Mener à une sphère

Fie. 316

un plan tangent parallèle à un plan donné.

(a) Le plan est de bout (flg. 316 — A). — Soit Pi le plan donné; la solution est immédiate. Le plan cherché sera de contour apparent ; sa trace verticale P sera tangente au méridien principal en un point m' rappelé horizontalement en m. Il y aune seconde solution.

(ft) Le plan est quelconque ZI Qiz'. — Par une rotation autour d'un axe vertical, pris de préférence enzz' dans le mur, on le rend debout. Soit z'aSi sa position après la rotation.

On est ramené au cas précédent ; on mène le plan n' p S parallèle au plan z' a Si ; n'n est le point de contact. Par une rotation inverse, on ramène en t QV le plan à être parallèle au plan donné. Le point de contact est N N ' . Il y a une seconde solution. Remarque. — Si l'on joint 0 N et 0 ' N ' , on obtient ainsi le rayon de la sphère; il est normal au plan tangent et, par conséquent, les droites 0 N et 0 ' N' doivent être, respectivement, perpendiculaires aux traces du plan donné.

Fie. 317

§ 233. — Mener à une sphère un plan tangent passant par une droite donnée.

(a) lre Méthode (spéciale à la sphère). — Solvtion dans l'espace. — Remarquons que si la droite donnée AB était verticale (fig. 317), les plans tangents cherchés seraient des plans de contour apparent horizontal et seraient déterminés par

les tangentes a M et aN menées à son équateur par le point, ce, où la droite perce le plan de l'équateur.

Epure (fig. 318). — Le centre de la sphère est donné en 0 (cote : 10 millimètres). La droite est définie par les deux points a (28 millimètres) et b (0 millimètres).

On prend pour mur le méridien xy parallèle à la droite, et pour plan horizontal le plan de l'équateur. La droite y a pour élévation a ' b ' ; a ' est situé à 28 — 10 = 18 millimètres de hauteur, et b ' a pour cote : 5 — 10 = — 5 millimètres. Par une rotation autour d'un axe de bout qui passerait par le centre de la sphère, on amène la droite en ai bi — ahb'ik être verticale. Du point ai bi, projection horizontale, ainsi déplacée, on mène les tangentes «i Ni et ai Mi au cercle d'équateur. Enfin, par une rotation inverse, on ramème les points de contact Mi M'i et NiN'i en mm' et nn'. Le problème est résolu, car chacun des plans tangents est déterminé par la droite donnée ab— a'b' et par le point de contact, m m' ou nn'.

(b) 2° Méthode (par les cônes circonscrits). — Cette méthode s'applique non seulement à la sphère, mais à toute surface de révolution du second degré.

Solution dans l'espace. — Prenons un point quelconque de la droite pour sommet d'un cône circonscrit à la sphère ; menons à ce cône auxiliaire un plan tangent passant par la droite donnée, cela nous donnera le plan demandé.

Epure (fig. 319). — 1° Nous prenons en s s' un point sur la droite donnée sd — s'd1; mais nous avons soin de le prendre dans le plan du méridien de front.

2° Nous considérons le cône circonscrit ayant le point S S' pour sommet ; à cause de la position du sommet S, ce cône a pour plan de symétrie le plan du méridien principal et sa ligne de contact avec la sphère est le cercle projeté verticalement suivant la droite de contact a'b' .

3° Nous menons à ce cône un plan tangent passant par la droite donnée sd — s'd'.

A cet effet, nous prenons pour base une ellipse projetée circulairement et dont le plan P'Q' est obtenu (voir § 221), en considérant le cylindre vertical circonscrit à la même sphère. On prend en d! d l'intersection de la droite avec ce plan P'Q'. Du point d, on mène les tangentes dM et dN à la base. On rappelle M et N en M ' et N ' sur le plan de base P'Q', et les génératrices de contact sur le cône sont les droites SM — S'M' et SN — S'N'. Elles rencontrent en m'm et n'n la courbe de contact a'b' ; ces points mm' et nn' sont les points de contact des plans tangents demandés avec la sphère.

Fig. .H20

Fig. 321

§ 236. — Intersection d'une sphère et d'une droite.

(a) lre Méthode (fig. 320). — Soit 0 le centre de la sphère (cote 25 millimètres), ab la droite (a, cote 47 millimètres ; b, cote 11 millimètres). On prend pour surface auxiliaire le plan qui projette horizontalement la droite ab; il coupe la sphère suivant un petit cercle dont le diamètre est cd, et dont le centre est en i sur le plan d'équateur. On rabat ce

cercle et la droite sur le plan de l'équateur. Pour la droite, on a pris aAi = 47

— 23 = 22 millimètres, et 6Bi = 11 — 25

— — 14 millimètres.

