k perpendiculaire sur $g. Les horizontales se coupent en k. La droite demandée est M k n q.

5° Les perpendiculaires communes à la droite trouvée et aux droites données s'obtiennent en S q et np, en faisant glisser les normales a f et $g, jusqu'à ce que les points f et g, tout en restant sur les génératrices de contact, viennent se placer sur la droite trouvée, MK.

Nota. — Le lecteur devra s'exercer à faire, par des tracés analogues, les épures des trois autres problèmes sur les distances énoncés dans la première partie (§§ 138 et 139).

Fig. 313

| 230. — Ombre propre d'un cône de révolution éclairé par un flambeau (fig. 313).

(a) Données. — L'axe du cône est S 0, donné en projection horizontale seulement On connaît la cote de hauteur du

point 0 (10 millimètres) et celle du sommet S (36 millimètres). On connaît le demi-angle au sommet, a, du cône. Le flambeau est donné en F (46 millimètres).

(b) Epure. — 1° On prend pour plan vertical x y, le „,fV plan qui projette l'axe S 0. L'axe est rabattu en S'O, et ,-'-'',''''/ l'on suppose que le plan horizontal est à la cote 10 mil-

t,''' / limètres. Par conséquent on a S S' = 36 — 10 = 26 mil-

limètres. Le flambeau se projette verticalement en F" (on a f" F 46 — 10 = 36 millimètres). Enfin ens'd' et S' c' on trace les génératrices méridiennes faisant avec l'axe l'angle a.

2° On inscrit une sphère dans le cône. Son centre est en 0, ce qui fait que le même cercle sert pour le contour apparent vertical et pour le contour apparent horizontal de la sphère. On circonscrit à cette sphère un second cylindre vertical et l'on prend pour base du cône l'intersection P'Qf qui se projette horizontalement suivant le cercle o m n.

3° Le problème de l'ombre revient à mener par le flambeau F F ' un plan tangent au cône.

GÉÛM. DESCH. 16

Fig. 314

A cet effet on joint S F — S1 F'. On prend en t't l'intersection avec le plan de base P'Q7, et du point t on mène les tangentes tm et tn au cercle projection de la base.

La séparatrice d'ombre est formée par les deux génératrices de contact S m et S ».

§ 231. — Ombre propre d'un cylindre de révolution éclairé par le soleil (fig. 314).

Le problème précédent a été résolu en prenant pour base du cône une section elliptique projetée circulairement, ce

qui évitait un rabattement. Afin de donner une autre méthode, nous nous imposerons ici de prendre pour base une section droite.

(a) Données. — L'axe du cylindre a pour projection o C. La cote de hauteur du point o est de 29 millimètres, celle du point G est 13 millimètres. Le rayon du cylindre est de 13 millimètres.

Le rayon lumineux a pour projection horizontale o S. Il fait un angle 3 avec le sol.

(b) Epure. — 1° On prend en xy un mur parallèle à l'axe du cylindre. Les hauteurs, 29 et 13 millimètres, permettent d'établir en o' c' l'élévation de l'axe et les deux sections droites m ' n' etd'e' ; desquelles on déduit, en plan, les ellipses edfg, tn C ».

2° Par un point de l'axe, le point o o ' par exemple, on mène un rayon lumineux o S ; un rabattement préalable fait eno'iSa permis d'obtenir en S la trace horizontale du rayon lumineux. On en déduit en o ' s' l'élévation de ce rayon sur le mur xy.

3° On prend en f'f la trace de ce rayon sur le plan de base m'n', ce qui donne en G { la trace sur ce plan de base d'un plan parallèle à la fois aux génératrices du cylindre et aux rayons lumineux.

4° En menant à l'ellipse de base des tangentes parallèles à C t on aurait en m et », points de contact, le pied des génératrices d'ombre propre j«M (vue) et »N (cachée).

5° Pour plus de précision, on rabat horizontalement le cercle de base, ainsi que la droite G t (rabattue en Cîi), et menant au cercle rabattu des tangentes parallèles à C ti, il ne reste plus qu'à relever les points de contact mi et m en m et en ».

Vingt-quatrième Leçon