C. ombres propres des surfaces de révolution

Vingt-sixième Leçon. §250. — Mener par un point FF' des plans tangents à une surface de révolution.

Problème de l 'ombre au flambeau. — Cherchons la séparatrice d'ombre d'un ellipsoïde de révolution, éclairé par un flambeau FF' (fig. 338).

(a) lrc Métuode, dite : des enveloppées coniques. — 1° Trouver le point de la séparatrice (ou ligne de contact) situé sur un parallèle donné n° 1. — 1° On considère le cône de révolution S 'A'B ', circonscrit à la surface le long du parallèle donné ; 2° on lui mène un plan tangent par le point F 'F '. La meilleure manière pour cela, c'est de mener le plan horizontal H, qui passe par F 'F ; de construire le cercle a'b' — ab, suivant lequel il coupe le cône; de lui mener par le point F les deux tangentes F?n — Fn ; de tracer les génératrices de contact Zm — Zn; de les prolonger jusqu'en M et N, sur le parallèle donné AB.

M et N sont les points cherchés rappelés verticalement en M7 et N7.

Remarque. — Tous les points de contact tels que m,«,P,Q, sont sur un cercle décrit sur ZF comme diamètre.

2° Points sur l'équateur PP' QQ'. — C'est un cas particulier du précédent. Le cône se ramène à un cylindre vertical. Le cercle auxiliaire J donne directement les points de contact PQ. D'ailleurs le théorème général sur les contours apparents (1) indique que l'on obtient toujours les points sur le contour apparent, en menant du flambeau des tangentes à ce contour.

(\) Voir Traité de Perspective, précédé du Tracé des Ombres usuelles.

Fig. 338

El

Point le plus haut ou le plus bas. — Le premier (ou le dernier) parallèle donnant des points de l'ombre propre sera

celui pour lequel le cercle a b — a'b' passera par le point F 'F; donc, menons en plan un cercle Fi F passant par F ; rappelons Fi enF't sur l'élévation; menons les tangentes méridiennes par le point F'i et nous aurons en c' et d' les parallèles limites donnant en CC et DD' le point le plus bas ou le point le plus haut.

(b) Deuxième méthode, dite : des enveloppées cylindriques. — 1" Trouver le point de la séparatrice situé sur un méridien donné.

1er Cas. — Le méridien donné est le méridien principal. — Ce méridien étant le contour apparent vertical de la surface, on a immédiatement les points cherchés G' K'' rappelés en G et K en plan, sur le méridien de front; en menant de F élévation du flambeau, les tangentes au contour apparent vertical. Cela résulte du théorème connu : « Lorsqu'une surface (ici, le cône d'ombre) est circonscrite à une autre surface (ici, l'ellipsoïde), les contours apparents sont tangents entre eux et aussi à la projection de la courbe de contact (ici, la séparatrice). (Voir § 163.)

2" Cas. — Le méridien est quelconque.

— Choisissons, par exemple, le méridien de profil ZV. On ramène au cas précédent par une rotation. Le méridien donné ZV est ramené de front en ZFi, en entraînant le flambeau. A cet effet, le flambeau F est projeté en V sur le méridien ZV, et il suffit d'entraîner le point V en Vi V'i. On mène les tangentes méridiennes V '1 r ' et Vif en élévation, et par une rotation inverse on ramène rr' et tt' en RR' etTT ' sur le méridien donné.

3' Cas. — Point dans le méridien de symétrie ZF. — La marche est la même. On fait tourner directement F en FjF'i. On mène les tangentes méridiennes F'tc'et F'd'. On ramène en place par une rotation inverse et on retrouve ainsi le point le plus haut (DD') et le point le plus bas (CC) obtenus tout à l'heure par d'autres considérations.

(flamlsaa)

Fi;?. 339

Fig. 350

Sphère auxiliaipe

g 251. — Ombres au soleil. — Emploi de la sphère inscrite, ou méthode des enveloppées sphériques.

Cette méthode est surtout applicable lorsque l'on veut avoir l'ombre propre, au soleil, en élévation seulement. Soit (fig. 340) la direction RR; du rayon lumineux.

(a) Sphère auxiliaire. — On commence par chercher l'ombre propre d'une sphère 00' de rayon quelconque. Cette épure préparatoire se fait ainsi (revoir § 240) : 1° On rabat en A'O ' sur le plan méridien principal de la sphère, le rayon

lumineux (a ' Ai — ad' du plan) ; 2° On mène BiO'Ci perpendiculaire sur Ai 0', ce qui donne la direction du plan de la séparatrice de la sphère ; 3° Ci ramené en c ' et Bi ramené en b ' donnent les extrémités du petit axe de l'ellipse d'ombre propre ; et le grand axe est f'g' , perpendiculaire sur

