C. INTERSECTIONS

§ 241. — Intersectio d'un octaèdre régulier et d'un cône de révolution

(a) Données. — L'octaèdre régulier a l'une de ses diagonales S'T' — ST verticale. Le carré de la base commune aux deux pyramides qui, par leur réunion, forment l'octaèdre, est abcd — a'b'c'd' .

L'axe du cône V 'Z ' est de front et passe par le centre de l'octaèdre. Le sommet V'V est dans le plan horizontal. On se donne le demi-angle au sommet a du cône.

(b) Méthodes des projections coniques. — On inscrit dans le cône une sphère dont le centre u> ' est ici le centre de l'octaèdre. On circonscrit à cette sphère un cylindre vertical, et on prend pour base du cône la section plane donnée par le plan de bout P'Q',dont la trace verticale est la diagonale du quadrilatère formé par les contours apparents du cône et du cylindre (§ 221). Horizontalement, cette base du cône se projette suivant

Fis. 329

le cerclent q\ hi de contour apparent de la sphère. Pour le distinguer, nous l'avons dessiné en trait mixte. Cela fait,

nous projetons coniquement sur le plan P'Q', et en prenant pour centre dé projection le point VV, d'une part, l'octaèdre en Si ai bi ci di Ti, et d'autre part, le cône. Le centre de projection étant le sommet, il en résulte que ce cône et, par suite, toute la section, se projettent entièrement suivant le cercle gi qi hi ki

Toutes ces projections coniques sont figurées en trait mixte. En réalité, nous faisons une perspective de l'octaèdre et du cône, en prenant comme point de vue le sommet V ' V du cône, et comme tableau le plan P'Q'.

Dès lors la question revient à prendre les points du cercle, #1 q\ h\ , et à remonter de ces points par des projetantes inverses, aboutissant toutes au point de vue Y' V, aux points f, g, h situés soit sur les arêtes, soit sur les faces

de l'octaèdre.

(c) Points sur les arêtes. — On prend un point tel que fi où la droite bi clt perspective de l'arête b c de l'octaèdre, rencontre le cercle, perspective du cône. De ce point f\, par un rayon visuel inverse, fi V, on remonte au point /"sur l'arête.

(d) Tangentes en ces points. — On mène en 12" — fi — 2" la tangente au cercle. On prend les points 2" et 1", où elle rencontre les arêtes de faces qui ont la ligne bc pour intersection. Ainsi 2" est pris sur bi Si. On remonte de 2" en 2 sur b S par une projetante inverse, et la tangente à l'arc d'ellipse compris dans la face S a b est la droite /2. De même la tangente

à l'arc d'ellipse fp, situé dans la face T bc, est la droite fi.

On opérera de même pour tous les points tels que fif — hi h — ki k, etc., situés sur les arêtes.

(e) Points courants et tangentes. — On fera bien de prendre comme points courants ceux tels que g ou g" ou i ou i".. . ., pour lesquels les tangentes, telles que bg, passent par des sommets de l'octaèdre. A cet effet :

Sur la perspective, on mène par la perspective d'un sommet, bi par exemple, la tangente bigi au cercle; on la prolonge jusqu'au point 3", où elle rencontre la perspective S Ci d'une arête de la même face; on remonte de 3" en 3 sur cette arête SC, et la tangente est la droite #3. On remonte ensuite de g\ en g, sur cette tangente.

(d) Projection verticale et solide commun (fig. 329). — Explications inutiles ; suivre l'épure.

§ 242. — Intersection d'un cône et d'une sphère.

Le cône est quelconque. — lre Méthode. — On cherche les intersections successives des génératrices du cône avec la sphère (§ 236) et l'on joint tous les points par une ligne continue.

