SURFACES DE RÉVOLUTION. - PLANS TANGENTS

Vingt-cinquième Leçon

Fig. 331

E: rusteur B'

A. GÉNÉRALITÉS

§ 243. —Définitions.

{a) Axe el génératrices. — Une surface de révolution est engendrée par la rotation entière d'une ligne MNP, plane on gauche, autour d'un axe fixe zz' que l'on nomme l'axe de la surface. La courbe mobile est la génératrice de la surface.

(b) Parallèles. — Si l'on considère un point quelconque M de la génératrice, il décrit, dans la rotation, un cercle dont le centre est en I, au pied de la perpendiculaire abaissée du point M sur l'axe, dont le rayon est MI et dont le plan est perpendiculaire à l'axe. Ce cercle se nomme le parallèle du point M.

Tous les points de la génératrice décrivent des parallèles dont les plans sont tous perpendiculaires sur l'axe et, par suite, parallèles entre eux.

La considération des parallèles permet de donner une autre définition pour le mode de génération de la surface, et de la considérer comme engendrée par un cercle dont le plan reste toujours perpendiculaire sur un axe fixe, dont le centre se déplace sur cet axe, et dont le rayon MI varie de telle sorte que ce cercle rencontre toujours une courbe fixe MNP.

Dans ce cas, la courbe MNP, au lieu d'être une génératrice de la surface, en devient une directrice , tandis que la parallèle mobile en devient la génératrice.

(c) Méridiens. — Si l'on coupe la surface par un plan Q passant par l'axe, la section ABC ainsi obtenue se nomme un méridien.

Si l'on fait tourner autour de l'axe, soit un méridien, soit la courbe primitive M N, soit, plus généralement, toute courbe tracée sur la surface, on engendrera cette dernière.

Tous les méridiens sont égaux.

Si l'axe de la surface est parallèle à un des plans de projection, au plan vertical, par exemple, il existe un méridien tel que Q' dont le plan est parallèle à un des plans de projection et qui s'y projette en vraie grandeur. On le nomme le méridien principal.

(d) Equateurs. — Si l'on mène à un méridien des tangentes parallèles à l'axe, les points de contact B',C ,D', en tournant, engendreront des parallèles maxima ou minima que l'on désigne quelquefois sous le nom d'équateurs.

Nota. — On réserve ordinairement le nom d'équateurs aux parallèles maxima tels que D'D, B'B, et le nom de colliers aux parallèles minima tels que C ' C (fig. 331).

§ 244. — Plan tangent en un point (fig. 332).

Soit M un point d'une surface de révolution. Le plan tangent est défini par la tangente M T au parallèle, et par la tangente M S au méridien. (Si l'on ne connaît pas le méridien, mais une ligne génératrice quelconque M P de la surface, la tangente à cette génératrice remplacera la tangente au méridien.)

Considérons ce plan tangent S M T. Appliquons le théorème des trois perpendiculaires. La droite ul, qui est l'axe, est perpendiculaire sur le plan du parallèle; IM, rayon du parallèle, est perpendiculaire sur MT, tangente à ce parallèle qui est

Fig. 332

un cercle. La droite M S, tangente au méridien, rencontre l'axe qui est dans le plan de ce méridien au point u, situé à distance finie ou infinie.

Par suite, d'après le théorème des trois perpendiculaires, la droite M T est perpendiculaire sur Mu. De plus, elle est

aussi perpendiculaire sur M I et, par conséquent, sur le plan méridien. Le plan tangent qui la contient est donc lui-même perpendiculaire sur le plan méridien.

D'où ce théorème : Le plan tangent à une surface de révolution contient la tangente au méridien passant par ce point et est perpendiculaire sur le plan de ce méridien.

Remarque. — Si l'on considère une courbe quelconque M P tracée parle point M sur la surface, le plan tangent sera le plan qui projette la tangente MV, à cette courbe, sur le plan méridien.

§ 245. — Normale et cône des normales. — Cône des tangentes méridiennes (même fig. 332).

Dans le plan méridien, menons la droite M N, normale à la courbe méridienne.

Je dis que cette droite est aussi la normale à la surface (c'est-à-dire la perpendiculaire à son plan tangent.)

En effet, soit N le point où elle rencontre l'axe. D'après le théorème des trois perpendiculaires, MN est perpendiculaire sur M T. Par construction MN est aussi perpendiculaire sur la tangente Mu au méridien; et, par suite, M N, perpendiculaire à deux droites M u et M T du plan tangent, est perpendiculaire à ce plan ; c'est donc la normale. Faisons tourner le triangle rectangle uM N autour de l'axe.

Le pointM engendrera le parallèle M G ; le méridien engendrera successivement tous les autres méridiens, et la ligne M u ne cessera pas de leur être tangente, tandis que la droite M N restera toujours normale à la surface.