(b) Tracé de l'ombre. — Cela fait : soit à obtenir (fig. 339) le point de la séparatrice de la surface situé sur le parallèle F : 1° On mène la tangente en F à la méridienne et on en déduit la normale FI ; 2° on imagine construite la sphère qui aurait 1 pour centre et IF pour rayon; elle serait inscrite dans la surface tout le long du parallèle F. Son ombre propre serait, en élévation, une ellipse semblable à lellipse f'g 'c 'b ' de la figure 340. Il est inutile de la construire ; 3° on mène (fig. 340) sur la sphère auxiliaire, le rayon o ' f\ parallèle à I F ; on en déduit le parallèle lequel recoupe l'ellipse d'ombre de la sphère en gi ; 4° on prend sur FF (fig. 339) l'homologue du point gi de la figure 340, ce qui se fera, soit en appréciant à vue d'œil le rapport dans lequel g\ partage le parallèle f\f et plaçant g de manière à diviser dans le même rapport le parallèle FF, soit en menant le rayon O'gi (fig. 340) et traçant (fig. 339) Ig parallèle à ce rayon.

]Si0ta. — Au point le plus haut a', sur la sphère, répond le point le plus haut a sur la surface. Le parallèle 1,1, qui le

contient sur la surface est obtenu en menant à la méridienne une tangente 16, parallèle à la tangente 1 '<)' à la sphère, etc.

§ 252. — Même problème. — Le rayon lumineux est de front.

Dans ce cas (figure 342), sur la sphère auxiliaire 0, l'ellipse d'ombre propre est réduite à une droite, a b, perpendiculaire au rayon lumineux. La construction se simplifie ; il n'est même plus besoin de tracer cette sphère auxiliaire. On opère ainsi :

1° On prend un parallèle quelconque M M ; 2° en M' du méridien principal, on mène la tangente méridienne et on en déduit la normale MI; 3° par le point I, qui est sur l'axe, on mène lm, perpendiculaire sur le rayon lumineux; m est un point de la séparatrice

Fhn

(1) La méridienne (fig. 341) était ici une parabole; la sous-normale ni est donc constante [= p). On a donc, dans ce cas particulier: M =p. Sin. a = constante. La séparatrice est la section de la surface par un plan parallèle à l'axe ; c'est une parabole dans l'espace. Mais, en élévation, elle apparaît suivant une droite, B m, parallèle a l'axe.

URFACES DE RÉVOLUTION DONT l'aXE N'EST l'AS VERTICAL

§ 253. — L'axe est de front (fig. 343).

(a) Contour apparent vertical. — C'est le méridien de front b'c'h' comme dans les surfaces à axe vertical.

(b) Contour apparent horizontal. — Trouver ce contour revient à chercher la séparatrice d'ombre pour des rayons lumineux zénithaux (§ 162 — c). Dès lors la méthode des enveloppées sphériques s'applique comme au paragraphe précédent.

Soit /*'/' un parallèle. On considère la sphère inscrite de centre o', rappelé horizontalement en o, sur l'axe. La séparatrice de vision pour cette sphère est son équateur f'f projeté horizontalement en vraie grandeur suivant le cercle ff, contour apparent de la sphère. On prend en élévation le point g' où l'équateur f'f rencontre le parallèle de contact et ce point g ' rappelé en g sur l'équateur donne un point du contour apparent cherché.

Remarques. — 1° En ce point g le contour de la surface doit être tangent au contour de la sphère (§ 163 — b).

2° En résumé la méthode consiste à considérer la surface comme une enveloppe de sphère, à tracer en plan les contours apparents de toutes ces sphères et à prendre l'enveloppe de ces contours.

§ 254. — Contour apparent d'un tore dont l'axe est incliné

(fig. 344).

Soit oz — o'z' l'axe et BLV le cercle décrit par le centre d'une sphère de rayon r dont le tore sera l'enveloppe.

Nous supposons l'axe de front ou, pour mieux dire, nous prenons en xy un plan de projection parallèle à l'axe.

Sur ce mur xy le contour apparent est composé des deux cercles méridiens et de leurs tangentes communes f'h' et f k' (voir § 246 — a).

En projection horizontale, pour avoir le contour apparent : 1° nous construisons l'ellipse A A — B B, projection du cercle trajectoire du centre; 2° des différents points de celte ellipse, comme centres, nous décrivons des cercles qui sont les contours apparents de la sphère mobile ; 3° nous prenons l'enveloppe de tous ces cercles.

Il y a une enveloppe extérieure n m m et une enveloppe intérieure c» m S û , qui présente

quatre rebroussements aux quatre points co t) û et w.

En faisant l'épure avec soin et prenant, comme sur la figure 345,

des points 1, 2, 3 très voisins

du sommet o, on reconnaîtra facilement l'existence d'un point tel que w, où les intersections des cercles sont serrées les unes contre les autres. Sur le croquis ci-joint c'est à peu près lorsque la pointe du

GÉOM. DESCR. 18

Fig. 345

compas occupe la position m entre les centres 5 et 6 que l'on voit le rebroussement se produire sur l'enveloppe des cercles.