2e Méthode, dite : des projections coniques. — On prend successivement tous les parallèles de la sphère ; on en fait la perspective sur le plan de la base du cône (ce plan est supposé horizontal), en prenant pour point de vue le sommet ; le cône se perspective en entier suivant sa courbe de base. On prend donc les intersections de cette base avec les perspectives des différentes parallèles, et on remonte, de ces recoupements en perspective, aux points dans l'espace à l'aide de rayons visuels.

Nota. — Nous donnerons plus loin l'épure de l'intersection d'un cône et d'une surface de révolution ; elle est tout à fait analogue à celle que l'on pourrait faire pour un cône et pour une sphère.

Si le cône est de révolution, la méthode peut encore se simplifier, comme nous le montrerons.

E XERCICES

Fis. 330

-'Tz

1 . — Faire passer une sphère par quatre points, c'est le même problème que : construire une sphère circonscrite à un tétraèdre.

2. — Construire une sphère passant par trois points donnés A, B, G et tangente à un plan donné H.

Solution dans l'espace (fig. 330). — 1° On considère le plan des trois points A B C, et l'on trace le cercle qui les contient ; 2° on détermine son centre I et la perpendiculaire I 0 à son plan ; 3° on mène le plan P qui contient cette perpendiculaire et qui est perpendiculaire au plan donné H ; on détermine d'une part en M et N ses points d'intersection avec le cercle ABC et, d'autre part, en XY, son intersection avec le plan donné H ; 4° la question est alors ramenée au problème suivant de géométrie plane : « Par deux points M et N, faire passer une circonférence tangente à une droite donnée X Y. » Cette circonférence sera un grand cercle de la sphère.

Faire l'épure en supposant que le plan H est le plan horizontal. 3. — Construire une sphère passant par deux points AetB donnés et tangente à deux plans donnés P et Q. Solution. — Le centre de cette sphère est un point situé à égale distance des deux points A et B et des deux plans P et Q. Or : 1° Le lieu des points situés à égale distance des plans P et Q est le plan bissecteur, Z, du dièdre qu'ils forment. 2° Le lieu des points situés à égale distance des points A et B, est un plan V mené à la droite AB, en son milieu. Le centre cherché sera donc sur la droite Z V d'intersection des plans Z et V.

Nota. — Pour en avoir deux points il suffira, des points A et B, comme centres, de décrire deux sphères égales et de déterminer les cercles d'intersection avec ce plan Z. La corde commune sera la droite Z V d'intersection des plans V et Z. 3° Le lieu des points situés à égale distance d'un point donné A et d'un plan P est un paraboloïde de révolution engendré comme suit : « L'axe de la parabole méridienne est la perpendiculaire A D abaissée du point A sur le plan P ; le foyer est le point A et le sommet est au milieu de la droite AD». Donc : 4° On prendra l'intersection de ce paraboloïde et du plan bissecteur Z. On obtiendra, en général, une ellipse, et les deux points où cette ellipse coupera la droite Z V pourront être pris pour centre de la sphère cherchée.

Faire l'épure en supposant les plans P et Q verticaux.

4. — Construire une sphère passant par un point donné, A, et tangente à trois plans donnés, P, Q etB.

Solution. — 1° Les trois plans P, Q et B forment un trièdre ; on mènera les plans bissecteurs des trois dièdres ; ils se recouperont suivant une droite D. Le centre cherché doit être sur cette droite D. (Plusieurs solutions.)

2° Le lieu des points également distants du point A et d'un quelconque des trois plans, P par exemple, est un paraboloïde de révolution défini comme ci-dessus.

3° On prendra l'intersection de ce paraboloïde avec un des trois plans bissecteurs ci-dessus, et les deux points où l'ellipse d'intersection rencontrera la droite D pourront être pris pour centre.

5. — Construire une sphère tangente à quatre plans donnés. C'est le problème de la sphère inscrite dans un tétraèdre. Solution. — On mène les plans bissecteurs des trois dièdres de la base. Ils forment un nouveau trièdre dont le sommet

est le centre cherché. (11 y a plusieurs solutions.)

UÉOM. DESC. 17