Dans ce mouvement, la tangente Mm au méridien engendre un cône de révolution circonscrit à la surface tout le long du parallèle M G. La normale M N engendre un autre cône complémentaire du précédent. Donc :

1° Toutes les tangentes menées aux divers méridiens aux points de ces méridiens situés sur un même parallèle forment un cône de révolution circonscrit à la surface tout le long de ce parallèle et ayant son sommet sur l'axe. Nous le nommerons le cône des tangentes méridiennes.

Nota. — Ce cône se réduit à un cylindre, si le parallèle est un équateur; 2° Toutes les normales à la surface aux différents points d'un même parallèle forment un cône de révolution ayant son sommet sur l'axe, et que l'on nomme le cône des normales.

Nota. — Ce cône se réduit à un cylindre pour le point M, qui engendre le parallèle pour lequel la tangente MI au méridien est perpendiculaire à l'axe (fig. 333) ;

3° Si, de N comme centre, avec NM pour rayon, on décrit une sphère, le cône des tangentes lui sera également circonscrit. Cette sphère sera donc elle-même inscrite dans la surface et raccordée avec elle tout le long du parallèle M G.

Fig. 333

J^vM

§ 246. — Représentation d'une surface de révolution dont l'axe est vertical et dont on donne la courbe méridienne (fig. 334).

L'axe de la surface peut occuper une position quelconque dans l'espace. Nous supposerons, pour commencer, que cet axe est vertical. Tout ce qui sera dit s'étendra facilement au cas où cet axe serait de bout (perpendiculaire au plan vertical).

Soit z, z", z ' l'axe et a' b' c ' la courbe méridienne, que je prends lorsqu'elle est de front, c'est-à-dire quand elle

forme le méridien principal.

(«) Contour apparent vertical. — 1° Ce contour est formé par le méridien principal abc... a' b1 c' ...

En effet, soit b b' un point quelconque du méridien principal. Pour ce point, d'après les théorèmes qui précèdent, le plan tangent est perpendiculaire au plan du méridien, et, par suite, aussi au plan vertical, puisque ce méridien est de front. Le point b b1 est donc bien un point du contour apparent vertical.

2° S'il existe sur le méridien des points tels que h', ou f, ou c ', ou à', pour lesquels la tangente est perpendiculaire à l'axe, ces points engendreront des parallèles de hauteur maxima ou minima. En chacun des points de ces parallèles, les

tangentes au méridien et au parallèle sont, en direction, perpendiculaires sur l'axe, et, par suite, le plan tangent y est encore perpendiculaire au plan vertical.

Par suite, les parallèles les plus hauts ou les plus bas sont des lignes de contour apparent vertical.

En résumé, la surface de révolution engendrée par la courbe méridienne abc... a'b'c... aura son contour apparent vertical formé : 1° des quatre droites h'h' , d'à', f'f, c'c', projections verticales de quatre parallèles de cotes maxima ou minima.

Parmi ces droites de contour apparent, il y en a, telles que f'f' , qui peuvent être noyées dans le corps solide. On dit alors que ce sont des contours apparents virtuels. Le rayon visuel, pour y atteindre, serait forcé de traverser la masse solide qui est autour ;

Et 2° Des deux courbes a' b' c'...., a'b'c' .... symétriques, par rapport à l'axe, situées dans le plan du méridien principal. Les portions h'a'c' de ces courbes de contour, sont dans la partie creuse de la surface, et sont virtuelles.

Nota. — La moitié de gauche de la figure 334 donne la surface en élévation; celle de droite la donne en coupe faite par le plan méridien Zb.

Il est évident que, dans certains cas, les portions du contour formées par des lignes droites peuvent se réduire à un point. C'est le cas de l'ellipsoïde de la figure 335. Les parallèles le plus haut et le plus bas se réduisent aux deux sommets

p' et m'.

(b) Contour apparent horizontal. — Prenons (fig. 334) les points du méridien principal, tels que b 'a 'g' et k' pour lesquels la tangente est parallèle à l'axe, c'est-à-dire perpendiculaire au plan horizontal. En tous ces points et en tous les points des parallèles qu'ils engendrent, le plan tangent, contenant une perpendiculaire au plan horizontal, est lui-même perpendiculaire à ce dernier, c'est-à-dire est un plan de contour apparent horizontal. Par conséquent, ces contours sont formés par les cercles a, g, k, b, projections des parallèles maxima ou minima.

(c) Remarques. — 1° Quelques-uns de ces parallèles de contour apparent horizontal peuvent être virtuels, tel est le collier g; il est virtuel ; tandis que le collier a est réel.

2° Il peut n'y en avoir qu'un seul, soit extérieur, c'est-à-dire maximum, comme dans l'ellipsoïde, soit intérieur, c'està-dire minimum, comme dans l'hyperboloïde que nous étudierons plus loin.