B. PRORLÈMES SUR LES PLANS TANGENTS

§247. — Prendre un point sur une surface de révolution, et mener, par ce point, un plan tangent à la surface.

On supposera que la surface est un ellipsoïde.

(a) Prendre un point. — La solution est absolument la même que pour la sphère (voir § 232, b). On considère le parallèle qui passe par le point donné.

(b) Plan tangent en un point m, m'± (fig. 33G). — Ce plan sera défini : 1° Par la tangente au parallèle. Cette tangente sera mg, m'%g ' horizontale el perpendiculaire sur le rayon zm de ce parallèle. C'est une horizontale du plan tangent ;

2° Parla tangente au méridien du point mm/». Pour construire cette dernière, je fais tourner le point m sur son

parallèle jusqu'à ce qu'il vienne en nn'% sur le méridien principal. Dans cette position, la tangente au méridien est la droite n '2 r'.

Fi g. 336

perçant l'axe au point t ' et ayant sa trace horizontale en r'r. (Nous prenons comme plan horizontal le plan, H', de l'équateur.)

Si on ramène le point à sa position première, le point t', sommet sur l'axe du cône des tangentes méridiennes, ne bouge pas; la trace horizontale r' r de la tangente méridienne décrit un arc de cercle et vient, en S, sur la trace horizontale du méridien du point m.

La trace du plan tangent sur le plan de l'équateur est la droite menée par S, et parallèle à la tangente m g au parallèle, c'est-à-dire perpendiculaire sur la trace du plan méridien; la trace verticale se trouverait facilement.

(c) Remarques. — 1° Menons, en projection verticale, la normale n\ J' au méridien. Elle perce l'axe au point J', sommet du cône des normales. La normale, au point m'a, est donc, en projection verticale, la droite J' m'»... ; et la trace verticale du plan tangent doit avoir une direction telle que f d' perpendiculaire sur cette projection.

2° Au point nn'2 situé sur le méridien principal, le plan tangent est perpendiculaire sur le plan vertical, puisque ce méridien est la ligne de contour apparent vertical. Par suite, toute droite de ce plan tangent doit se projeter suivant sa trace verticale, et, comme la tangente méridienne est une ligne du plan tangent, il en résulte que la trace verticale du plan tangent, au point n n '2, est la tangente t r au méridien.

3° L'angle a que fait cette tangente avec la ligne de terre, est donc aussi l'angle que fait le plan tangent avec le plan horizontal, non seulement pour le point mm '2, mais encore pour m m' 2 et pour tous les points du même parallèle.

§ 248. — Mener à une surface de révolution un plan tangent parallèle à un plan donné. (Solution identique à celle donnée pour la sphère, § 234.)

{a) 1er Cas. — Le plan donné PyQ' est perpendiculaire au plan vertical, et soit a l'angle qu'il doit faire avec le plan horizontal (fig. 337).

Le plan tangent sera un plan de contour apparent vertical ; il sera donc tangent en un point du méridien principal. La tangente à ce méridien se projettera suivant la trace verticale cherchée et inversement.

On aura donc la trace verticale du plan demandé en menant, si cela est possible, une tangente c'd' au méridien principal, parallèlement à la trace verticale y Q ' du plan donné, c'est-à-dire inclinée à l'angle a sur la ligne de terre.

La trace horizontale df sera perpendiculaire à la ligne de terre.

Il existe une deuxième solution g' h'K.

(b) 2° Cas. — Le plan est quelconque et déûni, soit par ses traces RpS', soit par sa trace horizontale Rp et par l'angle a qu'il fait avec le plan horizontal.

On ramène, par rotation soit autour de l'axe de la surface, soit autour d'une verticale quelconque, que l'on choisit de préférence située en w6 dans le plan vertical, le plan donné à être perpendiculaire au plan vertical. Sa nouvelle trace verticale, 0 U, fait alors, avec la ligne de terre, l'angle a que fait le plan avec le plan horizontal. Sa trace horizontale est h Ri perpendiculaire sur la ligne de terre.

On est alors ramené au cas précédent; on mène au méridien principal les deux tangentes c' d' et g' h' parallèles à 0 U, c'est-à-dire inclinées à l'angle a. (On a supposé ici qu'elles étaient les mêmes que dans le premier cas.)

Fi g. 337 iZ'

On a les points de contact en c' et g' projetés horizontalement en c et g sur le méridien principal. Il ne reste plus qu'à les ramener en m et n, par une rotation inverse, dans le méridien Z W, dont le plan est perpendiculaire sur la trace horizontale du plan donné. Les projections verticales m' et n' sont sur les parallèles des points c' et g' .

On aura les traces horizontales des plans tangents, en ramenant, par rotation inverse, les traces d' fet h' k en di fi et lu ki.

(c) Remarque. — Quand on donne le plan par sa trace et par son angle a, c'est-à-dire quand on le définit par une ligne de plus grande pente, il est inutile de faire la première rotation auxiliaire. On mène à priori les tangentes méridiennes inclinées à l'angle a et on ramène, par rotation inverse, les points de contact et les traces comme ci-dessus.

§ 249. — Mener à une surface de révolution un plan tangent passant par une droite donnée, D.

(a) Solution dans l'espace. — 1° On prend, sur la droite donnée, D, un point quelconque pour sommet d'un cône circonscrit à la surface. (Cette question sera traitée dans les paragraphes suivants.) — 2° On mène à ce cône les plans tangents passant par la droite ; ce sont les plans demandés.

(&) Epure. — Dans le cas où la surface de révolution est du second degré (ellipsoïde, hyperboloïde, paraboloïde, sphère), l'épure se fait exactement comme pour la sphère (voir § 235, — b. 2° méthode). Il suffit, dans la figure 319, de substituer au cercle méridien delà sphère, soit une ellipse, soit une hyperbole. Il faut, bien entendu, que l'axe delà surface de révolution soit aussi l'un des axes de symétrie de l'une de ces trois courbes prises comme méridienne. (Faire l'épure.)