La droite et le cercle rabattus se recoupent en Mi et Ni, que l'on relève en m et n ; ce sont les points cherchés.

(a) 2e Méthode (fig. 321). — Comme surface auxiliaire, on peut prendre le plan qui contient la droite et le centre de la sphère. Il recoupe la sphère suivant un grand cercle, que l'on s'arrangera de façon à rabattre sur l'équateur.

Soit o le centre (cote, 25 millimètres), a Ma droite (a, cote 45, et b, cote 25, comme le centre). La ligne o b est la trace du plan auxiliaire sur le plan de l'équateur. On rabat le point a en Aa, par l'opération ordinaire du rabattement. Le grand cercle de section auxiliaire est rabattu suivant le cercle d'équateur. Les points de recoupement sont Mi et Ni relevés en mm' et nn'. On a leurs cotes de hauteur en m' m" et en n'n". § 237. — Section plane d'une sphère.

(a) Le plan sécant est de bout (fig. 322.) — En élévation, la section est tout entière projetée suivant la droite c' d' . Nous sommes donc ramenés (§ 74) à trouver la projection horizontale d'un cercle dont le plan est de bout.

En plan le grand axe, ab, est égal en longueur à c'd'. Les points g et g, sur le contour apparent, c'est-à-dire situés sur l'équateur, s'obtiennent en menant la ligne de rappel du point g ', où, en élévation, se rencontrent l'équateur E' E' et le cercle de section c'd' .

Fig. 322

Fig. 3>3

(b) Le plan sécant est quelconque. — On voit que la construction revient (fig. 322) : 1° à couper la sphère par un plan ZOE, passant par son centre et perpendiculaire à la trace Pa du plan sécant; 2° à déterminer l'intersection de ce plan

auxiliaire avec le plan sécant et à limiter en cd — c' d ' cette intersection aux deux points ce' et dd' où elle recoupe la sphère, ou plutôt l'intersection de la sphère et du plan auxiliaire.

Réalisons cette construction pour un plan sécant quelconque (fig. 323).

(c) Ellipse, projection horizontale. — Le plan auxiliaire est oZi, perpendiculaire sur la trace Pa du plan sécant. On le rabat sur le plan Hi de l'équateur. Le point g' situé sur l'horizontale l'I ne bouge pas; le point /"situé sur la trace horizontale du plan sécant se rabat en f\ à une distance ff\ égale à la hauteur o'o" du plan d'équateur. Le cercle de section du plan auxiliaire et de la sphère se rabat sur l'équateur. On a donc en c'i d'i le rabattement de la droite qui donnera, en c d, par relèvement, le petit axe de l'ellipse. Le grand axe ab passe par le milieudeladroitecdetestégalen longueur à c'id'i.

(a) Ellipse projection verticale. — Solution analogue : d Z*, plan auxiliaire de coupe, perpendiculaire à la trace verticale aQ' du plan sécant ; ce plan est rabattu sur le plan, Vi, du méridien principal. On a en / le point fixe sur la frontale du plan sécant qui est dans ce plan méridien. On a pris k'ki égal à oo", profondeur du centre, ce qui a déterminé en n"ilki la droite dont les extrémités m et mi, relevées en n' et m', donnent le petit axe de la projection verticale. Le grand axe p' q' est perpendiculaire au milieu;' de m'n' et sa grandeur est égale à miWi.

§ 238. — Intersection de deux sphères (fig. 324).

Soit 0 (cote 28) et C (cote 17), les centres des deux sphères. On prend en xy un mur parallèle à la ligne des centres. Le plan horizontal est au niveau du centre C (cote 17). Ce centre s'y projette donc en C ' sur la ligne de terre et le centre 0, en O'à (28 — 17)= li millimètres, au-dessus du centre G'.

L'intersection est projetée tout entière suivant la droite a'b', corde commune des cercles, contours apparents des sphères.

Le problème est ramené à trouver en a b — c d l'ellipse projection horizontale du cercle a' b' de l'espace.

Il est bon de déterminer directement en g' — g g et en /* ' — h h les points de l'ellipse situés sur les équateurs des deux sphères. L'ellipse n'est vue qu'entre les points g et g ; le contour apparent de la sphère 0 0' disparaît en ces mêmes points, qui sont ceux où l'équateur de la sphère 0 0', pénètre dans la sphère G C'.