La ligne m w est normale à la tangente en m et la courbe enveloppe a w b a pour tangente en son point de rebroussement, w, une parallèle à cette tangente.

D'ailleurs tous les points tels que n' de la courbe enveloppe s'obtiennent en menant des normales telles que nri à la trajectoire du centre et portant sur les normales des longueurs, n n' , constamment égales au rayon R (1).

Revenons à la figure 344. La partie w u u du contour est réelle et vue. La portion w v to est vue entre les points S v 3, mais cachée sur le reste. D'ailleurs, elle est réelle dans toute son étendue. Enfin, sur la petite branche comprise entre les deux points d'inflexion, elle est virtuelle. Le rayon visuel tangent en G occupe une position analogue à celle qui est indiquée en B (fig. 344).

Pour atteindre son point de tangence G, il est obligé de circuler dans la masse solide (2).

Le point de rebroussement, w, se nomme un point limite, parce qu'il sert de limite commune aux branches réelles et aux branches virtuelles des lignes de contour apparent.

On retrouve toutes ces particularités dans les lignes d'ombre des surfaces dites à courbures opposées. Nous en donnerons un exemple dans l'épure de l'ombre du serpentin. (Voir plus loin : Surfaces hélicoïdales.)

§ 255. — Surfaces de révolution du second degré. — Cônes et cylindres circonscrits (fig. 346).

Une surface de révolution est du second degré lorsqu'elle a pour méridienne une conique (ellipse, hyperbole ou parabole), dont un axe de symétrie est confondu avec l'axe de la surface. Nous admettrons, sans la démontrer, la proposition suivante.

Théorème. — Dans toute surface du second degré, la courbe de contact d'un cône ou d'un cylindre circonscrit est une

courbe plane et, comme toutes les sections planes, c'est une conique.

Ce théorème donne des facilités pour tracer les contours apparents et les séparatrices. Soit un ellipsoïde (fig. 346) dont l'axe x Z' est de front.

(a) Contour apparent horizontal. — On mène, en élévation, les deux tangentes verticales m' m etn'n à l'ellipse méridienne. D'après le théorème, la courbe de contact d'un cylindre vertical circonscrit passe par les points m! et n'. Elle est plane et, par raison de symétrie, son plan doit être perpendiculaire au mur. Elle est donc projetée verticalement suivant la droite m'n'. C'est une ellipse dans l'espace.

En plan, son grand axe est a'b' , projection de m'n', et son petit axe est pq, égal au diamètre de l'équateur E'.

(b) Ombre au flambeau. — l" Cas. — Nous prendrons le flambeau en TT" dans le méridien de front. Si nous menons de T' les deux tangentes T'a' etT'ô' à l'ellipse méridienne, la corde de contact a'b' est, par raison de symétrie, la projection verticale de la séparatrice. C'est une ellipse dans l'espace. Les extrémités a' et b' donnent en a et b le petit axe de la projection horizontale. Pour avoir l'autre axe, il faut prendre en i' le milieu de a'b' et chercher pour la ligne de bout dd — i' la grandeur de son segment intercepté dans la surface.

A cet effet, par i' on a mené un parallèle c'c', on l'a rabattu en cjdic' et l'ordonnée i'di du cercle a donné le demi-grand axe id.

2e Cas. — Prenons un second flambeau, mais quelconque S S'. On pourrait ramener au premier cas en considérant le plan méridien qui passe par le flambeau. On le rabattrait sur le méridien principal en prenant l'axe de la surface pour charnière. Le flambeau serait rabattu en Si par la méthode ordinaire.

(1) Cette enveloppe a w b, est une développante de la développée de la courbe trajectoire no c. Le point d'inflexion co répond au point m de la trajectoire pour lequel le rayon de courbure p est égal a la quantité constante R.

(2) Voir aux Compléments : Points de passage et points limites des séparatrices d'ombre ou de vision, dans les surfaces à courbures opposées.

On trouverait comme ci-dessus les deux axes de la séparatrice, on les relèverait et ils donneraient deux diamètres conjugués. Nous laissons au lecteur le soin de faire l'épure par celte méthode.

Mais on peut avoir immédiatement quatre points et les quatre tangentes ; ce qui sera presque suffisant.

Ces points seront : 1° les points /* et k obtenus, en plan, en menant du point S des tangentes au contour apparent horizontal ; on les rappelle en élévation, en h1 et k1 sur la droite m'nf ; 2° les points f et g ' obtenus de même en élévation sur le contour apparent vertical. En plan ils appartiennent en f et g au méridien principal. En tous ces points de contour apparent, la séparatrice est tangente au contour apparent correspondant.

Pour trouver la tangente en un point tel que k', qui n'est pas sur le contour apparent vertical, on s'appuie sur ce que la courbe est plane.

Or en k, projection horizontale, sa tangente est la droite kS. On prolonge cette dernière jusqu'en un point 2 où elle rencontre une droite du plan, gh — g'h! par exemple ; on rappelle 2 en 2' sur la droite g'h1 et\& tangente est la ligne