§ 239. — Cône circonscrit à une sphère. — Problème de l'ombre au flambeau (fig. 325). (a) Séparatrice. — Nous supposerons le flambeau L L' dans un même plan de front avec le centre de la sphère. Le cône circonscrit a pour ligne de contact avec la sphère un petit cercle projeté verticalement suivant la droite c'd'. On trouve comme à l'ordinaire l'ellipse c dmn, projection horizontale de ce cercle. On obtient ainsi la ligne d'ombre propre ou séparatrice d'ombre de la sphère.

(6) Ombre portée. — L'ombre portée sera la section de ce cône par le plan horizontal (voir § 220). Les extrémités c '

Fis. 325

et d' de la séparatrice donnent en Ci et Di le grand axe de l'ellipse d'ombre portée. Le point le plus bas, f , de la spbère donnerait en F le foyer, ce qui permet d'obtenir en B et B les extrémités du petit axe.

Le point g 'g situé à la fois sur l'équateur et sur la séparatrice, c'est-à-dire aussi sur le contour apparent horizontal du cône, est le point où la séparatrice vient se raccorder tangentiellement à l'équateur. (Résulte des théorèmes sur les contours apparents, § 163.) Les ombres portées, Gi Gi, par les points sont les points où le contour apparent du cône est tangent à l'ellipse d'ombre portée.

Nota. — Cette méthode revient en somme: 1° à couper la sphère par un plan sécant vertical, qui passe à la fois par son centre et par le flambeau; 2° à mener du flambeau les deux rayons lumineux L' d1 et h' c' tangents au grand cercle de section ; 3° à prolonger ces rayons jusqu'à la section faite par le plan sécant dans le plan horizontal, ce qui donne en Di et Ci les extrémités du grand axe ; 4° à prendre en fl le point le plus bas du cercle de section et à chercher en F son ombre portée, ce qui donne le foyer.

Par conséquent, si le flambeau occupait une position quelconque, on ferait à part les épures en plan et en élévation ; à cet effet, on couperait successivement par deux plans auxiliaires passant à la fois par le flambeau et par le centre l'un vertical, l'autre de bout,

et l'on se servirait des sections ainsi déterminées comme nous venons de l'indiquer. Le lecteur devra faire l'épure pour ce cas général.

§ 240. — Cylindre circonscrit à une sphère. — Problème de l'ombre au soleil.

(a) Rayons lumineux de front (fig. 326). — La séparatrice est projetée verticalement suivant la droite a' b' , perpen diculaire aux rayons lumineux ; c'est un grand cercle de la sphère.

En plan, le cercle a' b' a pour projection l'ellipse a b — mn, obtenue comme à l'ordinaire.

Fis:. 327

Fig. 32G

L'ellipse d'ombre portée est obtenue en ai bi — mi m (explications inuti'es). Le point le plus bas de la sphère, f , a pour ombre portée le foyer F de l'ellipse.

{b) Rayons lumineux quelconques (fig. 327). — On mène tout d'abord le rayon lumineux qui passe par le centre et on cherche en Oi sa trace horizontale et en 0 '2 sa trace verticale ; cela fait, on continue comme suit :

1° Ombres en plan. — On fait une coupe par un plan vertical o Zi passant par le centre et parallèle au rayon lumineux et on rabat sur le plan de l'équateur. La section faite par ce plan auxiliaire sur le sol se rabat en xi y\ à une distance égale à la hauteur O' O" du centre. La section faite dans la sphère se rabat suivant le grand cercle d'équateur et l'on rentre dans le cas précédent. Le cercle d'ombre propre est projeté sur ce rabattement suivant la droite a' b' qui, relevée, donne, en a b, le petit axe de la séparatrice. Le grand axe est m 11 ; etc., etc. L'ombre portée est l'ellipse ai bi — mi ni.

2° Ombres en élévation. — On fait une coupe par un plan de bout O' 0'2 , et l'on rabat cette coupe sur le plan du méridien principal. Le grand cercle de coupe se rabat suivant le cercle méridien et la section faite par le plan sécant sur le mur se rabat en x-z y>i à une distance égale à la profondeur O' o"du centre. Le rayon lumineux du centre est rabattu en O' 02. On mène les tangentes f f% et g g% à la méridienne et parallèles au rayon rabattu ; on en déduit en fg, relevé en f g' , le petit axe de la séparatrice, et en f-z gi, relevés en f% o'2, le grand axe de l'ombre portée sur le mur; etc., etc.

(c) Points de pliure. — Les deux ellipses d'ombres portées doivent se rencontrer en a et p sur la ligne de terre. En ces points, l'ombre se replie de l'un des plans de projection sur l'autre : c'est ce qui nous les fait nommer des points de pliure. Fig. 328